【线性代数】快速复习笔记

news2025/1/12 6:58:26

线性代数快速复习

  • 行列式
    • 行列式的基础计算
      • 某行（列加上或减去另一行（列的几倍，行列式不变
      • 某行列乘k,等于k乘此行列式
      • 互换两行列，行列式变号
    • 行列式的性质
      • 1 主对角线是X，其余是其他常数a
      • 2 范德蒙德行列式
      • 3 行列式加减法
      • 4 余子式M和代数余子式A
      • 5 利用代数余子式计算行列式的值
      • 6 多个A或M相加减
      • 7 解齐次与非齐次方程组
  • 矩阵
    • 矩阵相乘
      • 基本运算
      • 单位矩阵及其他注意事项
      • 矩阵的绝对值
    • 其他
      • 转置矩阵
      • 证明矩阵可逆
      • 求逆矩阵
      • 利用逆矩阵进行矩阵乘法运算
      • 伴随矩阵
      • 矩阵的秩
  • 向量组与线性空间
    • 线性表示（矩阵和增广矩阵秩相等）
    • 向量组线性相关（组成的矩阵秩小于向量个数）
    • 求向量在某基底坐标
    • 求极大无关组
  • 解方程组
    • 判断解的情况
    • 解方程组
      • 特解、通解、基础解系
      • 已知多个非齐次特解求齐次通解
      • 线性无关的解个数
  • 方阵对角化及应用
    • 规范正交化
    • 求特征值
    • 特征向量
    • 与对角阵相似
  • 二次型
    • 系数矩阵
    • 化为标准型（用特征值求）
    • 化为规范形
    • 配方法化为标准型
    • 正定矩阵

行列式

行列式的基础计算

某行（列加上或减去另一行（列的几倍，行列式不变

在这里插入图片描述

某行列乘k,等于k乘此行列式

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互换两行列，行列式变号

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计算的书写步骤和规范
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行列式的性质

1 主对角线是X，其余是其他常数a

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2 范德蒙德行列式

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3 行列式加减法

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例题：
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4 余子式M和代数余子式A

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5 利用代数余子式计算行列式的值

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6 多个A或M相加减

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7 解齐次与非齐次方程组

齐次方程组没有常数项，而非齐次有
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矩阵

矩阵相乘

基本运算

前行乘后列，以前面的行数和后面的列数确定结果行列数，而前面的列数和后面的行数需要相等才能相乘
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单位矩阵及其他注意事项

注意矩阵乘法满足分配律但不满足交换律

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矩阵的绝对值

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其他

转置矩阵

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证明矩阵可逆

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求逆矩阵

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利用逆矩阵进行矩阵乘法运算

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伴随矩阵

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矩阵的秩

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其实只要0的数量递增就行，不用最后一行一定全是0，此时R(A)=3
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向量组与线性空间

线性表示（矩阵和增广矩阵秩相等）

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向量组线性相关（组成的矩阵秩小于向量个数）

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求向量在某基底坐标

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求极大无关组

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解方程组

判断解的情况

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齐次示例：

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非齐次示例
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解方程组

例1：
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例2：
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如果是齐次：
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特解、通解、基础解系

特解
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通解
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基础解系
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已知多个非齐次特解求齐次通解

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下面的X1和X2不成比例，所以线性无关

线性无关的解个数

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方阵对角化及应用

规范正交化

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求特征值

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特征向量

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与对角阵相似

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二次型

系数矩阵

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化为标准型（用特征值求）

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化为规范形

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配方法化为标准型

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正定矩阵

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