3.二维动态规划

1)

力扣https://leetcode.cn/problems/minimum-path-sum/第一行的的路径只与左边的元素有关，第一列的路径只与上面的元素有关。

除了第一行和第一列，其他元素的路径取决于左边和上面元素的最小值。

只要每次都选择值最小的路径，最后得到的就是最小路径。

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size();
        int n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> path = grid;
        for(int i=1;i<n;i++){
            path[0][i] += path[0][i-1];
        }
        for(int i=1;i<m;i++){
            path[i][0] += path[i-1][0];
        }
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                path[i][j] += min(path[i-1][j], path[i][j-1]);
            }
        }
        return path[m-1][n-1];
    }
};

上述代码用到了二维数组，为了空间压缩，可以只用一个一维数组：

path[j]表示二维数组中的path[i-1][j]（未更新）

path[j-1]表示二维数组中的path[i][j-1]（已更新）

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size();
        int n = grid[0].size();
        vector<int> path(n,0);

        for(int i=0;i<m;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(i==0&&j==0){
                    path[j] = grid[i][j];
                }else if(i==0){
                    path[j] = path[j-1] + grid[i][j];
                }else if(j==0){
                    path[j] = path[j] + grid[i][j];
                }else{
                    path[j] = min(path[j],path[j-1]) + grid[i][j];
                }
            }
        }
        return path[n-1];
    }
};

2)

力扣https://leetcode.cn/problems/01-matrix/当元素值为0时，最近距离就是0。

当元素值为1时，最近距离为周围四个元素的最近距离的最小值加1。

因为做BFS，最差时间复杂度为O(m*n*m*n)。

所以还是用DP记录最近距离速度会更快些。

很直观地能发现，先从左上往右下扫描，得到只考虑左边元素和上边元素时的最小距离。

再从右下往左上扫描，可以得到考虑右边元素和下边元素的最小距离。

做完两遍扫描，就把周围四个元素都考虑进去了。

时间复杂度为O(2*m*n)。

注意最小距离数组一开始要设置为最大距离减一

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> updateMatrix(vector<vector<int>>& mat) {
        int m = mat.size(), n = mat[0].size();
        vector<vector<int>> res(m,vector<int>(n,INT_MAX-1));

        for(int i=0;i<m;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(mat[i][j]==0){            
                    res[i][j] = 0;
                }else{
                    if(i>0){
                        res[i][j] = min(res[i][j], res[i-1][j]+1);
                    }
                    if(j>0){
                        res[i][j] = min(res[i][j], res[i][j-1]+1);
                    }
                }
            }
        }


        for(int i=m-1;i>=0;i--){
            for(int j=n-1;j>=0;j--){
                if(res[i][j]){
                    if(i<m-1){
                        res[i][j] = min(res[i][j], res[i+1][j]+1);
                    }
                    if(j<n-1){
                        res[i][j] = min(res[i][j], res[i][j+1]+1);
                    }
                }
            }
        }
        
       
        return res;
    }
};

3)

力扣https://leetcode.cn/problems/maximal-square/假设当前元素是正方形右下角的元素

若想要正方形边长为1，那么当前元素值为'1'就行了

若想要正方形变成为2，那么不仅要当前元素值为’1‘，还需要上边，左边，左上角三个元素分别所能构成的最大正方形边长>=1。

若想要正方形变成为3，那么不仅要当前元素值为’1‘，还需要上边，左边，左上角三个元素分别所能构成的最大正方形边长>=2。

依此类推，得到状态转移方程：

dp[i][j] = 1 + min(dp[i-1][j],min(dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]))

每次记录边长最长的值，最终就能得到最大正方形的面积。

class Solution {
public:
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        int m = matrix.size();
        int n = matrix[0].size();
        int res = 0;
        vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));
        for(int i=0;i<m;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(i==0||j==0){
                    dp[i][j] = matrix[i][j]-'0';
                    res = max(res, dp[i][j]);
                }else{
                    if(matrix[i][j]=='1'){
                        dp[i][j] = 1 + min(dp[i-1][j],min(dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]));
                        res = max(res, dp[i][j]);
                    }
                }
            }
        }
        return res*res;
    }
};