1.感知机（Perceptron）的原理及实现

声明：笔记来源于《白话机器学习的数学》

感知机是接受多个输入后将每个值与各自权重相乘，最后输出总和的模型。
单层感知机因过于简单，无法应用于实际问题，但它是神经网络和深度学习的基础模型。
单层感知机指的是感知机、多层感知机指的是神经网络（之前本人相关笔记：机器学习和AI底层逻辑、深度神经网络底层原理、卷积神经网络底层原理）

$$\mathbf{w}\cdot \mathbf{x}=\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i$$

感知机的缺点是只能解决线性可分的问题

1.1 使用向量内积来表达直线（分类边界）

权重向量中的各个值就是我们说的未知参数

如何使用向量内积来表达直线？
向量内积衡量的是两个向量的相似程度
利用内积为0，则两个向量垂直，其中一个向量为权重向量，另一个向量所在的直线则可表示分类边界

假设权重向量$w=(1,1)$

移项后为 $x_2=-x_1$，$x_2$为纵轴、$x_1$为横轴

我们观察一下分类边界的两侧对应内积的情况

图1 内积为负

图2 内积为正

为什么是这种结果的呢？
$$\mathbf{w}\cdot \mathbf{x}=|\mathbf{w}|\cdot |\mathbf{x}|\cos \theta$$
其中$|\mathbf{w}|、|\mathbf{x}|$均为正数，
若$\mathbf{w}\cdot \mathbf{x}<0$，则$\cos \theta <0$，即 $\theta$范围为 $[90°，180°]$，与权重向量夹角在此范围的内积为负
若$\mathbf{w}\cdot \mathbf{x}>0$，则$\cos \theta >0$，即 $\theta$范围为 $[0°，90°]\cup [270°，360°]$，与权重向量夹角在此范围的内积为正

上图中的两个范围作为两个类别，那一条直线就是分类边界，这个分类边界由权重向量表示
在权重向量已知的情况下（权重向量需要我们通过训练来得到），我们将数据代入，判断内积的正负即可完成分类的任务
我们为内积为负的区域类别设置标签为-1，为内积为正的区域类别设置标签为1

1.2 权重向量的更新表达式

$f_{\mathbf{w}}({\mathbf{x}}^{(i)})$为判别函数、$y^{(i)}$为对应的标签，标签代表该数据在哪个分类（可能是人工标注）

如果$f_{\mathbf{w}}({\mathbf{x}}^{(i)})\ne y^{(i)}$表示分类失败，例如某些应该在内积为负区域的值落在了正区域，则需要更新权重向量（图像上表现为权重向量的旋转）
如果$f_{\mathbf{w}}({\mathbf{x}}^{(i)})=y^{(i)}$表示分类成功，则无需更新权重向量（位置保持不变）

随意画一个权重向量	代入一个训练数据
数据的判别函数与数据标签不等，分类失败	旋转权重向量

旋转权重向量后，该数据判别结果与标签相等，分类成功，代入所有数据使得权重向量最终在这些数据的正确位置，其法线向量所在直线为分类边界

1.2 感知机（Perceptron）的实现

输入图像水平方向和竖直方向的像素，判断该图像是纵向的还是横向的？

纵向

横向

$x1$为水平方向像素、$x2$为竖直方向像素、$y$为标签，$y=-1$代表该图像为纵向的，$y=1$代表该图像为横向的

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读入训练数据
train = np.loadtxt('~/Downloads/sourcecode-cn/images1.csv', delimiter=',', skiprows=1)
train_x = train[:,0:2]
train_y = train[:,2]

绘制训练数据

plt.plot(train_x[train_y == 1, 0], train_x[train_y == 1, 1], 'o')
plt.plot(train_x[train_y == -1, 0], train_x[train_y == -1, 1], 'x')
plt.axis('scaled')
plt.show()

$x_1$为 $x$ 轴，$x_2$为 $y$ 轴

# 权重初始化
w = np.random.rand(2)

$$\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right]$$

# 判别函数
def f(x):
    if np.dot(w, x) >= 0:
        return 1
    else:
        return -1

# 重复次数
epoch = 10

# 更新次数
count = 0

感知机停止学习的标准最好根据精度来决定是否停止，我们这里暂时通过规定迭代次数作为循环的结束条件

# 学习权重
for _ in range(epoch):
    for x, y in zip(train_x, train_y):
        if f(x) != y:
            w = w + y * x

            # 输出日志
            count += 1
            print('第 {} 次 : w = {}'.format(count, w))

# 绘图确认
x1 = np.arange(0, 500)
plt.plot(train_x[train_y ==  1, 0], train_x[train_y ==  1, 1], 'o')
plt.plot(train_x[train_y == -1, 0], train_x[train_y == -1, 1], 'x')
plt.plot(x1, -w[0] / w[1] * x1, linestyle='dashed')
plt.show()

使权重向量成为法线向量的直线方程是内积为 0 的 x 的集合

验证