一、问题描述

我们在实际处理时经常遇到只有一个正弦信号的情况，其频率为 ${{f}_{0}}$ ，在谱分析以后，除了在频率为 ${{f}_{0}}$ 处有相位数值外，其他频率处都有相位数值，分析其他频谱出现相位值的原因。

例如，假设信号采样率为1000Hz，有一个余弦信号，其频率为f0=50Hz，幅值都为1，初始相角为pi/3=1.0472，信号长度为1000，该信号如下图所示：

对应Matlab代码如下：

fs=1000;                       % 采样频率
f0=50;                         % 信号频率
A=1;                           % 信号幅值
theta0=pi/3;                   % 信号初始相角
N=1000;                        % 信号长度
t=(0:N-1)/fs;                  % 设置时间序列
x=A*cos(2*pi*f0*t+theta0);     % 设置信号
figure,plot(x,'r')
xlabel('样点'); ylabel('幅值'); title('原始信号')

在这里插入图片描述

图1 原始信号

此时，对上述信号进行傅里叶变换，并获取其频谱图，如下图所示。从幅值谱图上可知，明显可看到在50Hz处有一个峰值，其他频率幅值都为0。

对应的Matlab代码如下所示：

X=fft(x);                      % FFT
n2=1:N/2+1;                    % 设置索引号序列
freq=(n2-1)*fs/N;              % 设置频率刻度
figure,plot(freq,abs(X(n2))*2/N,'r');title('幅值谱图-正频率');xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值')

在这里插入图片描述

图2 频谱图

绘制该信号的相位谱，如下图所示，可知该相位谱非常乱，除了50Hz频率外的其他频率都有一个初始相位。

THETA=angle(X(n2));            % 计算初始相角
Am=abs(X(n2));                 % 计算幅值
ph0=THETA(51);                 % 计算信号的初始相角
figure,plot(freq,THETA,'r')
xlabel('频率/Hz'); ylabel('初始角/弧度');title('相位谱图-正频率部分')

在这里插入图片描述

图3 相位谱图

二、原因分析

首先计算50Hz和其他频谱线的实部和虚部，以及各自的初始相位值。如下图所示：

在这里插入图片描述
可以发现，在50Hz频率出，计算的初相为1.0472与设置的初相角一致，然而，在频率为非50Hz以外，如1Hz等，它们的实部和虚部的值都是 ${{10}^{-14}}\sim {{10}^{-13}}$ 量级，这是由计算误差生的，使用反三角函数后就能得到相应的初始相位数值，分布在-pi和pi之间，造成了相位值的混乱。而其他频率分量也差不多是这样的量级。

三、解决方法

要消除这种相角初始值的混乱，可在程序中设置一个阈值Th。在本例中有用的频率分量只有50Hz一条谱线，阈值比较容易选择；若频谱中有用的频率分量有多条谱线，则可以寻找有用的频率分量中的最小幅值Amin，而要把阈值Th设置成Th<Amin。

Matlab如下：

Th=0.1;                        % 设置阈值
thetadex=find(Am<Th);          % 寻找小于阈值的那线谱线的索引
THETA1=THETA;                  % 初始化THETA1
THETA1(thetadex)=0;            % 对于小于阈值的那线谱线初始相位都为0
figure,plot(freq,THETA1,'r')
xlabel('频率/Hz'); ylabel('初始角/弧度');title('相位谱图-正频率部分')