图源：文心一言

考研笔记整理1w+字，小白友好、代码可跑，请小伙伴放心食用~~🥝🥝

第1版：查资料、写BUG、画导图、画配图~🧩🧩

参考用书：王道考研《2024年数据结构考研复习指导》

参考用书配套视频：7.3_2 平衡二叉树_哔哩哔哩_bilibili

特别感谢： Chat GPT老师、文心一言老师~

📇目录

🦮思维导图

🧵基本概念

⏲️定义

🌰推算举栗

⌨️代码实现

🧵分段代码

🔯P0：调用库文件

🔯P1：定义结点

🔯P2：读取、写入结点的高度

🔯P3：计算结点的平衡因子

🔯P4：结点旋转操作

🔯P5：调整平衡操作

🔯P6：插入结点

🔯P0-P6附录：构造二叉树

🔯P7：寻找最小结点

🔯P8：结点删除

🔯P9：树的遍历

🔯P10：main函数

🧵完整代码

🔯P0：完整代码

🔯P1：执行结果

🔚结语

🦮思维导图

备注：

思维导图为整理王道教材第7章查找的所有内容；
本篇仅涉及到平衡二叉排序树（AVL）的代码；
系列博文有朴素二叉排序树的说明🌸数据结构07：查找[C++][朴素二叉排序树BST]，后期会在博文列表中整理红黑树的相关内容[交可爱Ada小助手布置的红黑树作业]，也可能会增加B树、线性查找的相关内容~ //咳咳，上篇博文800阅读+2个赞+2个收藏足以让一个菜鸟博主开心得老~泪~纵~横~了~~

🧵基本概念

⏲️定义

平衡二叉排序树，若树非空，满足下列特性：
是一棵朴素二叉排序树🌸数据结构07：查找[C++][朴素二叉排序树BST]；
在插入和删除结点时，要保证任意结点的左、右子树高度差的绝对值不能超过1。

树的插入操作：

与结点进行比较，小于则向左子树遍历，大于则向右子树遍历，直到遍历为空结点时，为叶子结点的预插入路径。
需要检查插入结点后是否会导致树不平衡。如果导致不平衡，需要调整子树的形态，直到其满足平衡二叉树定义为止。

平衡树的定义，可见🌸数据结构05：树与二叉树[C++]

🌰推算举栗

输入序列为{15、3、7、10、9、8}：
插入结点时，若不调整平衡度，有时容易形成度为1的长树，如左图；
插入结点时，若调整平衡度，可每次近似形成度为2的宽树，如右图~

// 备注：至于左侧这棵树调整为右侧这棵树的过程，我们会在本博文代码块“插入”操作中介绍~

ASL：平均查找长度，计算方式为 Σ（第 i 层结点数 x i 的层高）/ （结点个数），表示整棵树所有查找过程中，进行关键字比较次数的平均值~
通过图中比较，可知：
左侧树的查找：接近链表，与顺序查找相似，时间复杂度近似O(n)；
右侧树的查找：接近平衡树，与折半查找相似，时间复杂度近似O(log n)；
因此，朴素二叉排序树的查找的时间复杂度接近O(log n)~

下面我们以图中左侧的小树为例，说明如何创建及遍历平衡二叉排序树~

图源：文心一言

⌨️代码实现

🧵分段代码

🔯P0：调用库文件

输入输出流文件iostream{本代码用于输入与输出}；
动态数组的向量文件vector{本代码用于创建树结点的动态数组}；
基础算法函数文件algorithm{本代码用于计算比较结点子树的高度}~

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

🔯P1：定义结点

相比朴素二叉排序树，平衡二叉排序树需要增加结点的1个属性height：以当前结点为根结点的子树高度，以保证树的平衡性~

struct AVLNode {
    int data;    //数据域
    int height;       //子树高度
    AVLNode* left;    //左孩子指针
    AVLNode* right;   //右孩子指针

    AVLNode(int value) : data(value), height(1), left(nullptr), right(nullptr) {}
};    //将构造函数的参数value赋给data，height初始化为1，左left、右孩子right置空

树的高度计算有点类似于这样子：查询左、右子树的高度，选择较高的子树+1作为本结点的高度~

🔯P2：读取、写入结点的高度

读取树的高度：查询结点中的node属性~
写入树的高度：查询左子树的高度与右子树的高度，左、右子树中更高的值，并+1返回到本结点的高度~

// 读取结点的高度
int getHeight(AVLNode* node) {
    if (node == nullptr)
        return 0;
    return node->height;    //查询结点node中height属性的高度
}

// 更新结点的高度
void updateHeight(AVLNode* node) {
    if (node == nullptr)
        return;
    node->height = std::max(getHeight(node->left), getHeight(node->right)) + 1;    //将左子树、右子树中更高的height赋值到当前结点
}

🔯P3：计算结点的平衡因子

结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度；

int getBalanceFactor(AVLNode* node) {
    if (node == nullptr)
        return 0;
    return getHeight(node->left) - getHeight(node->right);    //返回左子树高度-右子树高度
}

🔯P4：结点旋转操作

当子树的高度不平衡时（子树的平衡度>|1|），会出现度为1的现象，需要对树进行调整，目的是让树变宽；而平衡调整的基本操作是旋转，如下——

左子树不平衡：当前结点移动到右子树的位置，在图中类似于右旋的操作~
右子树不平衡：当前结点移动到左子树的位置，在图中类似于左旋的操作~

如果我没有理解错的话，非常简单版本的左旋、右旋，大概是这样的——

注意：括号内是平衡因子，计算公式=左子树高-右子树高~

// 右旋操作
AVLNode* rotateRight(AVLNode* node) {
    AVLNode* leftChild = node->left;    //定义左孩子结点
    node->left = leftChild->right;    //将当前结点的左指针指向左子结点的右指针
    leftChild->right = node;          //将左孩子结点的右指针指向当前结点

    updateHeight(node);            //更新当前结点高度
    updateHeight(leftChild);       //更新左子结点高度

    return leftChild;        //返回左子结点
}

// 左旋操作
AVLNode* rotateLeft(AVLNode* node) {
    AVLNode* rightChild = node->right;    //定义右孩子结点
    node->right = rightChild->left;    //将当前结点的右指针指向右子结点的左指针
    rightChild->left = node;           //将右孩子结点的左指针指向当前结点

    updateHeight(node);            //更新当前结点高度
    updateHeight(rightChild);      //更新右子结点高度

    return rightChild;       //返回右子结点
}

🔯P5：调整平衡操作

封装旋转的操作以后，此处我们正式介绍一下，当树出现不平衡时应该怎么调整~

因为是二叉树，只有两个孩子，所以插入结点可以汇总为四种情况——

左左型：插入到结点左子树的左子树，导致不平衡，需要右旋；
左右型：插入到结点左子树的右子树，导致不平衡，需要先左旋后右旋；
右左型：插入到结点右子树的左子树，导致不平衡，需要先右旋后左旋；
右右型：插入到结点右子树的右子树，导致不平衡，需要左旋；

考虑到左左型、右右型互为镜像操作，左右型、右左型互为镜像操作，此处以左左型与左右型举栗简单说明树的旋转调整过程~

左左型举栗：以下图为例，稍微复杂一点的左左型树，例如结点1插在结点2的左孩子导致不平衡，根结点向右旋转的操作分为3步：

结点4挂到结点5的左孩子；
结点5挂到结点3的右孩子；
更新子树高度，返回根结点~

以上都是调用P4右旋结点的操作完成~

注意：此处新增结点无论是挂在结点2的左孩子或是右孩子，都属于左左型；根据二叉排序树的性质，挂在结点2的左孩子数值m满足“m<2”，挂在结点2右孩子数值n满足“2<n<3”~

左右型举栗：以下图为例，稍微复杂一点的左右型树，例如结点3插在结点4的左孩子导致不平衡，需要根结点的左孩子先向左旋转，根结点再向右旋转：

结点2左旋，使结点4可以挂在结点5的下方，具体操作如下：
结点3挂到结点2的右孩子；
结点2挂到结点4的左孩子；
结点4挂到结点5的左孩子；
结点5右旋，使整棵树达到平衡，此处操作同左左型旋转~
更新子树高度，返回根结点~

注意：此处新增结点无论是挂在结点4的左孩子或是右孩子，都属于左右型；根据二叉树的性质，挂在结点4的左孩子数值m满足“2<m<4”，挂在结点4右孩子数值n满足“4<n<5”~

// 平衡操作
AVLNode* balanceNode(AVLNode* node) {
    if (node == nullptr)
        return nullptr;

    updateHeight(node);

    // 检查平衡因子
    int balanceFactor = getBalanceFactor(node);

    // 左左型，进行右旋
    if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node->left) >= 0)
        return rotateRight(node);

    // 右右型，进行左旋
    if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node->right) <= 0)
        return rotateLeft(node);

    // 左右型，先左旋再右旋
    if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node->left) < 0) {
        node->left = rotateLeft(node->left);
        return rotateRight(node);
    }

    // 右左型，先右旋再左旋
    if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node->right) > 0) {
        node->right = rotateRight(node->right);
        return rotateLeft(node);
    }

    // 结点平衡，无需调整
    return node;
}

🔯P6：插入结点

同朴素二叉树，采用递归的方式创建树，插入的结点通常为叶节点，然后完成调整平衡：

若二叉排序树为空，则创建根结点；若结点为空，则插入结点。
若二叉树不为空：
关键字 = 根结点值，树中已有此元素；
关键字＜根结点值，继续遍历左子树；
关键字＞根结点值，继续遍历右子树。

AVLNode* insertNode(AVLNode* root, int data) {
    if (root == nullptr)
        return new AVLNode(data);

    if (data < root->data)
        root->left = insertNode(root->left, data);
    else if (data > root->data)
        root->right = insertNode(root->right, data);
    else
        return root; // 重复值，不进行插入

    return balanceNode(root);
}

🔯P0-P6附录：构造二叉树

本来想封装个构造二叉树的函数，但是封装函数在调用插入结点函数时一直在报奇怪的编译错误，因此本次代码在main中写入，实际操作就是把一个数组的内的元素分别执行插入结点的操作~

    AVLNode* root = nullptr;
    std::vector<int> data = {15, 3, 7, 10, 9, 8};

    // 插入结点
    for (int i = 0; i < data.size(); i++) {
        root = insertNode(root, data[i]);
    }

具体的创建过程嗯...大概是下图这样的~

🔯P7：寻找最小结点

利用二叉排序树左<根<右的性质，采用递归方式一直向左寻找，就可以找到最小值结点~

AVLNode* findMinNode(AVLNode* node) {
    if (node == nullptr || node->left == nullptr)    //如果结点或其左孩子不为空
        return node;    //返回结点
    return findMinNode(node->left);    //否则，递归调用本函数向左查询
}

🔯P8：结点删除

传入树的根结点root和关键字data，此处偷懒采用递归的方式删除 {执行效率很低，胜在代码少好理解，不然就又要人工左旋、右旋，如果不平衡性向上传导又得旋，旋转这么多，实在是太太太头晕啦😢😢} ，可分为以下4种情况考虑——

// PS：考研的同学可以参考王道视频，我记得好像是有删除的单独章节说明...如果需要我整理非递归删除的话也可以在评论区留言，有时间我试试...

特殊情况：
根结点为空，则直接返回空指针；
删除的数据 < 根节点：
递归调用deleteNode函数，将左子树作为新的根节点进行操作；
删除的数据 > 根节点：
递归调用deleteNode函数，将右子树作为新的根节点进行操作；
删除的数据 = 根节点：
树仅有根结点，直接删除，将根指针设为空指针；
树仅有左孩子结点，交换与左孩子结点的位置，删除左孩子结点；
树仅有右孩子结点，交换与右孩子结点的位置，删除右孩子结点；
树具有双子树结点，找到右子树中的最小值节点，将其值赋给当前根节点。然后递归调用deleteNode函数，在右子树中删除最小值节点。
执行删除后，使用balance函数调整平衡。

AVLNode* deleteNode(AVLNode* root, int data) {
    if (root == nullptr)    //根结点为空
        return root;

    if (data < root->data)    //删除数据 < 根结点
        root->left = deleteNode(root->left, data);    //左子树递归调用deletenode函数
    else if (data > root->data)    //删除数据 > 根结点
        root->right = deleteNode(root->right, data);    //右子树递归调用deletenode函数
    else {    //删除数据 = 根结点
        if (root->left == nullptr && root->right == nullptr) {    //仅有根结点
            delete root;
            root = nullptr;
        } else if (root->left == nullptr) {    //根结点仅有右子树
            AVLNode* temp = root;
            root = root->right;    //交换根结点与右子树
            delete temp;    //删除根结点
        } else if (root->right == nullptr) {   //根结点仅有左子树
            AVLNode* temp = root;
            root = root->left;    //交换根结点与左子树
            delete temp;    //删除根结点
        } else {    //根结点具有双子树
            AVLNode* minRight = findMinNode(root->right);    //寻找右子树的最小值
            root->data = minRight->data;    //右子树的最小值替换根结点
            root->right = deleteNode(root->right, minRight->data);    //右子树递归调用deletenode函数
        }
    }

    return balanceNode(root);    //执行平衡子树的操作
}

🔯P9：树的遍历

传入树的根结点内存地址，由于二叉树遵循：“左＜根＜右” 的原则，因此可以通过二叉树的中序遍历完成，此处采用递归方式完成~

void inOrderTraversal(AVLNode* root) {
    if (root == nullptr)
        return;

    InOrderTraversal(root->lchild);    //遍历左子树

    std::cout << root->data << " ";    //输出当前结点的值

    InOrderTraversal(root->rchild);    //遍历右子树
}

敲黑板中序遍历这个已经写过很多次此处不再赘述了~ 🌸数据结构05：树与二叉树[C++]

🔯P10：main函数

main函数除了P0~P9的函数调用，就创建了1棵树，以及示意性地增加删除结点的操作~

int main() {
    AVLNode* root = nullptr;
    std::vector<int> data = {15, 3, 7, 10, 9, 8};    //树中结点

    // 以插入结点的方式创建树
    for (int i = 0; i < data.size(); i++) {
        root = insertNode(root, data[i]);
    }

    // 中序遍历输出
    std::cout << "中序遍历结果: ";
    inOrderTraversal(root);
    std::cout << std::endl;

    // 删除结点7
    root = deleteNode(root, 7);

    // 中序遍历输出
    std::cout << "删除结点后的中序遍历结果: ";
    inOrderTraversal(root);
    std::cout << std::endl;

    return 0;
}

🧵完整代码

🔯P0：完整代码

按照惯例，为了凑本文的字数，我这里贴一下整体的代码，删掉了细部注释~🫥🫥

// 头文件
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

// 二叉平衡树结点定义与初始化
struct AVLNode {
    int data;
    int height;
    AVLNode* left;
    AVLNode* right;

    AVLNode(int value) : data(value), height(1), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

// 读取结点的高度
int getHeight(AVLNode* node) {
    if (node == nullptr)
        return 0;
    return node->height;
}

// 写入结点的高度
void updateHeight(AVLNode* node) {
    if (node == nullptr)
        return;
    node->height = std::max(getHeight(node->left), getHeight(node->right)) + 1;
}

// 计算结点的平衡因子
int getBalanceFactor(AVLNode* node) {
    if (node == nullptr)
        return 0;
    return getHeight(node->left) - getHeight(node->right);
}

// 右旋操作
AVLNode* rotateRight(AVLNode* node) {
    AVLNode* leftChild = node->left;
    node->left = leftChild->right;
    leftChild->right = node;

    updateHeight(node);
    updateHeight(leftChild);

    return leftChild;
}

// 左旋操作
AVLNode* rotateLeft(AVLNode* node) {
    AVLNode* rightChild = node->right;
    node->right = rightChild->left;
    rightChild->left = node;

    updateHeight(node);
    updateHeight(rightChild);

    return rightChild;
}

// 平衡操作
AVLNode* balanceNode(AVLNode* node) {
    if (node == nullptr)
        return nullptr;

    updateHeight(node);

    int balanceFactor = getBalanceFactor(node);

    if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node->left) >= 0)
        return rotateRight(node);

    if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node->right) <= 0)
        return rotateLeft(node);

    if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node->left) < 0) {
        node->left = rotateLeft(node->left);
        return rotateRight(node);
    }

    if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node->right) > 0) {
        node->right = rotateRight(node->right);
        return rotateLeft(node);
    }

    return node;
}

// 插入结点
AVLNode* insertNode(AVLNode* root, int data) {
    if (root == nullptr)
        return new AVLNode(data);

    if (data < root->data)
        root->left = insertNode(root->left, data);
    else if (data > root->data)
        root->right = insertNode(root->right, data);
    else
        return root; // 重复值，不进行插入

    return balanceNode(root);
}

// 查找最小结点
AVLNode* findMinNode(AVLNode* node) {
    if (node == nullptr || node->left == nullptr)
        return node;
    return findMinNode(node->left);
}

// 删除结点
AVLNode* deleteNode(AVLNode* root, int data) {
    if (root == nullptr)
        return root;

    if (data < root->data)
        root->left = deleteNode(root->left, data);
    else if (data > root->data)
        root->right = deleteNode(root->right, data);
    else {
        if (root->left == nullptr && root->right == nullptr) {
            delete root;
            root = nullptr;
        } else if (root->left == nullptr) {
            AVLNode* temp = root;
            root = root->right;
            delete temp;
        } else if (root->right == nullptr) {
            AVLNode* temp = root;
            root = root->left;
            delete temp;
        } else {
            AVLNode* minRight = findMinNode(root->right);
            root->data = minRight->data;
            root->right = deleteNode(root->right, minRight->data);
        }
    }

    return balanceNode(root);
}

// 中序遍历
void inOrderTraversal(AVLNode* root) {
    if (root == nullptr)
        return;

    inOrderTraversal(root->left);
    std::cout << root->data << " ";
    inOrderTraversal(root->right);
}

int main() {
    AVLNode* root = nullptr;
    std::vector<int> data = {15, 3, 7, 10, 9, 8};

    for (int i = 0; i < data.size(); i++) {
        root = insertNode(root, data[i]);
    }

    std::cout << "中序遍历结果: ";
    inOrderTraversal(root);
    std::cout << std::endl;

    root = deleteNode(root, 7);

    std::cout << "删除结点后的中序遍历结果: ";
    inOrderTraversal(root);
    std::cout << std::endl;

    return 0;
}