第二章 逻辑代数基础
2.1 概述
逻辑：事物间的因果关系。
逻辑运算：逻辑状态按照指定的某种因果关系进行推理的过程。
逻辑变量：用字母表示，取值只有0和1。此时，0和1不再表示数量的大小，只代表两种不同的状态。
2.2 逻辑代数中的三种基本运算
与逻辑
Ｙ＝Ａ•Ｂ
或逻辑
Ｙ＝Ａ+Ｂ
非逻辑
Y＝A′
补充
2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
2.31 基本公式
01律
A + 0 = A || A * 0 = 0
A + 1 = 1 || A * 1 = A
互补律
A + (A反) = 1 || A * (A反) = 0
重叠律
A + A = A || A * A = A
2.32 常用公式
A + A′B
=(A+A′)•(A+B)
=1•(A+B)
=A + B
A + AB
=A*(1+B)
=A
A(A+B)
=A·A + A·B
=A + A·B
=A(1+B)
=A
AB + A′C + BC
=AB + A′C
A·(A·B)′
=A·(A′+B′)
=A·A′ + A·B′
=A·B′
2.4 逻辑代数的基本定理
2.41 代入定理
任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。
2.42 反演定理
对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y′（或称补函数）。
注释：
保持原来的运算优先顺序
不属于单个变量上的反号应保留不变。
2.5 逻辑函数及其描述方法
常用逻辑函数的表示方法有：逻辑真值表（真值表）、逻辑函数式（逻辑式或函数式）、逻辑图、波形图、卡诺图及硬件描述语言。它们之间可以相互转换。
把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。
2.51 最小项
在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在m 中出现，且仅出现一次，则这个乘积项m称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。
性质：
1. 任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。
2. 任意两个不同的最小项的乘积必为0。
3. 全部最小项的和必为1。
4. 如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。
2.6 逻辑函数的化简方法
2.61 公式法化简
并项法 AB + AB′ = A
吸收法 A + AB = A
**消项法 AB + A′C + BC = AB + A′C
消因子法 A + A′B = A + B
配项法 A + A = A || A + A′ = 1
2.62 卡诺图化简法
定义：
将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。
1. 在这个方格图中，每个小方格代表 逻辑函数的一个最小项；
2. 且几何相邻的小方格具有逻辑相邻性，即两相邻小方格所代表的最小项只有一个变量取值不同。
特点：
◆卡诺图中的小方格数等于最小项总数，若逻辑函 数的变量数为 n，则小方格数为 2n 个。
◆卡诺图行列两侧标注的0和1表示使对应方格内最 小项为1的变量取值。同时，这些0和1组成的二进制数 大小就是对应最小项的编号。此外，在卡诺图中，几何 相邻的最小项具有逻辑相邻性，因此，变量的取值不能 按照二进制数的顺序排列，必须按循环码（格雷码）排列。
◆卡诺图是一个上下、左右闭合的图形，即不但紧 挨着的方格是相邻的，而且上下、左右相对应的方格 也是相邻的。
用卡诺图表示逻辑函数：
解：将Y化为最小项之和的形式 ，再画卡诺图
合并最小项的原则
（1）卡诺图中两个（21）相邻“1”格的最小项可以合并成一个乘积项，并消去一个变量。
（2）任何4个（22个）相邻“1”格的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。
（3）任何8个（23个）相邻“1”格最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。
卡诺图化简的基本步骤
1. 得到函数的真值表或将函数化为最小项之和的 标准形式；
2. 画出函数的卡诺图；
3. 合并最小项（即“画圈”）；
★ 总规则：“可以重画，不能漏 画，圈数要少，圈面要大，每个圈 必有一个新‘1’”。
2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简
约束项:
在某些情况下，输入变量的取值不是任意的。当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们对应的最小项恒等于0来表示。这些恒等于0的最小项叫约束项。
任意项:
在输入变量的某些取值下函数值是1还是0皆可，并不影响电路的功能。在这些变量的取值下，其值等于1的那些最小项称为任意项。
注释：
无关项——约束项和任意项统称为逻辑函数 中的无关项。“无关”指是否将这些最小项写入逻 辑函数式无关紧要，在卡诺图中用符号“φ”、“×”或“d”表示无关项。在化简函数时即可以认为它是1，也可以认为它是0。
无关项在化简逻辑函数中的应用 化简具有无关项的逻辑函数时，如果能合理利用这些 无关项，一般都可以得到更加简单的化简结果。合并最小项时，究竟把卡诺图上的“×”作为1还是0， 应以得到的相邻最小项矩形组合最大，而且矩形组合数目 最小为原则。
2.8 多输出逻辑函数的化简
在化简多输出函数时，如果不是孤立的对每个函数进行化简，而是从整体上综合考虑进行化简，有时会得到更加简单的化简结果。
2.9 逻辑函数形式的变换
在前面所讲的逻辑函数化简方法中,都是以最简与或式作为化简目标的。然而在用电路实现这些逻辑函数时,这种最简与或式有时并不是理想的形式。这是因为在电路实现的过程中,往往可供选择的电子器件种类有限,所以必须把逻辑函数的形式变换为与所用器件相适应的形式。
