【数据结构】图算法和LRUCache

news2024/11/21 2:21:27

文章目录

  • 最小生成树
    • 1.最小生成树概念
    • 2.Kruskal算法
    • 3.Prim算法
  • 最短路径算法
    • 单源最短路径--Dijkstra算法
    • 单源最短路径--Bellman-Ford算法
    • 多源最短路径--Floyd-Warshall算法
  • LRUCache
    • LRUCache实现
  • 源码地址

最小生成树

1.最小生成树概念

连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不在连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。

若连通图由n个顶点组成，则其生成树必含n个顶点和n-1条边。因此构造最小生成树的准则有三条：

  1. 只能使用图中的边来构造最小生成树
  2. 只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点
  3. 选用的n-1条边不能构成回路

最小生成树，也就是图的生成树中权值最小的树。最小生成树的常用算法有Kruskal算法 和**Prim算法。**算法的思想都是贪心策略。

2.Kruskal算法

核心：贪心思想。

逐步选择当前图中的最小边，选择边构成生成树。要注意选择的边不能构成环。

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如何判断是否有环？ 并查集

被选择的边的点合并到一共集合中。如果被选中的边两端的点已经在一共集合中，说明构成了环。

下面用图的邻接矩阵实现克鲁斯卡尔算法。

 //克鲁斯卡尔算法
W Kruskal(self &minTree)
{
    //构建一共只有点，没有边的图。后续最小生成树的边往图里面添加
    size_t n = _vertexs.size();
    minTree._vertexs = _vertexs;
    minTree._indexmap = _indexmap; 
    minTree._matrix.resize(n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);
    }
    //将所有的边，放入到一个优先级队列中
    priority_queue<edge, vector<edge>, greater<edge>> minque;
    for (size_t i = 0; i < n; i++)
    {
        for (size_t j = 0; j < n; j++)
        {
            //无向的，保证不重复的选择边
            if (i < j && _matrix[i][j] != MAX_W)
            {
                //将边插入到优先级队列中
                minque.push(edge(i, j, _matrix[i][j]));
            }
        }
    }
    //依次选边
    W ret = W();      //总的权值
    int edge_num = 0; //一共要选择n-1条边
    //并查集判断是否有环
    UnionFindSet<V> points;
    //将图的点依次插入到并查集中
    for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
    {
        points.insert(_vertexs[i]);
    }
    while (!minque.empty())
    {
        edge min = minque.top();
        minque.pop();
        //判断是否成环
        if (!points.InSet_index(min._srci, min._dsti))
        {
            //添加边
            minTree._addedge(min._srci, min._dsti, min._w);
            points.Union(min._srci, min._dsti);
            edge_num++;
            ret += min._w;
        }
    }
    //判断边是否选完
    if (edge_num != n - 1)
    {
        return W();
    }

    return ret;
}

测试克鲁斯卡尔算法

void leaset_tree()
{
    const char* str = "abcdefghi";
    matrix::Graph<char, int> g(str, strlen(str));
    g.addedge('a', 'b', 4);
    g.addedge('a', 'h', 8);
    // g.AddEdge('a', 'h', 9);
    g.addedge('b', 'c', 8);
    g.addedge('b', 'h', 11);
    g.addedge('c', 'i', 2);
    g.addedge('c', 'f', 4);
    g.addedge('c', 'd', 7);
    g.addedge('d', 'f', 14);
    g.addedge('d', 'e', 9);
    g.addedge('e', 'f', 10);
    g.addedge('f', 'g', 2);
    g.addedge('g', 'h', 1);
    g.addedge('g', 'i', 6);
    g.addedge('h', 'i', 7);
    //构建一颗最小生成树
    matrix::Graph<char, int> mintree;
    g.Kruskal(mintree);
    mintree.Print();
}

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3.Prim算法

Prim算法是从给定的结点出发，依次从被选择集合出发的点选择最小的边，被选中边的点加入到被选择集合中。

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下面用图的邻接矩阵实现克鲁斯卡尔算法。

W Prim(self &minTree, const V &src)
{

    size_t n = _vertexs.size();
    int srci = GetVertexIndex(src);
    minTree._vertexs = _vertexs;
    minTree._indexmap = _indexmap;
    minTree._matrix.resize(n);
    for (size_t i = 0; i < n; ++i)
    {
        minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);
    }
    vector<bool> choice(n, false);
    vector<bool> nochoice(n, true);
    priority_queue<edge, vector<edge>, greater<edge>> minque;
    choice[srci] = true;
    nochoice[srci] = false;
    for (size_t i = 0; i < n; i++)
    {
        if (_matrix[srci][i] != MAX_W)
        {
            minque.push(edge(srci, i, _matrix[srci][i]));
        }
    }
    size_t edge_num = 0;
    W total = W(); //返回值
    while (!minque.empty())
    {
        edge min = minque.top();
        minque.pop();
        //判断当前的边是否合法
        if (choice[min._dsti])
        {
            // do nothing
        }
        else
        {
            //将当前边添加到图中
            minTree._addedge(min._srci, min._dsti, min._w);
            choice[min._dsti] = true;
            nochoice[min._dsti] = false;
            edge_num++;
            total += min._w;
            if (edge_num == n - 1)
            {
                break;
            }
            for (size_t i = 0; i < n; i++)
            {
                if (nochoice[i] && _matrix[min._dsti][i] != MAX_W)
                {
                    minque.push(edge(min._dsti, i, _matrix[min._dsti][i]));
                }
            }
        }
    }
    if (edge_num != n - 1)
    {
        return W();
    }
    return total;
}

测试Prim算法

void leaset_tree()
{
    const char* str = "abcdefghi";
    matrix::Graph<char, int> g(str, strlen(str));
    g.addedge('a', 'b', 4);
    g.addedge('a', 'h', 8);
    // g.AddEdge('a', 'h', 9);
    g.addedge('b', 'c', 8);
    g.addedge('b', 'h', 11);
    g.addedge('c', 'i', 2);
    g.addedge('c', 'f', 4);
    g.addedge('c', 'd', 7);
    g.addedge('d', 'f', 14);
    g.addedge('d', 'e', 9);
    g.addedge('e', 'f', 10);
    g.addedge('f', 'g', 2);
    g.addedge('g', 'h', 1);
    g.addedge('g', 'i', 6);
    g.addedge('h', 'i', 7);
    //构建一颗最小生成树
    matrix::Graph<char, int> mintree;
    g.Prim(mintree,'a');
    mintree.Print();
}

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最短路径算法

单源最短路径–Dijkstra算法

也叫做单源最短路径算法，解决一个点到其余个点顶点的最短路径

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首先需要写出邻接矩阵

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使用dis数组存储源顶点(1号顶点)到其余个顶点的距离

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具体思路

  • 从初始的dis数组中找到最小值为2，那么1->2顶点的最短路径就成为了确定值，值为1。

  • 从顶点2开始出发，可以到达的顶点为2->3,2->4;其中如果中顶点2进行"中转",那么1->2->3的路径为1(1->2的最短路径)+9(2->3的路径)为10，小于1->3的距离12，所以将dis数组中1->3的值变为10；对2->4进行同样的处理1->4的最短路径更新为4。

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在现在的dis数组中，确定的顶点有2；而第一次松弛后除去到顶点2的最短路径为1->4(路径长度为4)，顶点4为确定值。从4开始出发

  • 可以到达的顶点有3，5，6；将顶点4作为"中转"进行第二轮的松弛

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现在的确定的顶点为2，4；剩下顶点的最短路径为1->3,顶点3为最短路径，变为确定值；

进行下一轮的松弛

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最终的松弛结果为：

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dis数组中存放了到各顶点的最短路径

// Dijkstra是单源最短路算法，可以计算给定点到其他点的最短路
void Dijkstra(const V &src, vector<W> &dist, vector<int> &parentindex)
{
    // dist，记录到i点的当前最短路是多少
    int srci = GetVertexIndex(src);
    size_t n = _vertexs.size();
    dist.resize(n, MAX_W);
    parentindex.resize(n, -1);
    parentindex[srci] = srci;
    vector<bool> visited(n, false);
    //先对dist数组进行初始化
    /*
    for(size_t i=0;i<n;i++){
        if(_matrix[srci][i]!=MAX_W){
            dist[i]=_matrix[srci][i];
        }
    }
    visited[srci]=true;
    */
    dist[srci] = 0;
    //寻找最短的路径,每一轮对其中一个点进行松弛处理,一共要进行n轮
    for (size_t i = 0; i < n; i++)
    {

        //记录这一轮的最小路径和最小节点
        int min_index = 0;
        W min_num = MAX_W;
        //先找到当前一轮的最小值和最小节点
        for (size_t j = 0; j < n; j++)
        {
            if (!visited[j] && dist[j] < min_num)
            {
                min_num = dist[j];
                min_index = j;
            }
        }
        //当前的点为确定点
        visited[min_index] = true;
        //松弛处理
        for (size_t j = 0; j < n; j++)
        {
            if (!visited[j] && dist[min_index] + _matrix[min_index][j] < dist[j] && _matrix[min_index][j] != MAX_W)
            {
                dist[j] = dist[min_index] + _matrix[min_index][j];
                parentindex[j] = min_index;
            }
        }
    }
}

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测试接口

void TestGraphDijkstra()
{
    const char* str = "syztx";
    matrix::Graph<char, int,MAX, true> g(str, strlen(str));
    g.addedge('s', 't', 10);
    g.addedge('s', 'y', 5);
    g.addedge('y', 't', 3);
    g.addedge('y', 'x', 9);
    g.addedge('y', 'z', 2);
    g.addedge('z', 's', 7);
    g.addedge('z', 'x', 6);
    g.addedge('t', 'y', 2);
    g.addedge('t', 'x', 1);
    g.addedge('x', 'z', 4);
    vector<int> dist;
    vector<int> parentPath;
    g.Dijkstra('s', dist, parentPath);
    g.PrintShortPath('s', dist, parentPath);
    for (auto& d : dist) {
        cout << d << " ";
    }
    cout << endl;
}

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Dijkstra算法存在的问题是不支持图中带负权路径，如果带有负权路径，则可能会找不到一些路
径的最短路径。

单源最短路径–Bellman-Ford算法

bellman—ford算法可以解决负权图的单源最短路径问题。它的优点是可以解决有负权边的单源最短路径问题，而且可以用来判断是否有负权回路。它也有明显的缺点，它的时间复杂度 O(N*E) (N是点数，E是边数)普遍是要高于Dijkstra算法O(N²)的。像这里如果我们使用邻接矩阵实现，那么遍历所有边的数量的时间复杂度就是O(N^3)，这里也可以看出来Bellman-Ford就是一种暴力求解更新 。

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void Bellman_Ford(const V &src, vector<W> &dist, vector<int> &pPath)
{
    size_t n = dist.size();
    size_t srci = GetVertexIndex(src);
    dist.resize(n, MAX_W);
    pPath.resize(n, -1);
    dist[srci] = W();
    for (size_t k = 0; k < n - 1; ++k)
    {
        bool exchange = false;
        for (size_t i = 0; i < n; ++i)
        {
            for (size_t j = 0; j < n; ++j)
            {
                // srci->i + i->j < srci->j 则更新路径及权值
                if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j])
                {
                    dist[j] = dist[i] + _matrix[i][j];
                    pPath[j] = i;
                    exchange = true;
                }
            }
        }
        if (exchange = false)
        {
            break;
        }
    }
    for (size_t i = 0; i < n; ++i)
    {
        for (size_t j = 0; j < n; ++j)
        {
            // 检查有没有负权回路
            if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j])
            {
                return false;
            }
        }
    }
}

多源最短路径–Floyd-Warshall算法

弗洛伊德算法是一种纯暴力算法，每次以K为中转转，更新结点i到结点j的最大路径。

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//弗洛伊德算法是一种纯暴力算法
void FloydWarshall(vector<vector<W>> &vvDist, vector<vector<int>> &vvpPath)
{
    size_t n = _vertexs.size();
    vvDist.resize(n);
    vvpPath.resize(n);
    for (size_t i = 0; i < n; ++i)
    {
        vvDist[i].resize(n, MAX_W);
        vvpPath[i].resize(n, -1);
    }

    //初始化
    for (size_t i = 0; i < n; i++)
    {
        for (size_t j = 0; j < n; j++)
        {
            if (_matrix[i][j] != MAX_W)
            {
                vvDist[i][j] = _matrix[i][j];
                vvpPath[i][j] = i;
            }
            if (i == j)
            {
                vvDist[i][j] = W();
            }
        }
    }

    //弗洛伊德算法
    //依次以K结点为中转站更新最短路径
    for (size_t k = 0; k < n; k++)
    {
        for (size_t i = 0; i < n; i++)
        {
            for (size_t j = 0; j < n; j++)
            {
                if (vvDist[i][k] != MAX_W && vvDist[k][j] != MAX_W && vvDist[i][k] + vvDist[k][j] < vvDist[i][j])
                {
                    vvDist[i][j] = vvDist[i][k] + vvDist[k][j];
                    vvpPath[i][j] = vvpPath[k][j];
                }
            }
        }
    }

    //打印节点
    for (size_t i = 0; i < n; ++i)
    {
        for (size_t j = 0; j < n; ++j)
        {
            if (vvDist[i][j] == MAX_W)
            {
                // cout << "*" << " ";
                printf("%3c", '*');
            }
            else
            {
                // cout << vvDist[i][j] << " ";
                printf("%3d", vvDist[i][j]);
            }
        }
        cout << endl;
    }
    cout << endl;
    for (size_t i = 0; i < n; ++i)
    {
        for (size_t j = 0; j < n; ++j)
        {
            // cout << vvParentPath[i][j] << " ";
            printf("%3d", vvpPath[i][j]);
        }
        cout << endl;
    }
    cout << "=================================" << endl;
}

以下面的图进行测试

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void TestFloydWarShall()
{
    const char *str = "12345";
    matrix::Graph<char, int,MAX,true> g(str, strlen(str));
    g.addedge('1', '2', 3);
    g.addedge('1', '3', 8);
    g.addedge('1', '5', -4);
    g.addedge('2', '4', 1);
    g.addedge('2', '5', 7);
    g.addedge('3', '2', 4);
    g.addedge('4', '1', 2);
    g.addedge('4', '3', -5);
    g.addedge('5', '4', 6);
    vector<vector<int>> vvDist;
    vector<vector<int>> vvParentPath;
    g.FloydWarshall(vvDist, vvParentPath);
    // 打印任意两点之间的最短路径
    for (size_t i = 0; i < strlen(str); ++i)
    {
        g.PrintShortPath(str[i], vvDist[i], vvParentPath[i]);
        cout << endl;
    }
}

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LRUCache

LRU是Least Recently Used的缩写，意思是最近最少使用，它是一种Cache替换算法。

什么是Cache(缓存)？

狭义的Cache指的是位于CPU和主存间的快速RAM， 通常它不像系统主存那样使用DRAM技术，而使用昂贵但较快速的SRAM技术。 广义上的Cache指的是位于速度相差较大的两种硬件之间， 用于协调两者数据传输速度差异的结构。除了CPU与主存之间有Cache， 内存与硬盘之间也有Cache，乃至在硬盘与网络之间也有某种意义上的Cache── 称为Internet临时文件夹或
网络内容缓存等。
Cache的容量有限，因此当Cache的容量用完后，而又有新的内容需要添加进来时， 就需要挑选并舍弃原有的部分内容，从而腾出空间来放新内容。LRU Cache 的替换原则就是将最近最少使用的内容替换掉。其实，LRU译成最久未使用会更形象， 因为该算法每次替换掉的就是一段时间内最久没有使用过的内容。

CPU三级缓存机制

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LRUCache实现

LRU Cache要保证获取和置换都是O(1)操作。常用方法是使用双向链表和哈希表的搭配 。双向链表存储Key-value键值对。Hash表中存放Key和链表结点的映射关系。

image-20221207205821680

class LRUCache{
public:
    LRUCache(int capacity)
        :capacity_(capacity)
    {}

    int get(int key){
        auto it=mp.find(key);
        //如果有该数据，就加入到头位置
        if(it!=mp.end()){
            //得到链表的迭代器
            auto list_iter=it->second;
            pair<int,int> listvalue=*list_iter;
            data.erase(list_iter);
            data.push_front(listvalue);
            mp[key]=data.begin();
            return listvalue.second;
        }
        //如果没有数据,返回-1
        else{
            return -1;
        }
    }


    void set(int key,int value){
        auto it=mp.find(key);
        if(it!=mp.end()){
            //如果已经有了key,更新数据,然后将其放在最前面
            auto list_iter=it->second;
            pair<int,int> list_value=*list_iter;
            list_value.second=value;
            data.erase(list_iter);
            data.push_front(list_value);    
            //更新Hash表
            mp[key]=data.begin();
        }
        //如果没有key,就需要判断容量
        //如果当前数量超过容量，就删除最后一个，负责之间在头添加即可
        else{
            if(data.size()>=capacity_){
               auto list_back=data.back();
               mp.erase(list_back.first);
               data.pop_back();
            }
            //向头部添加make_pair(key,value);
            data.push_front(make_pair(key,value));
            mp[key]=data.begin();
        }
    }
    //插入
private:
    unordered_map<int,list<pair<int,int>>::iterator> mp;
    //List存放一共K-Value类型的数据
    list<pair<int,int>> data;
    size_t capacity_;
};

146. LRU 缓存 - 力扣（LeetCode）

源码地址

Graph和LRUCache · 影中人/test - 码云 - 开源中国 (gitee.com)

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