1.树的结构及概念

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
• 因此，树是递归定义的。
  
  
  注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。
  

1.2树的相关概念

节点的度：　一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6
叶节点或终端节点： 度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：　度不为0的节点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点： 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点： 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：　具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
树的度：　一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
节点的层次：　从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度： 树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：　双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先： 从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙： 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林： 由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的左孩子右兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
	struct Node* _firstChild1;//第一个孩子节点（左孩子节点）
	struct Node* _pNextBrother;//指向其下一个兄弟节点
	DataType _data;//节点中的数据域
};

1.4树在实际中的运用（表示文件系统的目录结构）

在windows系统文件中的应用

2.二叉树的相关概念

2.1概念

一颗二叉树是结点的一个有限的集合，该集合：
1.或者为空
2.由一个根节点加上两棵分别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出
1.二叉树不存在度大于2的节点
2.二叉树的子树右左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2现实版的二叉树

2.3特殊的二叉树

1.满二叉树： 一个二叉树，如果每一层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K,且结点总数为2^k-1,则它就是满二叉树。
2.完全二叉树： 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点–对应时称为完全二叉树（假设该二叉树有h层，要求前h-1层都是满的，要求最后一层的结点是从左到右连续的连续的）。满二叉树时一种特殊的完全二叉树。

2.4二叉树的性质

1.若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点。
2.若规定根节点的层数为1，则深度为h的满二叉树的最大结点数是2^h-1，深度为h的完全二叉树的结点数范围为[2^(h-1) ，2 ^h-1]。
3.对于任意一棵二叉树，如果度为0的叶子节点个数为n0，度为2的分支结点个数为n2，则有n0=n2+1，在二叉树中度为1的结点数n1，n1为0或1。
4.若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2 (n+1)（h=log2 (n+1)是log以2为底，n+1为对数），具有n个结点的完全二叉树的深度范围为[log2N+1，log2 (N+1)]。
5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点为0开始编号，则对于序号为i的结点有：

1.若i>0,i位置的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲结点
2,若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则2i+1>=n无左孩子
3,若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则2i+2>=n无右孩子

图形理解：

2.5二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
1.顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空
间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺
序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程
学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

代码表示如下：

typedef int BTDataType;
//二叉链
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* _pLeft;//指向当前结点的左孩子
	struct BinaryTreeNode* _pRight;//指向当前结点的右孩子
	BTDataType _data;//当前结点值域
};
//三叉链
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* _pParent;//指向当前结点的双亲结点
	struct BinaryTreeNode* _pLeft;//指向当前结点的左孩子
	struct BinaryTreeNode* _pRight;//指向当前结点的右孩子
	BTDataType _data;//当前结点值域
};

3.与二叉树有关的习题

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
   A 不存在这样的二叉树
   B 200
   C 198
   D 199
   根据性质3二叉树度为0的结点比度为2的结点多一个，所以n0为200，答案选择B。

2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ ）
A 非完全二叉树
B 堆
C 队列
D 栈
在顺序存储结构中，非完全二叉树的结点不是连续存储，会浪费空间，因此非完全二叉树不适合顺序存储结构。

3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
由n0=n2+1以及N=n0+n1+n2，可以得到2n=2n0+n1-1，又因为n1可以为0或1，且n0\n1\n2的结点个数为整数，所以此时n1为1，可以得到n0=n，答案选择A。

4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12
由完全二叉树的节点个数范围为[2^(h-1) ，2 ^h-1]，可得其层数的范围[log2N+1，log2 (N+1)]，将531带入可判断10满足条件，答案选择B。

5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
由n0=n2+1以及N=n0+n1+n2，可以得到767=2n0+n1-1，又因为n1可以为0或1，且n0\n1\n2的结点个数为整数，所以此时n1为0，可以得到n0=364，答案选择B。

总结

本章我们一起学习了树、二叉树的相关概念，以及二叉树的性质

• 若规定根节点的层数为1，则深度为h的满二叉树的最大结点数是2^h-1，深度为h的完全二叉树的结点数范围为[2^(h-1) ，2 ^h-1]。
• 对于任意一棵二叉树，如果度为0的叶子节点个数为n0，度为2的分支结点个数为n2，则有n0=n2+1，在二叉树中度为1的结点数n1，n1为0或1。
• 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2 (n+1)（h=log2 (n+1)是log以2为底，n+1为对数），具有n个结点的完全二叉树的深度范围为[log2N+1，log2 (N+1)]。
  希望对大家了解树和二叉树有些许帮助，感谢大家阅读，如有不对欢迎纠正！🎠🎠🎠