数模算法1：层次分析法

• 适用问题：评价类问题，决策（方案选择类）

** input**：判断矩阵（A）
AHP处理
output:权重（得分）向量

1.整体导图

2.算法步骤及代码

2.1算术平均法

算法步骤

1. 将判断矩阵按照列归一化（每一个元素/列和）
2. 将归一化后得各列相加（按行求和）
3. 将相加后向量中的每个元素元素除以n

matlab代码

%% 方法1：算术平均法求权重
% 1.归一化
Sum_A = sum(A)%对A中元素按列求和
[n,n] = size(A) %获取矩阵的大小，方阵所以适用一个n即可
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1)  %将Sum_A复制n次每次沿着列的方向进行，
Stand_A = A ./ SUM_A
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可
% 2.将归一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2);
% 3.将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2) / n)%每列数据都会求得一个权重，n列求平均

2.2几何平均法

算法步骤

1.A的元素各行相乘得到一个新的列向量
2. 将向量每个分量开n次方
3. 对列向量进行归一化即可得到权重向量

matlab代码

%第一步:各行相乘
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加  dim = 2 维度是行
% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 这里对每个元素进行乘方操作，因此要加.号哦。  ^符号表示乘方哦  这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方

% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))

2.3特征值法求权重向量

算法步骤

1. 求出矩阵A的最大特征值及对应特征向量
2. 对特征向量进行归一化，既可以得到我们的权重

[V,D] = eig(A)    %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。

% 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
V(:,c)
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )