目录

一些疑惑 

0 引言 

1 introduction 

2 related work

 2.1 parameterization with fixed connectivity

2.2 Separate Cut Computation

3 problem statement

​编辑​ 3.1 数学形式1

3.2 数学形式2

3.3 能量函数

3.3.1 接缝线长度（归一化），用面积归一化后，在不同数据集间具有可比性

3.3.2 变形度(基于map后的结果) 

4-6 optimization framework，COUPLED DISCRETE-CONTINUOUS DESCENT，THE OPTCUTS ALGORITHM

4.1 初始状态：

4.2 外迭代：

4.2.1 lamda的迭代更新： 

​编辑​ 4.2.2 T U的迭代更新-内迭代：

7 evaluation

7.1 对比试验 

---

一些疑惑 

1. (global ) bijectivity 

   Bijectivity 双射性 ： 这样可以保证表面上的每个点都会映射到纹理空间中的不同点。如果你想让纹理在表面上重复(想想墙纸或地毯的重复图案)，那么有意引入从表面点到纹理点的多对一映射是有意义的

    <Chapter 11 —— Texture Mapping_五月的天气的博客-CSDN博客>

2. Local injectivity <每个人都看得懂的映射（单射、满射、双射） - 知乎
3. Disk-topology：就是一个圆（open OR closed）https://en.wikipedia.org/wiki/Disk_(mathematics)

        

​

0 引言 

1. 作用：生成好的Uvmap   或者   优化已有的UV map（保持distortion一致的情况下）
2. 接口：自定义接缝线放置 ：结合语义和自定义 Hide && 保持对称性
3. 关键词： mesh parameterization

1 introduction 

1. UV展开，两个核心问题：变形度 和 接缝线的放置问题
   1. 变形度和接缝线的长度二者相悖：变形度为0的时候，所有三角面片都是切割分开的
2. mesh参数化（两步走）：

   1. Geometric techniques:
      1. 已经cut为 disk-topology
      2. 需要解决的问题：将cut后的segment map到二维平面（保持固定的连接性（拓扑），最小变形）
      3. map过程，会改变mesh的角度和面积
   2. Topological

2 related work

1. 大多数将surface cut && 最小化变形视作两个问题（sequential tasks）
2. 将二者统一考虑的相关研究如下

 2.1 parameterization with fixed connectivity

1. 先 fixed connectivity && disk-topolgy，再优化distortion
2. 不同方法，distortion metrics不同

   1. 常用：angular distortion
      •  [Aigerman and Lipman 2015; Floater 2003; Lévy et al. 2002; Sawhney and Crane 2017; She er et al. 2005],
   2. 其他：isometric parameterization ( account for triangle stretch)
   3. 评价：大多数不满足 globally bijective.
   4. 解决办法：初始化就满足bijective，再后续优化中阻止 local and global overlaps

3. 接缝线参数化

   1. ​ 参考：[Kharevych et al. 2006; Myles and Zorin 2013].
      1. 在接缝线区域，要求参数是连续的（刚性变化相关），结果中，存在部分不连续现象
      2. 进一步：将接缝线放在map不连续的地方：cone singularities（锥奇点），discrete points
      3. 意义：对inter-surface mapping and quad meshing有效果，在storing surface signals, such as texture in atlases.效果不佳
   2. 其他：基于纹理的方法--倾向于接缝线长度较小

4. 上述方法：先cut，再参数化【需要指定proxy metrics （各种参数阈值）】
    

2.2 Separate Cut Computation

1. ​ Poranne et al. [2017] proposed AutoCuts—a method

   1. 没有包含 bijectivity约束
   2. 无法指定变形的限值
   3. 在迭代过程中，调整用户预先指定的参数
   4. 用户交互（主） && 全自动两种模式，都需要用户指定namda（变形 和 接缝线长度的权重）
   5. 三角面片-together--影响接缝线长度
   6. Topology-fixed

3 problem statement

1. 问题的数学思想:

   1. ​ 多目标优化，目标之间具有相对权重，难以确定，并且无法将权重与最终的结果对应起来，即权重没有实际意义
   2. 将某个目标转换为数值约束，变为含约束条件的单目标优化问题

​ 3.1 数学形式1

1. M = (V,F)
2. 变量：T(topology/connectivity) = （V_T,F_T） U (position)
3. 目标函数：

   

4. 约束：

   

1. V_T是V的superset：迭代过程中，顶点的数量，位置会变化，同时，3D map到2D，会产生重复的2D点
2. F_T与F应该是不同的：迭代过程中，F会有所改变（拓扑改变）
3. 变形度：smooth albeit nonconvex（具有多个局部最优值）
4. 接缝线长度：nonsmooth

3.2 数学形式2

1. 进一步，利用拉格朗日项求解含约束条件的优化问题（引入lamda变量-dual objective）约束优化的拉格朗日乘子（KKT） - 知乎 (zhihu.com)

​ 针对lamda：变形度不满足限制时，lamda变大；变形度满足限制时，lamda 变小到0

3.3 能量函数

3.3.1 接缝线长度（归一化），用面积归一化后，在不同数据集间具有可比性

​

1.  S：在input surface（mesh）上分割后产生的所有的接缝线集合 ?? 是三维分割线，还是map到二维（考虑变形）的边界线
2. ei: 接缝线长度
3. F：分割后的所有面片（mesh）
4. At：面片面积

3.3.2 变形度(基于map后的结果) 

1. ​ 参考：symmetric Dirichlet energy [Smith and Schaefer 2015]

        

        sigma为变形梯度的singular value

2. distortion energy的额外项：--大部分同autoCut
   1. 本文:采用scaffolding method of Jiang et al. [2017] --实现 global bijective，优先三角化 outer, air-mesh in void regions
   2. distortion energy 增加了额外项，但不包含在计算变形度中（与优化过程有关，影响优化方向，但是不包含在计算distortion）
   3. not included in the distortion bound constraint,防止void-sapce 三角面片造成能量函数奔溃
   4. why：相对于autoCut改进

      考虑基于negative-space triangles的拓扑操作

      具体为：

      1. triangulate the void region about the union of one rings around the participating stencil vertices. This provides a sufficient scaffold to ensure bijectivity in the local solve without growing the problem size.
      2. for each candidate edge split we need to carefully pull apart the new split vertices to form an initial void to build the scaffold triangulation

4-6 optimization framework，COUPLED DISCRETE-CONTINUOUS DESCENT，THE OPTCUTS ALGORITHM

4.1 初始状态：

1. lamda_0 =0
2. T_0，U_0：先确定初始seam，再最小化distortion 得到T_0，U_0
3. 初始Seam:
   1. 本文：circle , map过程中，保证边的长度不变preserving edge lengths
      1. Disk-topology surface: longest boundary
      2. Genus-0 closed surface: randomly tow connected edges
      3. Higher-genus: homology generators (using the cut_to_disk function in libigl -同autoCut)
   2. 其他方法：在后续实验有使用另一种初始化方式：initialization from scratch [I.e., directly starting from the Tutte embedding of each mesh.]
4. 顶点参数化（包含在最小化distortion）：
   1. Tutte’s embedding [1963] using uniform weights to ensure bijectivity
   2. William Thomas Tutte. 1963. How to draw a graph. Proceedings ofthe London Mathematical Society 3, 1 (1963), 743–767.

4.2 外迭代：

1. 在主变量 T U 和dual 变量 lamda之间交替优化，交替时，非优化对象，视作常量；外迭代中一次主变量 T U的更新，包含多次内迭代
2. 外迭代终止条件（未限定最大迭代数）：
   1. 内迭代收敛终止 &&
   2. lamda上收敛

      

   3. cyclic stationarity condition （伪代码中没有包含）--简要概括：外迭代可行解复现

Ps:当前连续的topology变化，可能不是最优方案

离散的拓扑变化需要被考虑，因此在内迭代过程中，非连续的topology变化，可根据是否被再次搜索到，来决定其是否是可行解

save hashes (Es , Ed, lamda) of solution triplets, and the best visited solution,of solution triplets, and the best visited solution

4.2.1 lamda的迭代更新： 

1.  lamda的变化是 nonsmooth：根据E_d & E_d_th 变化（非平滑）：

   • Ed<bd

2. 改进：给拉格朗日项增加一个关于lamda的quadratic 二次正则化项，使得lamda变化 smooth（数学原理参考其他--称作“增加不等式约束，使得lamda变化smooth”）

   • Ps: Smooth：新的lamda与原lamda相似

3. lamda最终更新方式

   

​ 4.2.2 T U的迭代更新-内迭代：

1. 是一个（T-）离散 && （U-）连续的变量交替优化过程（交替时，非优化对象，视作常量）

1. 内迭代终止条件
   1. topology变化相对于朗格朗日项(等效理解为总的能量函数)收敛

      

   2. 当前topology，使得distortion足够小

      

4.2.2.1 T的优化

1. autoCut:
   1. 拓扑变化有限（即最后将seperation 较小的corner合并）
   2. 不适合本文：larger mesh(strongly ill-conditioned real-valued optimization and prevented scaling to larger meshes)
2. 本文方法：（核心点）T的可行解搜索是一个”化离散为连续 “的方式  Ps: 常规方式：穷举遍历搜索可行解
3. 本文：
   1. 离散变量，局部搜索迭代（等效为连续变化） delta_T，根据一定的原则确定更新后的T：
   2. 针对topology的局部搜索：基于当前的拓扑，相似的/微小 的拓扑变化（cutting && merging组合）---delta_Tology
4. delta_Tology计算：cutting && merging：共三种，组合&&选择生成可行解
5. 三种基本拓扑变化
   1. Boundary vertex split：产生2/4（橙色的边链接另一个边界顶点的情形）个重复顶点

      

   2. Interior vertex split：产生2个重复顶点

      

   3. Corner merge：合并后顶点的位置-average(中点)，而不是Naïve merging--违背local injectivity；合并后，若出现inversion(三角面片有向面积为负，顶点顺序)，用Agmon’s relaxation 解决，若不能解决，放弃这种mesh 操作i

      

6. 选择策略：
   1. 首先boundary：
      1. 选择subset of 边界顶点：顶点的优先级，由相对于distortion energy 梯度的标准差的偏差决定，偏差越大，优先选择
      2. cutting这些顶点能极大的去除这些大偏差，有助于降低变形度
   2. 基于boundary，考虑所有的seams的corner merging操作，共同构成一个操作集合
   3. 计算distortion降低的值，得到最佳方案；若所有操作都不能使d降低，最后考虑interior

      

   4. 考虑interior:选择部分内部顶点（选择规则同边界顶点），同上在构成的操作集合中，得到使d降低的最终方案

      

   5. 下一次的内迭代的拓扑变化，从由拓展（propagation）上一次的拓扑变化得到的操作集合中选择，因此O_01格外重要

      

7. 如何根据delta_T 计算更新后的T
   1. 核心：要么接受delta_T,直接更新，要么拒绝delta_T,T保持不变
   2. 接受/拒绝的原则1：为了减少拓扑变化过程中顶点节点的变化，内迭代中，某次拓扑结构变化，使得d满足阈值，就更新内迭代T，否则T不更新；

      

      

      • 阈值：初始为0，后续会变化
   3. 接受/拒绝的原则2：拉格朗日项是否降低，且尽可能降低得多（类似于评估是否为优化拉格朗日项的迭代方向）

      

      

      

       
      1. 由于，关于mesh的topology更新O_ij，会引起U的变化(U_ij表示因O_ij而受影响的顶点集合，尽可能减少顶点的改变，U_S表示不受影响的顶点集合），因此，上述delta_l的形式为：

         

4.2.2.2 U优化 

1. Newton法，梯度下降，线性搜索
2. 由于distorton E nonconvex，进一步采用 projected-Newton（Hessian）,保证PSD--采用TBB 并行化线性搜索过程
3. 关于U有优化过程中，考虑distortion最小化要求时，根据T迭代是否满足要求来确定

        若更新内迭代T，则最小化要求较严格；若T不更新，该要求较宽松

7 evaluation

1. 数据：benchmark mesh dataset
   1. 71model
   2. 80-10k 顶点，ave: 3.7
2. 参数：bd ： {4.2, 4.1, 4.05}.
3. 指标，Es、 Ed、 运行时间（最大、小值，平均值）

7.1 对比试验 

7.2 讨论展开线的位置：Regional Seam Placement

1. 远离显著区域：salient surface regions
2. 方法：给显著区域surface加一个权重，用以惩罚seam length——权重越大，”length越长“
3. 改进后的E_s

   

4. 输入：salience map(w越大，显著性越强 w = 1~100)：Salience map的格式到底是什么？是基于三维面片标注，还是基于二维展开标注
5. 最后的最优解可能与无salience map情况不同，可能会更优，即权值w可能帮助跳出局部最优解

   

7.3 optCut的另一个应用：优化现有UV展开结果 

1. 实验：
   1. 初始值：Seamster [She er and Hart 2002] ——检测局部曲率极值，并采用 MST进行连接；
   2. Seamster [She er and Hart 2002] 对输入的参数敏感（size of surface regions——与模型的形状有关，不同模型，需要调整该参数

8 conclusion

1. 优化收敛性：尽管都收敛了（固定阈值 or 最优解cyclical recall，非启发式阈值）——但无法证明一定会收敛
2. 满足distortion阈值的前提下，seam length 可能是个局部解
   1. 增加顶点位置扰动，可能帮助跳出局部解，得到distortion 更小的解
3. 提速的要点：
   1. 拓扑操作，可以并行化
   2. 线性搜索是可以分解的
4. 其他可能的改进：
   1. favor seamless parameterization,
   2. seam smoothness,
   3. the creation of charts that effciently use texture space.