代码随想录算法训练营第四十二天 | 01背包理论基础，01背包理论基础（滚动数组），416. 分割等和子集

news2024/12/27 1:58:28

代码随想录算法训练营第四十二天 | 01背包理论基础，01背包理论基础（滚动数组），416. 分割等和子集

1.1 01背包理论基础

416.分割等和子集1

01背包

回溯法：暴力的解法是o(2^n)指数级别的时间复杂度，需要动态规划的解法来进行优化！

二维dp数组01背包

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少
不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]
放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]]为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

void test_2_wei_bag_problem1() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagweight = 4;

    // 二维数组
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

    // 初始化
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    // weight数组的大小 就是物品个数
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

        }
    }

    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    test_2_wei_bag_problem1();
}

1.2 01背包理论基础（滚动数组）

一维dp数组（滚动数组）

滚动数组的由来：需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
二维数组中，dp[i][j] 是依据上一行的左边推导的，现在复用了一行的数据。必须从右向左才能保证数据不被覆盖
先遍历物品嵌套遍历背包容量

void test_1_wei_bag_problem() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    // 初始化
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}

int main() {
    test_1_wei_bag_problem();
}

1.3 416. 分割等和子集

思路：

只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集
dp[j]表示背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;

        // dp[i]中的i表示背包内总和
        // 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
        // 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
        vector<int> dp(10001, 0);
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        // 也可以使用库函数一步求和
        // int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;

        // 开始 01背包
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        // 集合中的元素正好可以凑成总和target
        if (dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};