八皇后问题
八皇后问题是一个经典的回溯算法问题，目的是在8×8的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得没有皇后可以互相攻击（即没有两个皇后在同一行、同一列或同一对角线上）。
回溯算法是一种解决问题的算法，它通过尝试所有可能的解决方案来解决问题。在八皇后问题中，计算机从棋盘的第一行开始，尝试在每个格子里放一个皇后，然后递归地向下一行棋盘延伸，直到成功地放置所有皇后，或者找到了不行的放置方式，就回溯到上一行来找到新的放置方式。
八皇后问题是经典的计算机科学问题之一，同时也是深度学习和人工智能中的一个重要案例。 许多算法都可以解决这个问题，包括暴力搜索、深度优先搜索、启发式搜索、遗传算法等。
递归算法
递归算法是一种解决问题的算法，它将问题拆分成一个或多个相同的子问题，然后通过求解这些子问题来逐步求解原问题。递归算法通常使用函数或方法进行实现，函数或方法本身会调用自身或其他函数或方法来完成求解。
在实现递归算法时，需要考虑以下几个方面：
- 退出条件：递归过程中必须有退出条件，否则会出现无限递归的情况。
- 子问题拆分：原问题必须能够拆分成相同的子问题，子问题之间必须有边界，子问题之间不会循环依赖。
- 递归调用：递归过程中必须正确调用自身或其他函数或方法，同时要维护好递归状态，确保函数执行时的状态正确性。
递归算法在生物学、计算机科学、语言学和数学等领域都有应用。在计算机科学领域，递归算法被广泛应用于实现数据结构、排序、查找、图形和应用程序的设计等。常见的递归算法包括二叉树的遍历、图的遍历、动态规划等。
回溯算法
回溯算法是一种解决问题的算法，通常用于在一个大的问题中求解所有可能的解决方案。该算法通过不断尝试解决方案中的每个选择，直到找到可行解或者无法继续尝试后，再回溯到前一步做出新的选择，继续尝试其他的选择，直到找到所有的解或者没有解。
回溯算法通常采用递归方式来实现，每次递归时，将当前的选择作为参数传递到下一次递归中，并在递归返回时恢复现场。在实现中，通常通过由一个标志来表示当前状态的合法性，并在选择时剪枝，只保留合法的选择，以避免重复的尝试。
回溯算法具有普适性，可以解决一大类问题，如排列问题、组合问题、划分问题、子集问题、连通性问题、游戏问题、迷宫问题等。同时，回溯算法也是NP完全问题的解决算法之一，如旅行商问题、背包问题等。
虽然回溯算法是一种朴素的暴力搜索算法，但是在面对一些规模较小的问题时，它往往具有不错的解决效果。
python实现八皇后问题
以下是Python的一种实现方式，用回溯算法求解八皇后问题：
def solve_n_queens(n):
res = []
def backtrack(board, row):
if row == n:
res.append(list(board))
return
for col in range(n):
if not is_valid(board, row, col):
continue
board[row][col] = 'Q'
backtrack(board, row+1)
board[row][col] = '.'
def is_valid(board, row, col):
n = len(board)
# 检查列是否有皇后冲突
for i in range(n):
if board[i][col] == 'Q':
return False
# 检查右上方是否有皇后冲突
for i, j in zip(range(row-1, -1, -1), range(col+1, n)):
if board[i][j] == 'Q':
return False
# 检查左上方是否有皇后冲突
for i, j in zip(range(row-1, -1, -1), range(col-1, -1, -1)):
if board[i][j] == 'Q':
return False
return True
board = [['.' for _ in range(n)] for _ in range(n)]
backtrack(board, 0)
return res
该算法的时间复杂度为 O ( N ! ) O(N!) O(N!)，其中 N N N为皇后个数。在 N = 8 N=8 N=8时，该算法可以在很短的时间内求解出所有的八皇后问题的解。
java实现八皇后问题
以下是Java的一种实现方式，用回溯算法求解八皇后问题：
import java.util.*;
public class NQueens {
public static List<List<String>> solveNQueens(int n) {
List<List<String>> res = new ArrayList<>();
backtrack(new char[n][n], 0, res);
return res;
}
private static void backtrack(char[][] board, int row, List<List<String>> res) {
if (row == board.length) {
List<String> solution = new ArrayList<>();
for (char[] c : board) {
solution.add(new String(c));
}
res.add(solution);
return;
}
for (int col = 0; col < board.length; col++) {
if (!isValid(board, row, col)) {
continue;
}
board[row][col] = 'Q';
backtrack(board, row+1, res);
board[row][col] = '.';
}
}
private static boolean isValid(char[][] board, int row, int col) {
// 检查列是否有皇后冲突
for (int i = 0; i < row; i++) {
if (board[i][col] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查右上方是否有皇后冲突
for (int i = row-1, j = col+1; i >= 0 && j < board.length; i--, j++) {
if (board[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
// 检查左上方是否有皇后冲突
for (int i = row-1, j = col-1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
if (board[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
return true;
}
public static void main(String[] args) {
List<List<String>> solutions = solveNQueens(8);
for (List<String> solution : solutions) {
for (String row : solution) {
System.out.println(row);
}
System.out.println();
}
}
}
该算法的时间复杂度为 O ( N ! ) O(N!) O(N!)，其中 N N N为皇后个数。在 N = 8 N=8 N=8时，该算法可以在很短的时间内求解出所有的八皇后问题的解。
