BUCK-BOOST电路2
2023年1月30日 nige in Tongji University
#elecEngeneer
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文章目录
- BUCK-BOOST电路2
- 6. CCM非理想能量守恒平均分析
- 6.1 CCM非理想大信号平均模型
- 6.2 CCM等效大信号平均模型
- 6.3 CCM的DC电路模型
- 6.4 CCM的小信号线性电路模型
- 6.5 CCM非理想小信号传递函数
- 6.5.1 求输出对占空比的传递函数
- 6.5.2 求输出阻抗
- 6.5.3 求输入阻抗
- 6.5.4 求小信号传递函数
- 7. CCM理想状态空间平均分析
- 下链
6. CCM非理想能量守恒平均分析
考虑开关管的导通电阻
R
S
R_{S}
RS 、二极管器件的导通压降
V
F
V_{F}
VF 和等效平均电阻电阻
R
F
R_F
RF、电感电容等效串联电阻
R
L
R_L
RL、
R
C
R_C
RC
非理想BUCK-BOOST电路
电感电压：
电感电压：
{
v
L
=
V
i
−
I
L
(
R
L
+
R
S
)
,
开关
S
导通
v
L
=
−
I
L
(
R
L
+
R
F
)
−
V
F
−
V
o
,
开关
S
关闭
\begin{cases} v_L=V_i-I_L(R_L+R_S) & \ , 开关S导通 \\[3ex] v_L= -I_L(R_L+R_F)-V_F-V_o & \ , 开关S关闭 \end{cases}
⎩
⎨
⎧vL=Vi−IL(RL+RS)vL=−IL(RL+RF)−VF−Vo ,开关S导通 ,开关S关闭
电感秒伏平衡
D
⋅
[
V
i
−
I
L
(
R
L
+
R
S
)
]
=
−
(
1
−
D
)
⋅
[
−
I
L
(
R
L
+
R
F
)
−
V
F
−
V
o
]
(32)
D\cdot[V_i-I_L(R_L+R_S)]=-(1-D)\cdot[-I_L(R_L+R_F)-V_F-V_o]\tag{32}
D⋅[Vi−IL(RL+RS)]=−(1−D)⋅[−IL(RL+RF)−VF−Vo](32)
I
i
=
I
S
I_i=I_S
Ii=IS
观察开关网络部分，得到电流关系
⟨
i
L
⟩
=
⟨
i
S
⟩
D
=
⟨
i
D
i
o
d
e
⟩
1
−
D
\langle i_L\rangle=\frac{\langle i_S\rangle}{D}=\frac{\langle i_{Diode}\rangle}{1-D}
⟨iL⟩=D⟨iS⟩=1−D⟨iDiode⟩
⟨
i
D
i
o
d
e
⟩
=
I
R
\langle i_{Diode}\rangle=I_R
⟨iDiode⟩=IR
s
o
I
L
=
1
(
1
−
D
)
I
R
=
1
(
1
−
D
)
V
o
R
so \ \ \ I_L=\frac1{(1-D)}I_R=\frac1{(1-D)}\frac{V_o}{R}
so IL=(1−D)1IR=(1−D)1RVo
和理想时一样
代入式（32）有：
V
o
=
[
D
V
i
−
(
1
−
D
)
V
F
]
(
1
−
D
)
⋅
(
1
−
D
)
2
R
(
1
−
D
)
R
F
+
(
1
−
D
)
2
R
+
R
L
+
D
R
S
=
[
D
V
i
1
−
D
−
V
F
]
⋅
(
1
−
D
)
2
R
(
1
−
D
)
R
F
+
(
1
−
D
)
2
R
+
R
L
+
D
R
S
=
[
V
i
−
1
−
D
D
V
F
]
⋅
(
1
−
D
)
2
D
2
R
R
E
D
2
+
(
1
−
D
)
2
D
2
⋅
D
1
−
D
\begin{align*} V_o&=\frac{\big[DV_i-(1-D)V_F\big]}{(1-D)} \cdot \frac{(1-D)^2R}{(1-D)R_F+(1-D)^2R+ R_L+DR_S} \tag{33} \\ \\ &=\big[\frac{DV_i}{1-D}-V_F]\cdot\frac{(1-D)^2R}{(1-D)R_F+(1-D)^2R+ R_L+DR_S} \tag{34} \\ \\ &=\big[ V_i-\frac{1-D}{D}V_F \big]\cdot \frac{\frac{(1-D)^2}{ D^2}R}{\frac{R_E}{D^2}+\frac{(1-D)^2}{ D^2}}\cdot\frac D{1-D} \tag{35} \end{align*}
Vo=(1−D)[DVi−(1−D)VF]⋅(1−D)RF+(1−D)2R+RL+DRS(1−D)2R=[1−DDVi−VF]⋅(1−D)RF+(1−D)2R+RL+DRS(1−D)2R=[Vi−D1−DVF]⋅D2RE+D2(1−D)2D2(1−D)2R⋅1−DD(33)(34)(35)
由于开关网络上开关管永远流过电感在
(
0
,
D
T
s
)
(0, \ DT_s)
(0, DTs) 内的电流，二极管流过电感在
(
D
T
s
,
T
s
)
(DT_s, \ T_s)
(DTs, Ts) 内的电流
所以 BUCK 和 BOOST 开关网络的电流关系相同，能量守恒平均得到的等效电阻也相同
R
S
′
=
R
S
D
(36)
R_S'=\frac{R_S}{D}\tag{36}
RS′=DRS(36)
R
F
′
=
R
F
1
−
D
(37)
R_F'=\frac{R_F}{1-D}\tag{37}
RF′=1−DRF(37)
效率
η
=
P
o
u
t
P
i
n
=
I
R
V
o
I
i
V
i
=
(
1
−
D
)
V
o
D
V
i
=
D
V
i
−
(
1
−
D
)
V
F
D
V
i
⋅
(
1
−
D
)
2
R
(
1
−
D
)
2
R
+
R
L
+
D
R
S
+
(
1
−
D
)
R
F
=
1
1
+
R
E
R
(
1
−
D
)
2
+
V
F
V
o
\begin{align*} \eta=\frac{P_{out}}{P_{in}}=\frac{I_RV_o}{I_iV_i}&=\frac{(1-D)V_o}{DV_i}\\ \\ &=\frac{DV_i-(1-D)V_{F}}{DV_i}\cdot\frac{(1-D)^2R}{(1-D)^2R+R_L+DR_S+(1-D)R_F}\tag{38} \\ \\ &=\frac{1}{1+\frac{R_E }{ R (1-D)^2}+\frac{ V_F }{ V_o }}\tag{39} \end{align*}
η=PinPout=IiViIRVo=DVi(1−D)Vo=DViDVi−(1−D)VF⋅(1−D)2R+RL+DRS+(1−D)RF(1−D)2R=1+R(1−D)2RE+VoVF1(38)(39)
式（39）虽然与BOOST的一样，但同占空比下输出不同，所以效率不同
显然效率要高则
R
E
R_E
RE，
V
F
V_F
VF 要尽量小，其中
R
E
=
R
L
+
D
R
S
+
(
1
−
D
)
R
F
(40)
R_E=R_L+DR_S+(1-D)R_F\tag{40}
RE=RL+DRS+(1−D)RF(40)
模仿CCM下的理想稳态分析可得到纹波的计算公式
Δ
i
L
=
[
V
i
−
I
i
(
R
L
+
R
S
)
]
D
T
s
L
(41)
\Delta i_L=\frac{[V_i-I_i(R_L+R_S)]DT_s}{L}\tag{41}
ΔiL=L[Vi−Ii(RL+RS)]DTs(41)
若电容提前放电，设提前放电时间为
D
T
s
+
k
(
1
−
D
)
T
s
DT_s+k(1-D)T_s
DTs+k(1−D)Ts 则
k
=
I
L
m
a
x
−
I
o
Δ
i
L
=
I
L
+
0.5
Δ
i
L
−
I
o
Δ
i
L
k=\frac{I_{Lmax}-I_o}{\Delta i_L}=\frac{I_L+0.5\Delta i_L-I_o}{\Delta i_L}
k=ΔiLILmax−Io=ΔiLIL+0.5ΔiL−Io
滤波电容的有效电流比较难算，所以先不算滤波电容功率损耗了
6.1 CCM非理想大信号平均模型
由式（36、37）可得 CCM非理想大信号平均模型
6.2 CCM等效大信号平均模型
即将寄生参数全部等效至电感端（公共端）
6.3 CCM的DC电路模型
电容支路看作开路，电感看作短路，得到DC电路模型
由式（33）可得
V
i
V_i
Vi 先乘 BUCK 的变比，减去
(
1
−
D
)
V
F
(1-D)V_F
(1−D)VF ，再分压公式，最后乘 BOOST 的变比到输出端
这是最本质的看法，得到的结果是 BUCK-BOOST 是 BUCK 与 BOOST 的级联
式（34）则是
V
i
V_i
Vi 先乘 BUCK-BOOST 的变比，再减去
V
F
V_F
VF ，再分压公式直接得到输出，这种看法是把所有寄生参数等效至二极管（被动，p）支路，在直流忽略电感下就是等效至输出回路
式（35）则是
V
i
V_i
Vi 减去
(
1
−
D
)
V
F
/
D
(1-D)V_F/D
(1−D)VF/D 再分压公式，再乘 BUCK-BOOST 变比得到输出，这种看法是把所有寄生参数等效至开关管（主动，a）支路，在直流忽略电感下就是等效至输入回路
到现在各种等效（到各个支路）与开关网络中各种关系看的有点乱，后面一篇会统一解释
6.4 CCM的小信号线性电路模型
对于BOOST电路的开关网络部分，在动态情况下，占空比输入可能存在微小扰动，所以三端开关网络的输入、输出部分也存在微小扰动
即
v
a
p
=
V
a
p
+
v
^
a
p
v_{ap}=V_{ap}+\hat v_{ap}
vap=Vap+v^ap，
i
a
=
I
a
+
i
^
a
i_{a}=I_{a}+\hat i_{a}
ia=Ia+i^a，
i
c
=
I
c
+
i
^
c
i_{c}=I_{c}+\hat i_{c}
ic=Ic+i^c
令含扰动的占空比为
d
=
D
+
d
^
d=D+\hat d
d=D+d^
理想变比关系有
i
p
=
(
1
−
d
)
d
i
a
v
c
p
=
d
(
1
−
d
)
v
a
c
\begin{align*} i_p&=\frac{(1-d)}di_a \tag{42}\\ \\ v_{cp}&=\frac d{(1-d)}v_{ac}\tag{43} \end{align*}
ipvcp=d(1−d)ia=(1−d)dvac(42)(43)
由式（42）
(
D
+
d
^
)
(
I
p
+
i
^
p
)
=
(
1
−
D
−
d
^
)
(
I
a
+
i
^
a
)
D
i
p
+
d
^
I
p
=
(
1
−
D
)
i
a
−
d
^
I
a
i
p
+
d
^
I
p
/
D
=
(
1
−
D
)
D
i
a
−
d
^
I
a
/
D
\begin{align*} (D+\hat d)(I_p+\hat i_p)&=(1-D-\hat d)(I_a+\hat i_a) \\ \\ Di_p+\hat dI_p&=(1-D)i_a-\hat dI_a \\ \\ i_p+\hat dI_p/D&=\frac{(1-D)}Di_a-\hat dI_a/D \\ \\ \end{align*}
(D+d^)(Ip+i^p)Dip+d^Ipip+d^Ip/D=(1−D−d^)(Ia+i^a)=(1−D)ia−d^Ia=D(1−D)ia−d^Ia/D
由开关网络本身的关系，有
I
p
=
(
1
−
D
)
I
c
I_p=(1-D)I_c
Ip=(1−D)Ic
I
a
=
D
I
c
I_a=DI_c
Ia=DIc
所以
i
p
+
(
d
^
I
c
/
D
)
=
1
−
D
D
i
a
i_p+(\hat d I_c/D)=\frac{1-D}D i_a
ip+(d^Ic/D)=D1−Dia
i
p
=
1
−
D
D
(
i
a
−
d
^
I
c
1
−
D
)
(44)
i_p=\frac{1-D}D(i_a-\frac{\hat d I_c}{1-D})\tag{44}
ip=D1−D(ia−1−Dd^Ic)(44)
由式（43）
(
1
−
D
)
v
c
p
−
d
^
V
c
p
=
D
v
a
c
+
d
^
V
a
c
(1-D)v_{cp}-\hat dV_{cp}=Dv_{ac}+\hat d V_{ac}
(1−D)vcp−d^Vcp=Dvac+d^Vac
由开关网络本身的关系，有
V
c
p
=
D
V
a
p
V_{cp}=DV_{ap}
Vcp=DVap
V
a
c
=
(
1
−
D
)
V
a
p
V_{ac}=(1-D)V_{ap}
Vac=(1−D)Vap
所以
(
1
−
D
)
v
c
p
−
d
^
D
V
a
p
=
D
v
a
c
+
d
^
(
1
−
D
)
V
a
p
(1-D)v_{cp}-\hat dDV_{ap}=Dv_{ac}+\hat d (1-D)V_{ap}
(1−D)vcp−d^DVap=Dvac+d^(1−D)Vap
(
1
−
D
)
v
c
p
=
D
v
a
c
+
d
^
V
a
p
(1-D)v_{cp}=Dv_{ac}+\hat dV_{ap}
(1−D)vcp=Dvac+d^Vap
v
c
p
=
D
1
−
D
v
a
c
+
d
^
1
−
D
V
a
p
(45)
v_{cp}=\frac D{1-D}v_{ac}+\frac{\hat d}{1-D}V_{ap}\tag{45}
vcp=1−DDvac+1−Dd^Vap(45)
根据（44、45）两式可以得到BOOST开关网络在CCM下的小信号等效电路模型
除去直流，从而得到非理想的CCM小信号线性电路模型
其中
i
^
L
=
i
c
\hat i_L=i_c
i^L=ic
v
a
c
=
v
^
i
−
v
^
L
=
v
^
i
−
i
c
(
s
L
+
R
E
)
v_{ac}=\hat v_i-\hat v_L=\hat v_i-i_c (sL+R_E)
vac=v^i−v^L=v^i−ic(sL+RE)
可以发现 这里并没有将等效电阻等效至开关管或者二极管支路，这是因为小信号模型不存在“ 等效 ” 这种说法
只有在大信号时间平均模型里存在各种等效
所以先用大信号时间平均模型等效出
R
E
R_E
RE ，再进行小信号分析是一种对寄生参数 不严谨 的简化方法，唯一作用就是简化计算
若要得到更精确的非理想小信号传递函数，需要把小信号等效电路代入未将寄生参数等效的CCM非理想大信号平均电路之中来算
6.5 CCM非理想小信号传递函数
由小信号模型看出，电感的位置比较蛋疼，又不能被等效到别的支路，只能加上它的电压来算
用信号与系统中练过的 s域模型分析方法与分压公式可求传递函数
电容：
1
s
C
\frac {1}{ sC}
sC1 ，电感：
s
L
sL
sL
6.5.1 求输出对占空比的传递函数
输入看作恒定值，则
v
^
i
=
0
\hat v_i=0
v^i=0，由小信号模型
v
a
c
=
−
i
c
(
s
L
+
R
E
)
v_{ac}=-i_c(sL+R_E)
vac=−ic(sL+RE)
所以
v
c
p
=
D
1
−
D
(
−
i
c
(
s
L
+
R
E
)
)
+
d
^
1
−
D
(
V
i
+
V
o
)
(46)
v_{cp}=\frac{D}{1-D}(-i_c(sL+R_E))+\frac{\hat d}{1-D}(V_i+V_o)\tag{46}
vcp=1−DD(−ic(sL+RE))+1−Dd^(Vi+Vo)(46)
由
i
a
=
i
c
−
i
p
i_a=i_c-i_p
ia=ic−ip
代入式（44）有
i
p
=
1
−
D
D
(
i
c
−
i
p
)
−
d
^
D
I
c
i_p=\frac{1-D}D(i_c-i_p)-\frac{\hat d}{D}I_c
ip=D1−D(ic−ip)−Dd^Ic
i
c
=
i
p
1
−
D
+
d
^
1
−
D
I
c
(47)
i_c=\frac{i_p}{1-D}+\frac{\hat d}{1-D}I_c\tag{47}
ic=1−Dip+1−Dd^Ic(47)
观察输出部分有
i
p
=
v
^
o
(
R
C
+
1
/
s
C
)
/
/
R
(48)
i_p=\frac{\hat v_o}{(R_C+1/sC)//R}\tag{48}
ip=(RC+1/sC)//Rv^o(48)
由输出回路有
v
c
p
−
i
c
(
s
L
+
R
E
)
=
i
p
[
(
R
C
+
1
/
s
C
)
/
/
R
]
(49)
v_{cp}-i_c(sL+R_E)=i_p\big[(R_C+1/sC)//R\big]\tag{49}
vcp−ic(sL+RE)=ip[(RC+1/sC)//R](49)
先（46）代入（49），再合并
i
c
i_c
ic ，再代式（47），再代式（48），即可左右分别合并
d
^
\hat d
d^ 与
v
^
o
\hat v_o
v^o ，解出
G
v
d
(
s
)
=
v
^
o
d
^
=
[
R
(
V
i
+
V
o
)
(
1
−
D
)
−
(
s
L
+
R
E
)
V
o
/
(
1
−
D
)
]
(
s
C
R
C
+
1
)
s
2
L
C
(
R
C
+
R
)
+
s
[
C
R
E
(
R
C
+
R
)
+
(
1
−
D
)
2
C
R
C
R
+
L
]
+
R
E
+
(
1
−
D
)
2
R
(50)
G_{vd}(s)=\frac{\hat v_o}{\hat d}=\frac{\big[ R(V_i+V_o)(1-D)-(sL+R_E)V_o/(1-D) \big](sCR_C+1)}{s^2LC(R_C+R)+s\big[ CR_E(R_C+R)+(1-D)^2CR_CR+L \big]+R_E+(1-D)^2R}\tag{50}
Gvd(s)=d^v^o=s2LC(RC+R)+s[CRE(RC+R)+(1−D)2CRCR+L]+RE+(1−D)2R[R(Vi+Vo)(1−D)−(sL+RE)Vo/(1−D)](sCRC+1)(50)
特征方程与BOOST的一样
6.5.2 求输出阻抗
令
v
^
i
=
d
^
=
0
\hat v_i=\hat d=0
v^i=d^=0 ，有
0
=
v
a
c
+
i
c
(
s
L
+
R
E
)
(51)
0=v_{ac}+i_c(sL+R_E)\tag{51}
0=vac+ic(sL+RE)(51)
v
c
p
=
D
1
−
D
v
a
c
(52)
v_{cp}=\frac D{1-D}v_{ac}\tag{52}
vcp=1−DDvac(52)
i
p
=
1
−
D
D
i
a
(53)
i_p=\frac{1-D}D i_a\tag{53}
ip=D1−Dia(53)
v
c
p
−
i
c
(
R
E
+
s
L
)
=
v
^
o
(54)
v_{cp}-i_c(R_E+sL)=\hat v_o\tag{54}
vcp−ic(RE+sL)=v^o(54)
需要先求出输入回路等效到输出回路的等效电阻
R
′
R'
R′
−
i
p
R
′
=
v
^
o
-i_pR'=\hat v_o
−ipR′=v^o
（52）代入（54），再（51）代入（54）有
−
i
c
s
L
+
R
E
(
1
−
D
)
2
=
v
^
o
-i_c\frac{sL+R_E}{(1-D)^2}=\hat v_o
−ic(1−D)2sL+RE=v^o
由式（47）有
i
c
=
i
p
1
−
D
i_c=\frac{i_p}{1-D}
ic=1−Dip
所以
−
i
p
(
s
L
+
R
E
)
(
1
−
D
)
2
=
v
^
o
-\frac{i_p(sL+R_E)}{(1-D)^2}=\hat v_o
−(1−D)2ip(sL+RE)=v^o
R
′
=
s
L
+
R
E
(
1
−
D
)
2
R'=\frac{sL+R_E}{(1-D)^2}
R′=(1−D)2sL+RE
这个倒是满足大信号直流开关网络模型的等效方式，这是因为控制输入扰动设为0了，小信号模型退化为直流形式，输入输出的电压电流存在直流大信号时候的变比关系，相应的阻抗存在直流大信号时的等效关系
所以这里不算巧合，是自然而然的
于是可以得到输出电阻
Z
o
(
s
)
=
s
L
+
R
E
(
1
−
D
)
2
/
/
(
R
C
+
1
/
s
L
)
/
/
R
=
(
R
E
+
s
L
)
(
s
C
R
C
+
1
)
R
s
2
L
C
(
R
C
+
R
)
+
s
[
C
R
E
(
R
C
+
R
)
+
(
1
−
D
)
2
C
R
C
R
+
L
]
+
R
E
+
(
1
−
D
)
2
R
\begin{align*} Z_o(s)&=\frac{sL+R_E}{(1-D)^2}//(R_C+1/sL)//R \\ \\ &=\frac{(R_E+sL)(sCR_C+1)R}{s^2LC(R_C+R)+s\big[ CR_E(R_C+R)+(1-D)^2CR_CR+L \big]+R_E+(1-D)^2R}\tag{55} \end{align*}
Zo(s)=(1−D)2sL+RE//(RC+1/sL)//R=s2LC(RC+R)+s[CRE(RC+R)+(1−D)2CRCR+L]+RE+(1−D)2R(RE+sL)(sCRC+1)R(55)
与式（50）特征方程一样
6.5.3 求输入阻抗
令
d
^
=
0
\hat d=0
d^=0 ，式（52、53）成立，由上面的结论，直接把电感支路阻抗等效到输入回路，输出回路阻抗通过变比等效至输入回路，得
Z
i
(
s
)
=
(
1
−
D
D
)
2
R
(
s
C
R
C
+
1
)
s
C
(
R
C
+
R
)
+
1
+
s
L
+
R
E
D
2
=
s
2
L
C
(
R
C
+
R
)
+
s
[
C
R
E
(
R
C
+
R
)
+
(
1
−
D
)
2
C
R
C
R
+
L
]
+
R
E
+
(
1
−
D
)
2
R
D
2
[
s
C
(
R
C
+
R
)
+
1
]
\begin{align*} Z_i(s) &=(\frac{1-D}D)^2\frac{R(sCR_C+1)}{sC(R_C+R)+1}+\frac{sL+R_E}{D^2} \\ \\ &=\frac{s^2LC(R_C+R)+s\big[ CR_E(R_C+R)+(1-D)^2CR_CR+L \big]+R_E+(1-D)^2R}{D^2\big[ sC(R_C+R)+1 \big]}\tag{56} \end{align*}
Zi(s)=(D1−D)2sC(RC+R)+1R(sCRC+1)+D2sL+RE=D2[sC(RC+R)+1]s2LC(RC+R)+s[CRE(RC+R)+(1−D)2CRCR+L]+RE+(1−D)2R(56)
分母是特征方程
6.5.4 求小信号传递函数
令
d
^
=
0
\hat d=0
d^=0 ，由上面的结论，直接把电感支路阻抗等效到输入回路，输出回路阻抗通过变比等效至输入回路
应用分压公式得到电压再等效到输出回路就行
A
(
s
)
=
v
^
o
v
^
i
=
(
1
−
D
D
)
2
[
(
R
C
+
1
/
s
C
)
/
/
R
]
R
E
+
s
L
D
2
+
(
1
−
D
D
)
2
[
(
R
C
+
1
/
s
C
)
/
/
R
]
⋅
D
1
−
D
=
D
(
1
−
D
)
⋅
(
1
+
s
C
R
C
)
R
s
2
L
C
(
R
C
+
R
)
+
s
[
C
R
E
(
R
C
+
R
)
+
(
1
−
D
)
2
C
R
C
R
+
L
]
+
R
E
+
(
1
−
D
)
2
R
\begin{align*} A(s)=\frac{\hat v_o}{\hat v_i} & =\frac{(\frac{1-D}{ D})^2 \big[ (R_C+1/sC)//R \big]} {\frac{ R_E+sL}{ D^2}+(\frac{1-D}{ D})^2 \big[ (R_C+1/sC)//R \big]}\cdot\frac D{1-D} \\ \\ &=\frac{D(1-D)\cdot(1+sCR_C)R}{s^2LC(R_C+R)+s\big[ CR_E(R_C+R)+(1-D)^2CR_CR+L \big]+R_E+(1-D)^2R}\tag{57} \end{align*}
A(s)=v^iv^o=D2RE+sL+(D1−D)2[(RC+1/sC)//R](D1−D)2[(RC+1/sC)//R]⋅1−DD=s2LC(RC+R)+s[CRE(RC+R)+(1−D)2CRCR+L]+RE+(1−D)2RD(1−D)⋅(1+sCRC)R(57)
7. CCM理想状态空间平均分析
取电感电流与电容电压为状态变量有
S导通：
d
d
t
[
i
L
u
C
]
=
[
0
0
0
−
1
R
C
]
[
i
L
u
C
]
+
[
1
L
0
]
v
i
(58)
\frac d{dt} \begin{bmatrix} i_L \\ u_C \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -\frac 1 {RC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_L \\ u_C \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac 1 L \\ 0 \end{bmatrix} v_i\tag{58}
dtd[iLuC]=[000−RC1][iLuC]+[L10]vi(58)
S关闭：
d
d
t
[
i
L
u
C
]
=
[
0
−
1
L
1
C
−
1
R
C
]
[
i
L
u
C
]
+
[
0
0
]
v
i
(59)
\frac d{dt} \begin{bmatrix} i_L \\ u_C \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & -\frac 1 L \\ \frac 1 C & -\frac 1 {RC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_L \\ u_C \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} v_i \tag{59}
dtd[iLuC]=[0C1−L1−RC1][iLuC]+[00]vi(59)
（58）乘 D 加（59）乘（1-D）得大信号状态空间平均模型
d
d
t
[
I
L
V
C
]
=
[
0
−
1
−
D
L
1
−
D
C
−
1
R
C
]
[
I
L
V
C
]
+
[
1
L
0
]
D
V
i
(60)
\frac d{dt} \begin{bmatrix} I_L \\ V_C \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & -\frac {1-D} L \\ \frac {1-D} C & -\frac 1 {RC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_L \\ V_C \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac 1 L \\ 0 \end{bmatrix} DV_i \tag{60}
dtd[ILVC]=[0C1−D−L1−D−RC1][ILVC]+[L10]DVi(60)
加入扰动
d
d
t
[
I
L
+
i
^
L
V
C
+
u
^
C
]
=
[
0
−
1
−
D
−
d
^
L
1
−
D
−
d
^
C
−
1
R
C
]
[
I
L
+
i
^
L
V
C
+
u
^
C
]
+
[
1
L
0
]
(
D
+
d
^
)
(
V
i
+
v
^
i
)
\frac d{dt} \begin{bmatrix} I_L+\hat i_L \\ V_C+\hat u_C \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & -\frac {1-D-\hat d} L \\ \frac {1-D-\hat d} C & -\frac 1 {RC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_L+\hat i_L \\ V_C+\hat u_C \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac 1 L \\ 0 \end{bmatrix} (D+\hat d)(V_i+\hat v_i)
dtd[IL+i^LVC+u^C]=[0C1−D−d^−L1−D−d^−RC1][IL+i^LVC+u^C]+[L10](D+d^)(Vi+v^i)
减去式（48），
V
C
=
V
o
V_C=V_o
VC=Vo
d
d
t
[
i
^
L
u
^
C
]
=
[
0
d
^
L
−
d
^
C
0
]
[
I
L
V
o
]
+
[
0
−
1
−
D
−
d
^
L
1
−
D
−
d
^
C
−
1
R
C
]
[
i
^
L
u
^
C
]
+
[
1
L
0
]
(
V
i
d
^
+
v
^
i
D
)
\frac d{dt} \begin{bmatrix} \hat i_L \\\hat u_C \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & \frac {\hat d} L \\ -\frac {\hat d} C & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_L \\ V_o \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & -\frac {1-D-\hat d} L \\ \frac {1-D-\hat d} C & -\frac 1 {RC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat i_L \\ \hat u_C \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \frac 1 L \\ 0 \end{bmatrix} (V_i\hat d+\hat v_iD)
dtd[i^Lu^C]=[0−Cd^Ld^0][ILVo]+[0C1−D−d^−L1−D−d^−RC1][i^Lu^C]+[L10](Vid^+v^iD)
线性化去除高阶小量，代入
v
^
i
=
0
\hat v_i=0
v^i=0
d
d
t
[
i
^
L
u
^
C
]
=
[
0
−
1
−
D
L
1
−
D
C
−
1
R
C
]
[
i
^
L
u
^
C
]
+
[
V
o
L
−
I
L
C
]
d
^
+
[
1
L
0
]
V
i
d
^
\frac d{dt} \begin{bmatrix} \hat i_L \\\hat u_C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & -\frac {1-D} L \\ \frac {1-D} C & -\frac 1 {RC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat i_L \\ \hat u_C \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} \frac { V_o}{ L} \\ -\frac{ I_L}{C} \end{bmatrix} \hat d +\begin{bmatrix} \frac 1 L \\ 0 \end{bmatrix} V_i\hat d
dtd[i^Lu^C]=[0C1−D−L1−D−RC1][i^Lu^C]+[LVo−CIL]d^+[L10]Vid^
做 Laplace 变换，取初值为0
s
[
I
^
L
(
s
)
V
^
C
(
s
)
]
=
[
0
−
1
−
D
L
1
−
D
C
−
1
R
C
]
[
I
^
L
(
s
)
V
^
C
(
s
)
]
+
[
V
o
L
−
I
L
C
]
d
^
(
s
)
+
[
1
L
0
]
V
i
d
^
(
s
)
s \begin{bmatrix} \hat I_L(s) \\ \hat V_C(s) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & -\frac {1-D} L \\ \frac {1-D} C & -\frac 1 {RC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat I_L (s)\\\hat V_C(s) \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} \frac { V_o}{ L} \\ -\frac{ I_L}{ C} \end{bmatrix} \hat d (s) +\begin{bmatrix} \frac 1 L \\ 0 \end{bmatrix} V_i\hat d(s)
s[I^L(s)V^C(s)]=[0C1−D−L1−D−RC1][I^L(s)V^C(s)]+[LVo−CIL]d^(s)+[L10]Vid^(s)
有
s
C
V
^
C
(
s
)
=
(
1
−
D
)
I
^
L
(
s
)
−
1
R
V
^
C
(
s
)
−
I
L
d
^
(
s
)
sC\hat V_C(s)=(1-D)\hat I_L(s)-\frac 1 R\hat V_C(s)-I_L\hat d(s)
sCV^C(s)=(1−D)I^L(s)−R1V^C(s)−ILd^(s)
s
L
I
^
L
(
s
)
=
−
(
1
−
D
)
V
^
C
(
s
)
+
(
V
o
+
V
i
)
d
^
(
s
)
sL\hat I_L(s)=-(1-D)\hat V_C(s)+ (V_o+V_i)\hat d(s)
sLI^L(s)=−(1−D)V^C(s)+(Vo+Vi)d^(s)
代入式（4），消去
I
^
L
(
s
)
\hat I_L(s)
I^L(s) 有
V
^
C
(
s
)
d
^
(
s
)
=
(
1
−
D
)
(
V
o
+
V
i
)
R
−
V
o
s
L
/
(
1
−
D
)
s
2
C
L
R
+
s
L
+
(
1
−
D
)
2
R
(61)
\frac{\hat V_C(s)}{\hat d(s)}=\frac{(1-D)(V_o+V_i)R - V_osL/(1-D)}{s^2CLR+sL+(1-D)^2R} \tag{61}
d^(s)V^C(s)=s2CLR+sL+(1−D)2R(1−D)(Vo+Vi)R−VosL/(1−D)(61)
与式（50）
R
E
=
R
C
=
0
R_E=R_C=0
RE=RC=0 时候的公式相同
下链
[[5. CCM三端开关网络的统一方法]]
