最长递增子序列

1. dp[i]的定义
   dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
2. 状态转移方程
   位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
   所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
3. dp[i]的初始化
   每一个i，对应的dp[i]起始大小至少都是1。因为至少含有自身的一个元素
4. 确定遍历顺序
   dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
   j是遍历0到i-1，把 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。
   遍历i的循环在外层，遍历j则在内层，
5. 举例推导dp数组

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {

        vector<int>dp(nums.size(),1);      //dp：以nums[i]为结尾的最长递增子序列
        int result = 1;

        for(int i=1; i<nums.size();i++)
        {
          for(int j=0; j<i;j++)    
          {
              if(nums[j]<nums[i])
                dp[i] = max(dp[j]+1, dp[i]);
          }

          if(dp[i] > result)
          result = dp[i];
        }

        return result;

    }
};

最长连续递增序列

 这题和上一题相比，要求序列是连续的，则递推公式改为
if(nums[i-1] < nums[i])     dp[i] = dp[i-1]+1;

因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。所以不再需要两层遍历。

class Solution {
public:
    int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {

        vector<int>dp(nums.size(),1);   //dp：以nums[i]为结尾的最长递增子序列
        int result = 1;

        for(int i=1; i<nums.size(); i++)
        {
            if(nums[i-1] < nums[i])
            dp[i] = dp[i-1]+1;

            result = result < dp[i] ? dp[i] : result;
        }

        return result;

    }
};

 最长重复子数组

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。
2. 确定递推公式
   根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。
   即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
   根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始，否则会数组越界
3. dp数组如何初始化
   为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; 
   dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值为0。
4. 确定遍历顺序
   外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。 （遍历顺序无所谓）
   题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。
5. 举例推导dp数组

• 

class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {

        //以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]
        vector<vector<int>>dp(nums1.size()+1,vector<int>(nums2.size()+1,0));
        int max =0;

        for(int i=1; i<=nums1.size();i++)
          for(int j=1; j<=nums2.size();j++)
          {
              if(nums1[i-1] == nums2[j-1])
              dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;

              max = max>dp[i][j] ? max : dp[i][j];
          }

          return max;

    }
};