差分方程是描述离散时间系统动态行为的数学工具，而Z变换则是将离散时间信号从时间域转换到复频域的工具。因此，将差分方程转换为Z变换方程可以方便我们在复频域分析离散时间系统的动态行为。
假设我们有一个差分方程:
a n x [ n ] + a n − 1 x [ n − 1 ] + ⋯ + a 0 x [ n − n 0 ] = b n y [ n ] + b n − 1 y [ n − 1 ] + ⋯ + b 0 y [ n − n 1 ] a_n x[n] + a_{n-1} x[n-1] + \dots + a_0 x[n - n_0] = b_n y[n] + b_{n-1} y[n-1] + \dots + b_0 y[n - n_1] anx[n]+an−1x[n−1]+⋯+a0x[n−n0]=bny[n]+bn−1y[n−1]+⋯+b0y[n−n1]
其中 n n n 是时间步长， x [ n ] x[n] x[n] 和 y [ n ] y[n] y[n] 分别表示输入和输出信号， a i a_i ai 和 b i b_i bi 是差分方程的系数。
我们可以通过以下步骤将其转换为Z变换方程：
- 对差分方程两边进行Z变换：
a n X ( z ) + a n − 1 z − 1 X ( z ) + ⋯ + a 0 z − n 0 X ( z ) = b n Y ( z ) + b n − 1 z − 1 Y ( z ) + ⋯ + b 0 z − n 1 Y ( z ) a_n X(z) + a_{n-1} z^{-1} X(z) + \dots + a_0 z^{-n_0} X(z) = b_n Y(z) + b_{n-1} z^{-1} Y(z) + \dots + b_0 z^{-n_1} Y(z) anX(z)+an−1z−1X(z)+⋯+a0z−n0X(z)=bnY(z)+bn−1z−1Y(z)+⋯+b0z−n1Y(z)
其中 X ( z ) X(z) X(z) 和 Y ( z ) Y(z) Y(z) 分别表示输入和输出信号的Z变换， z − 1 z^{-1} z−1 表示Z变换的延迟算子。
- 将 X ( z ) X(z) X(z) 和 Y ( z ) Y(z) Y(z) 分别移到方程的左右两边：
( a n + a n − 1 z − 1 + ⋯ + a 0 z − n 0 ) X ( z ) = ( b n + b n − 1 z − 1 + ⋯ + b 0 z − n 1 ) Y ( z ) \left(a_n + a_{n-1} z^{-1} + \dots + a_0 z^{-n_0}\right) X(z) = \left(b_n + b_{n-1} z^{-1} + \dots + b_0 z^{-n_1}\right) Y(z) (an+an−1z−1+⋯+a0z−n0)X(z)=(bn+bn−1z−1+⋯+b0z−n1)Y(z)
- 求解 H ( z ) = Y ( z ) / X ( z ) H(z) = Y(z) / X(z) H(z)=Y(z)/X(z)，得到系统的传递函数：
H ( z ) = Y ( z ) X ( z ) = b n + b n − 1 z − 1 + ⋯ + b 0 z − n 1 a n + a n − 1 z − 1 + ⋯ + a 0 z − n 0 H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{b_n + b_{n-1} z^{-1} + \dots + b_0 z^{-n_1}}{a_n + a_{n-1} z^{-1} + \dots + a_0 z^{-n_0}} H(z)=X(z)Y(z)=an+an−1z−1+⋯+a0z−n0bn+bn−1z−1+⋯+b0z−n1
这样，我们就成功地将差分方程转换为了Z变换方程，并得到了系统的传递函数。在复频域中，我们可以使用传递函数来分析离散时间系统的动态行为，例如系统的稳定性、频率响应等。
【最后一个bug】多平台都有更新和发布，大家可以一键三连，关注+星标，不错过精彩内容~
