一、算法简介:
GBDT 的全称是 Gradient Boosting Decision Tree
,梯度提升树,在传统机器学习算法中,GBDT算的上是TOP前三的算法。
想要理解GBDT的真正意义,那就必须理解GBDT中的Gradient Boosting
和Decision Tree
分别是什么?
1. Decision Tree:CART回归树
首先,GBDT使用的决策树是CART回归树,无论是处理回归问题还是二分类以及多分类,GBDT使用的决策树通通都是都是CART回归树。
为什么不用CART分类树呢?因为GBDT每次迭代要拟合的是梯度值,是连续值所以要用回归树。
对于回归树算法来说最重要的是寻找最佳的划分点,那么回归树中的可划分点包含了所有特征的所有可取的值。
在分类树中最佳划分点的判别标准是熵或者基尼系数,都是用纯度来衡量的,但是在回归树中的样本标签是连续数值,所以再使用熵之类的指标不再合适,取而代之的是平方误差,它能很好的评判拟合程度。
2.回归树生成算法:
输入:训练数据集 D D D
输出:回归树 f ( x ) f(x) f(x)
在训练数据集所在的输入空间中,递归的将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值,构建二叉决策树:
1)选择最优切分变量
j
j
j与切分点
s
s
s,求解:
min
j
,
s
[
min
c
1
∑
x
i
∈
R
1
(
j
,
s
)
(
y
i
−
c
1
)
2
+
min
c
2
∑
x
i
∈
R
2
(
j
,
s
)
(
y
i
−
c
2
)
2
\min_{j,s}[\min_{c_1}\sum_{x_i\in R_1(j,s)}(y_i-c_1)^2+\min_{c_2}\sum_{x_i\in R_2(j,s)}(y_i-c_2)^2
j,smin[c1minxi∈R1(j,s)∑(yi−c1)2+c2minxi∈R2(j,s)∑(yi−c2)2
遍历变量 j j j,对固定的切分变量 j j j扫描切分点 s s s,选择使得上式达到最小值的对 ( j , s ) (j,s) (j,s)。
(2)用选定的对 ( j , s ) (j,s) (j,s)划分区域并决定相应的输出值:
R
1
(
j
,
s
)
=
x
∣
x
(
j
)
≤
s
,
R
2
(
j
,
s
)
=
x
∣
x
(
j
)
>
s
R_1(j,s)=x|x^{(j)}\leq s\quad ,R_2(j,s)=x|x^{(j)}>s
R1(j,s)=x∣x(j)≤s,R2(j,s)=x∣x(j)>s
c
m
^
=
1
N
∑
x
i
∈
R
m
(
j
,
s
)
y
i
,
m
=
1
,
2
\hat{c_m}=\frac{1}{N}\sum_{x_i\in R_m(j,s)}y_i\;,\;m=1,2
cm^=N1xi∈Rm(j,s)∑yi,m=1,2
(3)继续对两个子区域调用步骤(1)和(2),直至满足停止条件。
(4)将输入空间划分为 M M M个区域 R 1 , R 2 , ⋯ , R m R_1\;,\;R_2\;,\;\cdots\;,\;R_m R1,R2,⋯,Rm,生成决策树:
f ( x ) = ∑ m = 1 M c m ^ I ( x ∈ R m ) f(x)=\sum_{m=1}^M\hat{c_m}I(x\in R_m) f(x)=m=1∑Mcm^I(x∈Rm)
3. Gradient Boosting:拟合负梯度
梯度提升树(Grandient Boosting)是提升树(Boosting Tree)的一种改进算法,所以在讲梯度提升树之前先来说一下提升树。
我们用上一篇文章的例子来理解:
假如有个人30岁,我们首先用20岁去拟合,发现损失有10岁;我们去你和损失,拟合的数值为6岁,发现差距还有4岁,第三轮我们用3岁拟合剩下的差距,差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完,可以继续迭代下面,每一轮迭代,拟合的岁数误差都会减小。最后将每次拟合的岁数加起来便是模型输出的结果。
提升树算法:
(1)初始化 f 0 ( x ) = 0 f_0(x)=0 f0(x)=0
(2)对 m = 1 , 2 , … , M m=1,2,…,M m=1,2,…,M:
1)计算残差 r m i = y i − f m − 1 ( x i ) , i = 1 , 2 , ⋯ , N r_{mi}=y_i-f_{m-1}(x_i)\;,\;i=1,2,\cdots,N rmi=yi−fm−1(xi),i=1,2,⋯,N
2)拟合残差 r m i r_{mi} rmi学习一个回归树,得到 h m ( x ) h_m(x) hm(x)
3)更新 f m ( x ) = f m − 1 ( x ) + h m ( x ) f_m(x)=f_{m-1}(x)+h_m(x) fm(x)=fm−1(x)+hm(x)
(3)得到回归问题提升树
f M ( x ) = ∑ m = 1 M h m ( x ) f_M(x)=\sum_{m=1}^Mh_m(x) fM(x)=m=1∑Mhm(x)
上面伪代码中的残差是什么?
在提升树算法中,假设我们前一轮迭代得到的强学习器是 f t − 1 ( x ) f_{t-1}(x) ft−1(x),损失函数是 L ( y , f t − 1 ( x ) ) L(y,f_{t-1}(x)) L(y,ft−1(x)),我们本轮迭代的目标是找到一个弱学习器 h t ( x ) h_t(x) ht(x),最小化本轮的损失 L ( y , f t ( x ) ) = L ( y , f t − 1 ( x ) + h t ( x ) ) L(y,f_t(x))=L(y,f_{t-1}(x)+h_t(x)) L(y,ft(x))=L(y,ft−1(x)+ht(x))。
当采用平方损失函数时:
L ( y , f t − 1 ( x ) + h t ( x ) ) = ( y − f t − 1 ( x ) − h t ( x ) ) 2 = ( r − h t ( x ) ) 2 L(y,f_{t-1}(x)+h_t(x))=(y-f_{t-1}(x)-h_t(x))^2=(r-h_t(x))^2 L(y,ft−1(x)+ht(x))=(y−ft−1(x)−ht(x))2=(r−ht(x))2
这里: r = y − f t − 1 ( x ) r=y-f_{t-1}(x) r=y−ft−1(x),是当前模型拟合数据的残差(residual)。
所以,对于提升树来说只需要简单地拟合当前模型的残差。
回到我们上面讲的那个通俗易懂的例子中,第一次迭代的残差是10岁,第二次残差4岁…
当损失函数是平方损失和指数损失函数时,梯度提升树每一步优化是很简单的,但是对于一般损失函数而言,往往每一步优化起来不那么容易,针对这一问题,Freidman提出了梯度提升树算法,这是利用最速下降的近似方法,其关键是利用损失函数的负梯度作为提升树算法中的残差的近似值。那么负梯度长什么样呢?第 t t t轮的第 i i i个样本的损失函数的负梯度为:
− [ ∂ L ( y , f ( x i ) ) ∂ f ( x i ) ] f ( x ) = f t − 1 ( x ) -[\frac{\partial L(y,f(x_i))}{\partial f(x_i)}]_{f(x)=f_{t-1}(x)} −[∂f(xi)∂L(y,f(xi))]f(x)=ft−1(x)
此时不同的损失函数将会得到不同的负梯度,如果选择平方损失:
L ( y , f ( x i ) ) = 1 2 ( y − f ( x i ) ) 2 L(y,f(x_i))=\frac{1}{2}(y-f(x_i))^2 L(y,f(xi))=21(y−f(xi))2
负梯度为:
− [ ∂ L ( y , f ( x i ) ) ∂ f ( x i ) ] f ( x ) = f t − 1 ( x ) = y − f ( x i ) -[\frac{\partial L(y,f(x_i))}{\partial f(x_i)}]_{f(x)=f_{t-1}(x)}=y-f(x_i) −[∂f(xi)∂L(y,f(xi))]f(x)=ft−1(x)=y−f(xi)
此时我们发现GBDT的负梯度就是残差,所以说对于回归问题,我们要拟合的就是残差。
那么对于分类问题呢?二分类和多分类的损失函数都是log loss,本文以回归问题为例进行讲解。
4. GBDT算法原理
上面两节分别将Decision Tree和Gradient Boosting介绍完了,下面将这两部分组合在一起就是我们的GBDT了。
GBDT算法:
(1)初始化弱学习器
f 0 ( x ) = arg min c ∑ i = 1 N L ( y i , c ) f_0(x)=\arg\min_{c}\sum_{i=1}^NL(y_i,c) f0(x)=argcmini=1∑NL(yi,c)
(2)对 m = 1 , 2 , … , M m=1,2,…,M m=1,2,…,M有:
1)对每个样本 i = 1 , 2 , … , N i=1,2,…,N i=1,2,…,N,计算负梯度,即残差:
r i m = − [ ∂ L ( y i , f ( x i ) ) ∂ f ( x i ) ] f ( x ) = f m − 1 ( x ) r_{im}=-[\frac{\partial L(y_i,f(x_i))}{\partial f(x_i)}]_{f(x)=f_{m-1}(x)} rim=−[∂f(xi)∂L(yi,f(xi))]f(x)=fm−1(x)
2)将上步得到的残差作为样本新的真实值,并将数据 ( x i , r i m ) , , i = 1 , 2 , ⋯ , N (x_i\;,\;r_{im})\;,\;,i=1,2,\cdots,N (xi,rim),,i=1,2,⋯,N作为下棵树的训练数据,得到一颗新的回归树 f m ( x ) f_m(x) fm(x),其对应的叶子节点区域为 R j m , j = 1 , 2 , ⋯ , J R_{jm}\;,\;j=1,2,\cdots,J Rjm,j=1,2,⋯,J。其中 J J J为回归树 t t t的叶子节点的个数。
3)对叶子区域 j = 1 , 2 , . . J j =1,2,..J j=1,2,..J计算最佳拟合值
Υ j m = arg min Υ ∑ x i ∈ R j m L ( y i , f m − 1 ( x i ) + Υ \Upsilon_{jm}=\arg\min_{\Upsilon}\sum_{x_i\in R_{jm}}L(y_i,f_{m-1}(x_i)+\Upsilon Υjm=argΥminxi∈Rjm∑L(yi,fm−1(xi)+Υ
4)更新强学习器:
f m ( x ) = f m − 1 ( x ) + ∑ j = 1 J Υ j m I ( x ∈ R j m ) f_m(x)=f_{m-1}(x)+\sum_{j=1}^J\Upsilon_{jm}I(x\in R_{jm}) fm(x)=fm−1(x)+j=1∑JΥjmI(x∈Rjm)
(3)得到最终学习器
f ( x ) = f M ( x ) = f 0 ( x ) + ∑ m = 1 M ∑ j = 1 J Υ j m I ( x ∈ R j m ) f(x)=f_{M}(x)=f_0(x)+\sum_{m=1}^M\sum_{j=1}^J\Upsilon_{jm}I(x\in R_{jm}) f(x)=fM(x)=f0(x)+m=1∑Mj=1∑JΥjmI(x∈Rjm)
二、实例详解
数据介绍:
如下表所示:一组数据,特征为年龄、体重,身高为标签值。共有5条数据,前四条为训练样本,最后一条为要预测的样本。
编号 | 年龄(岁) | 体重(kg) | 身高(cm)(标签值) |
---|---|---|---|
0 | 5 | 20 | 1.1 |
1 | 7 | 30 | 1.3 |
2 | 21 | 70 | 1.7 |
3 | 30 | 60 | 1.8 |
4(预测) | 25 | 65 | ? |
训练阶段:
参数设置:
学习率:learning_rate=0.1
迭代次数:n_trees=5
树的深度:max_depth=3
1.初始化弱学习器:
f 0 ( x ) = arg min c ∑ i = 1 N L ( y i , c ) f_0(x)=\arg\min_{c}\sum_{i=1}^NL(y_i,c) f0(x)=argcmini=1∑NL(yi,c)
损失函数为平方损失,因为平方损失函数是一个凸函数,直接求导,倒数等于零,得到 c c c。
∑ i = 1 N ∂ L ( y i , c ) ∂ c = ∑ i = 1 N ∂ ( 1 2 ( y i − c ) 2 ) ∂ c = ∑ i = 1 N ( c − y i ) \sum_{i=1}^N\frac{\partial L(y_i,c)}{\partial c}=\sum_{i=1}^N\frac{\partial (\frac{1}{2}(y_i-c)^2)}{\partial c}=\sum_{i=1}^N(c-y_i) i=1∑N∂c∂L(yi,c)=i=1∑N∂c∂(21(yi−c)2)=i=1∑N(c−yi)
令导数等于0:
∑ i = 1 N ( c − y i ) = 0 ⇒ c = ∑ i = 1 N y i / N \sum_{i=1}^N(c-y_i)=0\Rightarrow c=\sum_{i=1}^Ny_i/N i=1∑N(c−yi)=0⇒c=i=1∑Nyi/N
所以初始化时,c取值为所有训练样本标签值的均值:
c = ( 1.1 + 1.3 + 1.7 + 1.8 ) / 4 = 1.475 c=(1.1+1.3+1.7+1.8)/4=1.475 c=(1.1+1.3+1.7+1.8)/4=1.475
此时得到初始学习器:
f 0 ( x ) = c = 1.475 f_0(x)=c=1.475 f0(x)=c=1.475
2.对迭代轮数m=1,2,…,M
由于我们设置了迭代次数:n_trees=5,这里的M=5。
计算负梯度,根据上文损失函数为平方损失时,负梯度就是残差残差,再直白一点就是y与上一轮得到的学习器 f m − 1 ( x ) f_{m-1}(x) fm−1(x)的差值:
r i 1 = − [ ∂ L ( y i , f ( x i ) ) ∂ f ( x i ) ] f ( x ) = f 0 ( x ) r_{i1}=-[\frac{\partial L(y_i,f(x_i))}{\partial f(x_i)}]_{f(x)=f_0(x)} ri1=−[∂f(xi)∂L(yi,f(xi))]f(x)=f0(x)
残差在下表列出:
编号 | 真实值 | 初始值 | 残差 |
---|---|---|---|
0 | 1.1 | 1.475 | -0.375 |
1 | 1.3 | 1.475 | -0.175 |
2 | 1.7 | 1.475 | 0.225 |
3 | 1.8 | 1.475 | 0.325 |
此时将残差作为样本的真实值来训练弱学习器 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x),即下表数据:
编号 | 年龄 | 体重(kg) | 标签值 |
---|---|---|---|
0 | 5 | 20 | -0.375 |
1 | 7 | 30 | -0.175 |
2 | 21 | 70 | 0.225 |
3 | 30 | 60 | 0.325 |
接着,寻找回归树的最佳划分节点,遍历每个特征的每个可能取值。从年龄特征的5开始,到体重特征的70结束,分别计算分裂后两组数据的平方损失,左节点平方损失为 S E l SE_{l} SEl,右节点平方损失为 S E r SE_{r} SEr。
找到使平方损失和 S E s u m = S E l + S E r SE_{sum}=SE_{l}+SE_{r} SEsum=SEl+SEr最小的那个划分节点,即为最佳划分节点。
例如:以年龄7为划分节点,将小于7的样本划分为到左节点,大于等于7的样本划分为右节点。
左节点包括 x 0 x_0 x0,右节点包括样本 x 1 , x 2 , x 3 x_1\;,\;x_2\;,\;x_3 x1,x2,x3。 S E l = 0 , S E r = 0.14 , S E s u m = S E l + S E r = 0.14 SE_{l}=0,SE_{r}=0.14,SE_{sum}=SE_{l}+SE_{r}=0.14 SEl=0,SEr=0.14,SEsum=SEl+SEr=0.14
我们所有可能划分情况如下表所示:
划分点 | 小于划分点的样本 | 大于等于划分点的样本 | SE_l | SE_r | SE_sum |
---|---|---|---|---|---|
年龄5 | 无 | 0,1,2,3 | 0 | 0.3275 | 0.3275 |
年龄7 | 0 | 1,2,3 | 0 | 0.14 | 0.14 |
年龄21 | 0,1 | 2,3 | 0.02 | 0.005 | 0.025 |
年龄30 | 0,1,2 | 3 | 0.1866 | 0 | 0.1866 |
体重20 | 无 | 0,1,2,3 | 0 | 0.3275 | 0.3275 |
体重30 | 0 | 1,2,3 | 0 | 0.14 | 0.14 |
体重60 | 0,1 | 2,3 | 0.02 | 0.005 | 0.025 |
体重70 | 0,1,3 | 2 | 0.26 | 0 | 0.26 |
以上划分点是的总平方损失最小为0.025有两个划分点:年龄21和体重60,所以随机选一个作为划分点:
我们生成第一棵树为:
根据上图,我们的划分依据为:
选择的划分标准为体重,小于45kg的分为一类,为样本0和1;大于等于45kg的分为一类,为样本2和3。
第一次分开后再以年龄作为选择方式,左支中以6岁为分界线,将样本0和1分开;右支以25.5岁为分界线,将样本2和3分开。
计算残差,并把残差当做目标值训练第一棵树
这里其实和上面初始化学习器是一个道理,平方损失求导,令导数等于零,化简之后得到每个叶子节点的参数 y y y,其实就是标签值的均值。这个地方的标签值不是原始的 y y y,而是本轮要拟合的标残差 y − f 0 ( x ) y-f_0(x) y−f0(x)。
此时,第一棵树如下所示:
根据上述划分结果,为了方便表示,规定从左到右为第0,1,2,3样本:
x
0
∈
R
11
Υ
11
=
−
0.375
x_0\in R_{11}\quad \Upsilon_{11}=-0.375
x0∈R11Υ11=−0.375
x
1
∈
R
21
Υ
21
=
−
0.175
x_1\in R_{21}\quad \Upsilon_{21}=-0.175
x1∈R21Υ21=−0.175
x
2
∈
R
31
Υ
31
=
0.225
x_2\in R_{31}\quad \Upsilon_{31}=0.225
x2∈R31Υ31=0.225
x
3
∈
R
41
Υ
41
=
0.325
x_3\in R_{41}\quad \Upsilon_{41}=0.325
x3∈R41Υ41=0.325
此时可更新强学习器,需要用到参数学习率:learning_rate=0.1
,在公式中我们用l来表示:
f 1 ( x ) = f 0 ( x ) + l ∗ ∑ j = 1 4 Υ j 1 I ( x ∈ R j 1 ) f_1(x)=f_0(x)+l*\sum_{j=1}^4\Upsilon_{j1}I(x\in \R_{j1}) f1(x)=f0(x)+l∗j=1∑4Υj1I(x∈Rj1)
为什么要用学习率呢?这是Shrinkage
的思想,如果每次都全部加上(学习率为1)很容易一步学到位导致过拟合。
Shrinkage
的思想我后面会介绍:
我们看一下第二棵树:
我们看第三棵树为:
第四棵树为:
第五棵树为:
得到最后的强学习器:
f
(
x
)
=
f
5
(
x
)
=
f
0
(
x
)
+
∑
m
=
1
5
∑
j
=
1
4
Υ
j
m
I
(
x
∈
R
j
m
)
f(x)=f_5(x)=f_0(x)+\sum_{m=1}^5\sum_{j=1}^4\Upsilon_{jm}I(x\in \R_{jm})
f(x)=f5(x)=f0(x)+m=1∑5j=1∑4ΥjmI(x∈Rjm)
三、预测样本4
样本4为25岁,65kg。
f 0 ( x ) = 1.475 f_0(x)=1.475 f0(x)=1.475
在 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x)中,体重65kg大于45kg(90斤),所以分到右节点;又因为年龄为25岁小于25.5,所以最终的预测值为0.225;
在 f 2 ( x ) f_2(x) f2(x)中,最终预测为0.2025;
在 f 3 ( x ) f_3(x) f3(x)中,最终预测为0.1822;
在 f 4 ( x ) f_4(x) f4(x)中,最终预测为0.164;
在 f 5 ( x ) f_5(x) f5(x)中,最终预测为0.1476;
最终预测结果:
f
(
x
)
=
1.475
+
0.1
∗
(
0.225
+
0.2025
+
0.1822
+
0.164
+
0.1476
)
=
1.56713
f(x)=1.475+0.1*(0.225+0.2025+0.1822+0.164+0.1476)=1.56713
f(x)=1.475+0.1∗(0.225+0.2025+0.1822+0.164+0.1476)=1.56713
四、调用GBDT算法包
我们使用sklearn中的GBDT算法包来实现,生成的树为:
此时,我们预测的结果为0.1919。
五、源代码
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
import numpy as np
from sklearn.ensemble import GradientBoostingRegressor
import pandas as pd
import pydotplus
from pydotplus import graph_from_dot_data
from sklearn.tree import export_graphviz
data_1=[[5,40,1.1],[7,60,1.3],[21,140,1.7],[30,120,1.8]]
data=pd.DataFrame(data_1,columns=['age','weight','标签'])
X=np.array(data.iloc[:,:-1]).reshape((-1,2))
y=np.array(data.iloc[:,-1]).reshape((-1,1))
tree_reg1 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg1.fit(X, y)
y2 = y - np.array([1.475]*4).reshape((-1,1))
tree_reg2 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg2.fit(X, y2)
y3 = y2 - 0.1*np.array(tree_reg2.predict(X)).reshape((-1,1))
tree_reg3 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg3.fit(X, y3)
y4 = y3 - 0.1*np.array(tree_reg3.predict(X)).reshape((-1,1))
tree_reg4 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg4.fit(X, y4)
y5 = y4 - 0.1*np.array(tree_reg4.predict(X)).reshape((-1,1))
tree_reg5 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg5.fit(X, y5)
y6 = y5 - 0.1*np.array(tree_reg5.predict(X)).reshape((-1,1))
tree_reg6 = DecisionTreeRegressor(max_depth=4,random_state=10)
tree_reg6.fit(X, y6)
estimator=GradientBoostingRegressor(random_state=10)
estimator.fit(data.iloc[:,:-1],data.iloc[:,-1])
dot_data = export_graphviz(estimator.estimators_[5,0], out_file=None, filled=True, rounded=True, special_characters=True, precision=4)
graph = pydotplus.graph_from_dot_data(dot_data)
graph.write_pdf('estimator.pdf')