最短路径算法-迪杰斯特拉(Dijkstra)算法（记录最短路径和距离）

news2024/11/15 11:00:09

原理：

Dijkstra算法是解决**单源最短路径**问题的**贪心算法**

它先求出长度最短的一条路径，再参照该最短路径求出长度次短的一条路径

直到求出从源点到其他各个顶点的最短路径。

首先假定源点为u，顶点集合V被划分为两部分：集合 S 和 V-S。初始时S中仅含有源点u，其中S中的顶点到源点的最短路径已经确定。

集合S 和V-S中所包含的顶点到源点的最短路径的长度待定，称从源点出发只经过S中的点到达V-S中的点的路径为特殊路径，

并用dist[]记录当前每个顶点对应的最短特殊路径长度。

选择特殊路径长度最短的路径，将其连接的V-S中的顶点加入到集合S中，同时更新数组dist[]。一旦S包含了所有顶点，dist[]就是从源到所有其他顶点的最短路径长度。

（1）数据结构。设置地图的带权邻接矩阵为map[][]，即如果从源点u到顶点i有边，就令map[u][i]=<u,i>的权值，否则map[u][i]=∞；

采用一维数组dist[i]来记录从源点到i顶点的最短路径长度：采用一维数组p[i]来记录最短路径上i顶点的前驱。

（2）初始化。令集合S={u}，对于集合V-S中的所有顶点x，初始化dist[i]=map[u][i],如果源点u到顶点i有边相连，初始化p[i]=u(i的前驱是u),否则p[i]=-1

（3）找最小。在集合V-S中依照贪心策略来寻找使得dist[j]具有最小值的顶点t,即dist[t]=min，则顶点t就是集合V-S中距离源点u最近的顶点。

（4）加入S战队。将顶点t加入集合S，同时更新V-S

（5）判结束。如果集合V-S为空，算法结束，否则转6

（6）借东风。在（3）中已近找到了源点到t的最短路径，那么对集合V-S中所有与顶点t相邻的顶点j，都可以借助t走捷径。

如果dist[j]>dist[t]+map[t][j],则dist[j]=dist[t]+map[t][j]，记录顶点j的前驱为t，p[j]=t，转（3）。

//我自己在这里理解就是，从u找到与它最近的点t，在从t找到与它最近的点j，在....按照这样持续下去，直到最后一个点

这里我再通俗的解释下这个借东风的意思。

源点为1，如果我们找到了距离源点最近的点2，且点2与3,4相连。

这样，我们如果要倒3,4有两种方法：

1->2->3(4)

1->3(4)

这里我们就要判断是从1直接到3(4)快，还是经过2后快。假设<1,2>=2 / <2,3>=3 / <1,3>=4

根据上面的数据，我们第一次找最小找到的是2结点，如果我们直接把2替换掉1当做源点继续找下一个最近的点，这种方法是错的。

因为可以看出1->3只用4，而过2的话要用5。

实现代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;//1899 20296
const int N=2000;	//城市个数可修改
const int INF=1e7;	//初始化无穷大为.......
int G[N][N],dist[N],p[N],n,m;	//n为城市个数，m为城市间路线的条数
bool flag[N];	//如果flag[i]=true,说明该顶点i已经加入到集合S；否则i属于集合V-S

void Dijkstra(int u){
   
	for(int i=1;i<=n;i++){//********>>>--1--<<<******//
        
		dist[i]=G[u][i];	//初始化源点u到其他各个顶点的最短路径长度
		flag[i]=false;
		if(dist[i]==INF)
			p[i]=-1;	//说明源点u到顶点i无边相连，设置p[i]=-1
		else
			p[i]=u;	//说明源点u到顶点i有边相连，设置p[i]=u
	}
	flag[u]=true;//初始化集合S中，只有一个元素：源点u
	dist[u]=0;	//初始化源点u的最短路径为0，自己到自己的最短路径




    
	for(int i=1;i<=n;i++){//********>>>--2--<<<******//
		int temp=INF,t=u;
		for(int j=1;j<=n;j++){//>>--3--<<在集合V-S中寻找距离源点u最近的顶点t
			if(!flag[j] && dist[j]<temp){
				t=j;	//记录距离源点u最近的顶点
				temp=dist[j];
			}
		}
		if(t==u) return ;	//找不到t跳出循环
		flag[t]=true;	//否则，将t加入集合S
		for(int j=1;j<=n;j++){//>>--4--<<更新集合V-S中与t邻接的顶点到u的距离
			if(!flag[j] && G[t][j]<INF){//！flag[j]表示j在v-s集合中，map[t][j]<INF表示t与j邻接
				if(dist[j]>(dist[t]+G[t][j])){//经过t到达j的路径更短
					dist[j]=dist[t]+G[t][j];
					p[j]=t;	//记录j的前驱为t
				}
			}
		}	
	}	
}


void findpath(int u)
{
	int x;
	stack<int>s;
	cout << "源点为：" << u << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		x = p[i];
		while (x != -1)
		{
			s.push(x);
			x = p[x];
		}
		cout << "源点到其他各顶点的最短路径为：";
		while (!s.empty())
		{
			cout << s.top() << "--";
			s.pop();
		}
		cout << i << ";最短距离为：" << dist[i] << endl;
	}
}



int main(){
	int u, v, w, st;
   
    ifstream fin("input.txt");

    fin >> n >> m;
    for(int i=1;i<=n;i++)//初始化图的邻接矩阵
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			G[i][j] = INF;//初始化邻接矩阵为无穷大
		}
    while(fin>>u >> v >> w)
    {
        G[u][v] = min(G[u][v], w);	//邻接矩阵存储，保留最小的距离
    }

	cout << "请输所在的位置：" << endl;
	cin>>st;
	Dijkstra(st);
	findpath(st);
	return 0;
}

运行结果：