本文介绍代数黎卡提方程的Matlab解法，包括直接求解和迭代求解

问题描述：

一、数值解法

可以看出，ARE方程是关于P的一个非线性方程，当系统矩阵维度较高时，难以求解，但是MATLAB给出了求解ARE的函数care

% 系统矩阵
A = [-1 0; 0 -2]
% 控制输入矩阵
B = [1; 1];
% 状态权重矩阵
Q = eye(2);
% 控制输入权重矩阵
R = 1;

% 求解代数黎卡提方程
[P,~,~] = care(A, B, Q, R);

% LQR控制器设计
K = inv(R) * B' * P;

% 打印结果
disp('最优控制器增益矩阵 K:');
disp(K);

二、迭代求法

理论基础：

 具体过程：

 

 附上代码：

clear all;
% 系统矩阵
A = [-1 0; 0 -2];
% 控制输入矩阵
B = [1; 1];
% 状态权重矩阵
Q = eye(2);
% 控制输入权重矩阵
R = 1;

% 迭代法求解代数黎卡提方程和控制策略
maxIterations = 100; % 最大迭代次数
tolerance = 1e-6; % 收敛容差
P = zeros(size(A)); % 初始化 P 矩阵
K = [0,0]; % 初始化控制增益矩阵K

for i = 1:maxIterations
    
    % 求解代数黎卡提方程
    X0 = P; % 初始猜测值
    options = optimoptions('fsolve', 'Display', 'off'); % 设置 fsolve 的选项
    P_new = fsolve(@(X) (A-B*K)'*X + X*(A-B*K) + Q + K'*R*K, X0, options);
    K_new = inv(R) * B' * P_new ;
    
    if norm(P_new - P, 'fro') < tolerance
        P = P_new;
        K = K_new;
        break;
    end
    
    P = P_new;
    K = K_new;
end

% 打印结果
disp('最优控制增益矩阵 K:');
disp(K);