一、“变量”的概念

一个代数表达式（通常只有一个字母：x，y，z…，如果它取代了一个未知值（物理、经济、时间等），则称为“变量”。

变量的作用是占据一个值所在的位置，如果该值可用的话。

比如我们有这样一个问题，如果税率是40%，一个人需要缴纳多少税款？

为了回答这样的问题需要了解此人的年薪。由于工资是未知的，我们用一个变量代替它。例如，如果我们定义变量 x = 此人的工资。

他将缴纳40%的税款，即。税款 = 40%x = 0.4x。因此，变量x在税收计算中占据了工资的位置。

二、数学建模示例

数学建模(mathematics modeling)是指创建真实场景的数学表示以进行预测或提供见解的过程。与单纯的拿公式进行使用不同，数学建模是实际寻找并创建数学关系。

数学建模是一个迭代的问题解决过程，在这个过程中，数学被用来探索和加深对现实世界问题的理解。

我们使用数学表达式来描述真实的定量情况的过程称为建模。建模包括用数学术语写出首先用语言表达的内容，必要时使用变量。前面的例子说明了建模：尽管我们不知道个人的工资，但我们仍然能够获得一个充分代表他所缴纳税款的表达式。

1、示例1

老王希望投资一只年回报率为10%的股票。到年底他会有多少钱？

老王的初始投资未知。

让我们定义一下：

x：老王投资于该股票的金额

年末累计金额为

x+(10%)x = x+0.1x = 1.1x

看到这里你可能会骂，着什么破玩意，这不就是简单的代数么？是的，确实是这样，例子简单，但是这就是数学建模的核心。

当然，现实世界的问题复杂程度远超于此。

2、示例2

木匠自己生产和销售家具。松木桌子售价650美元，樱桃木桌子售价750美元，枫木桌子售价850美元。木匠的年收入是多少？

木匠的年收入只有在知道每种桌子的销售量的情况下才能获得。因此，变量必须取代这些暂时未知的量。

让我们定义一下：

x = 一年中出售的松木桌子的数量

y = 一年中售出的樱桃餐桌数量

z = 一年中售出的枫木桌子的数量

每张松木桌子的收入为650美元。如果出售x松木桌子，将获得650x的收入。同样的参数也适用于其他类型的表。因此

总收入 = 650x + 750y + 850z

3、示例3

一个项目的三个阶段必须按顺序进行，这意味着一个阶段不能在前一阶段完成之前开始。我们知道，每个阶段的成本分为固定成本和可变成本，固定成本与持续时间无关，可变成本取决于持续时间。

下表总结了情况（这里我们暂不考虑数字的单位）：

项目阶段	1	2	3
固定成本	318000	212000	220000
可变成本	15000/天	14000/天	16000/天

该项目的经理必须计算该项目的费用。他希望确定一个费用，以确保至少10%的利润率。表达项目的总成本和设计师应在每个阶段的持续时间内提出的价格。

每个阶段的持续时间未知。因此，让我们定义以下三个变量：

x = 阶段1的持续时间，单位天

y = 阶段2的持续时间，单位天

z = 阶段3的持续时间，单位天

第一阶段的成本可分为固定成本（318000）和可变成本（每天15000）。

如果第1阶段持续x天，则该阶段的费用为

阶段1花费 = 318000 + 15000x

同样的原则适用于其他两个阶段。

项目的总成本可以表示为三个阶段的成本之和：

总花费 = （318000 + 15000x） + （212000+ 14000y）+（220000 + 16000z）

该项目的拟议价格必须确保有10%的利润率，因此，价格必须至少比总成本高出10%：

总费用 >= 1.1 * （（318000 + 15000x） + （212000+ 14000y）+（220000 + 16000z）)

4、示例4

一个没有盖子的方形底部盒子由一种材料制成，侧面每平方米0.75元，底部每平方米0.95元。根据盒子的宽度和高度来表示建造盒子所需材料的总成本。

为了计算所需材料的成本，我们必须确定盒子每一侧及其底部的表面积（以平方米为单位）。这个盒子的尺寸目前还未知。

我们进行如下定义

x = 盒子底部长度，单位米

y = 盒子的高度，单位米

盒子的四边各有一平方米的面积。因此，每一面的材料成本为0.75xh。

盒子底部的面积为 x*x 平方米。底部的材料成本为 $0.95x^2$ 。因此，建造盒子所需材料的总成本由下式给出：

有些问题在不同变量之间存在约束。让我们以示例2的上下文为例。在这里，x和y的值是完全自由的。然而，枫木的短缺可能迫使木匠生产的枫木桌子是樱桃桌子的一半。这种约束也可以使用表达式在数学符号中建模z=（1/2）y 或 y=2z。

当一个问题被建模时，考虑所有给定的信息是很重要的。这样，所有的量值（物理的、经济的、时间的）和所有的约束都必须转化为数学语言。

5、示例5

一位农民正打算划分土地以种植不同的作物。假设，玉米地每平方米的收益为3.50元。燕麦田每平方米收益2.75元。果园的收入为每平方米4.50元。这个农民有100万平方米的土地。为了喂养他的农场动物，耕种者必须至少投入30万平方米用于玉米和燕麦的种植。然而，由于玉米更容易受到长期干旱的影响，他不希望这作物化占地超过20万平方米。最后，他希望将同样数量的土地分配给燕麦和果园。

如何正确地表述农民的收入？这就要求我们需要基于所有约束条件进行建模。

为了对这个问题进行完整的建模，必须确定三个未知因素：

x = 玉米的面积

y = 燕麦的面积

z = 果园的面积

收入以每种作物所占据的面积和每平方米的收益来表示

总收入 = 3.5x + 2.75y + 4.5z

受到四个约束：

1、这个农民有100万平方米的土地，x+y+z<=1000000

2、农民必须至少种植30万平方米的玉米和燕麦，x+y>=300000

3、由于玉米更容易受到长期干旱的影响，不希望玉米占地超过20万平方米，x<=200000

4、他想把同样的面积分配给燕麦和果园，y = z

三、真的这么简单么？

从上面的例子看，好像数学建模很简单啊。如果需要在实际工作用用到的话，需要抱着理性的态度来进行，因为上面的例子实际上就只用到小学生水平的知识，实际工作需要解决的复杂问题可能要超越大学生水平的知识。

那么大学生水平的建模问题是什么样子，我们看一个例子。

“无人机集群在遂行编队飞行时，为避免外界干扰，应尽可能保持电磁静默，少向外发射电磁波信号。为保持编队队形，拟采用纯方位无源定位的方法调整无人机的位置，即由编队中某几架无人机发射信号、其余无人机被动接收信号，从中提取出方向信息进行定位，来调整无人机的位置。编队中每架无人机均有固定编号，且在编队中与其他无人机的相对位置关系保持不变。接收信号的无人机所接收到的方向信息约定为：该无人机与任意两架发射信号无人机连线之间的夹角（如图 1 所示）。例如：编号为 FY01、FY02 及 FY03 的无人机发射信号，编号为 FY04 的无人机接收到的方向信息是 𝛼1，𝛼2 和 𝛼3。”

请建立数学模型，解决以下问题：

问题1：编队由 10 架无人机组成，形成圆形编队，其中 9 架无人机（编号 FY01~FY09）均匀分布在某一圆周上，另 1 架无人机（编号 FY00）位于圆心（见图 2）。无人机基于自身感知的高度信息，均保持在同一个高度上飞行。

(1) 位于圆心的无人机（FY00）和编队中另 2 架无人机发射信号，其余位置略有偏差的无人机被动接收信号。当发射信号的无人机位置无偏差且编号已知时，建立被动接收信号无人机的定位模型。

(2) 某位置略有偏差的无人机接收到编号为 FY00 和 FY01 的无人机发射的信号，另接收到编队中若干编号未知的无人机发射的信号。若发射信号的无人机位置无偏差，除 FY00 和 FY01 外，还需要几架无人机发射信号，才能实现无人机的有效定位？

(3) 按编队要求，1 架无人机位于圆心，另 9 架无人机均匀分布在半径为 100 m 的圆周上。当初始时刻无人机的位置略有偏差时，请给出合理的无人机位置调整方案，即通过多次调整，每次选择编号为 FY00 的无人机和圆周上最多 3 架无人机遂行发射信号，其余无人机根据接收到的方向信息，调整到理想位置（每次调整的时间忽略不计），使得 9 架无人机最终均匀分布在某个圆周上。利用表 1 给出的数据，仅根据接收到的方向信息来调整无人机的位置，请给出具体的调整方案。