一、实验目的：

理解并掌握动态规划算法的基本思想和设计步骤。

• 实验内容

若给定序列X={x1,x2,...,xm},Z={z1,z2,...,zk},若Z是X的子序列，当且仅当存在一个严格递增下标序列{i1,...,ik}，使得对于所有j=1,2,...,k有：zj=xij。例如，序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列，相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。

给定序列X和Y，当序列Z既是X的子序列，又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。例如X={A,B,C,B,D,A,B},Y={C,B,C,E,D,B},则{B,C,D,B}是X和Y的公共子序列，当然{B,C},{B,C,D}等也都是X和Y的公共子序列。在两个序列的所有公共子序列中，包含元素最多的序列称之为最长公共子序列。、任意给定两个字符序列X={x1,x2,...,xm}和Y={y1,y2,...,yn},设计算法求解它们的最长公共子序列。

程序代码：

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include <stdlib.h>

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[100][100], int b[100][100])

{

int i, j;

    for(i=1;i<=m;i++)c[i][0]=0;

    for(i=1;i<=n;i++)c[0][i]=0;

    for(i=1;i<=m;i++)

       for(j=1;j<=n;j++)

       {

       if(x[i]==y[j])

       {

           c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;

           b[i][j]=1;

       }

       else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])

       {

           c[i][j]=c[i-1][j];

           b[i][j]=2;

       }

       else

       {

           c[i][j] = c[i][j - 1];

           b[i][j] = 3;

       }

}

}

void LCS(int i, int j, char *x, int b[100][100])

{

    if (i == 0 || j == 0) return;

    if (b[i][j] == 1)

    {

       LCS(i-1,j-1,x,b);

       printf("%c", x[i]);

    }

    else if (b[i][j] == 2)

       LCS(i-1,j,x,b);

    Else LCS(i,j-1,x,b);

}

int main()

{

    int i,j, m, n,c[100][100],b[100][100];

    char x[1000], y[1000];

     printf("请输入序列x,按回车键结束:");

    scanf("%s",&x) ;

     printf("请输入序列y,按回车键结束:");

    scanf("%s",&y) ;

    m=strlen(x);

    n=strlen(y);

    LCSLength(x, y, m, n, c, b);

printf("x和y的最长公共子序列为:");

    LCS(m, n, x, b);

    return 0;

}

程序测试及运行结果：

分析与讨论：

1. 分析

我的思路是,本题采用动态规划法,最重要的就是找出递推公式,也是本体解开的核心,求出递推公式，再自下而上的求解最优值。设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,…,zk} ，则:若xm=yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。若xm≠yn且zk≠xm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。

那么最长公共子序列的长度可以表示为：

在编写程序的时候，当两个序列其中一个为零的时候，那么公共子序列长度肯定为零所以由c[i][0]=0和c[0][j]=0，然后根据最长公共子序列长度，用if与语句分三种情况讨论，并对c[i][j]进行赋值。

1. 讨论

求解最长公共子序列的特点：两个序列的最长公共子序列不是唯一的，其子序列不能改变其元素的先后顺序。

动态规划法的优点：能够得到全局最解。

动态规划法缺点：数值方法求解时存在维数灾并且没有统一的标准模型。