5. 维特比算法解码隐藏状态序列 $Q$

学习目标：

• 知道维特比算法解码隐藏状态序列 $Q$

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在本篇我们会讨论维特比算法解码隐藏状态序列 $Q$，即给定模型 $\lambda$ 和观测序列 $O$，求给定观测序列 $O$ 条件下，最可能出现的对应的隐藏状态序列 $Q^{\ast }$。

HMM 模型的解码问题最常用的算法是维特比算法，当然也有其他的算法可以求解这个问题。同时维特比算法是一个通用的求序列最短路径的动态规划算法，也可以用于很多其他问题。

5.1 HMM 最可能隐藏状态序列求解概述

HMM 模型的解码问题即：

给定模型 $\lambda =(A,B,\Pi )$ 和 观测序列 $O=o_1,o_2,...,o_T$，求给定观测序列 $O$ 条件下，最可能出现的对应的隐藏状态序列 $Q^{\ast }=q_1^{\ast },q_2^{\ast },...，q_T^{\ast }$，即 $P(Q^{\ast }|O)$ 的最大化。

一个可能的近似解法是求出观测序列 $O$ 在每个时刻 $t$ 最可能的隐藏状态 $q_t^{\ast }$，然后得到一个近似的隐藏状态序列 $Q^{\ast }=q_1^{\ast },q_2^{\ast },...，q_T^{\ast }$。要这样近似求解不难，利用前向后向算法评估观察序列概率的定义：

• 在给定模型 $\lambda$ 和观测序列 $O$ 时，在时刻 $t$ 处于状态 $q_i$ 的概率是
  ${\gamma }_t(i)$，这个概率可以通过 HMM 的前向算法与后向算法计算。这样我们就有：

$$Q_t^{\ast }=\underset{i\le i\le N}{\mathrm{argmax}}\mathring{(}i)t=1,2,...,T$$

其中：

• $A$：状态转移矩阵，其中 $a_{ij}$ 表示从隐藏状态 $i$ 转移到隐藏状态 $j$ 的概率。
• $B$：观测概率矩阵，其中 $b_j(k)$ 表示在隐藏状态 $j$ 下观测到符号 $k$ 的概率。
• $\Pi$：初始状态概率向量，其中 ${\pi }_i$ 表示初始时刻隐藏状态为 $i$ 的概率。
• $O$：观测序列，其中 $o_t$ 表示时刻 $t$ 的观测值。
• $\lambda$：HMM 模型参数，包括状态转移矩阵 $A$、观测概率矩阵 $B$ 和初始状态概率向量 $\Pi$。
• $Q^{\ast }$：最可能的隐藏状态序列（即预测的隐藏状态序列），其中 $q_t^{\ast }$ 表示时刻 $t$ 最可能的隐藏状态。
• ${\gamma }_t(i)$：在给定模型 $\lambda$ 和观测序列 $O$ 时，在时刻 $t$ 处于状态 $q_i$ 的概率。

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近似算法很简单，但是却不能保证预测的状态序列 $Q^{\ast }$ 整体是最可能的状态序列 $Q_{\text{best}}$，因为预测的状态序列 $Q^{\ast }$ 中某些相邻的隐藏状态 $q$ 可能存在转移概率 $a_{ij}$ 为 0 的情况。

而维特比算法可以将 HMM 的状态序列作为一个整体来考虑，避免近似算法的问题，下面我们来看看维特比算法进行 HMM 解码的方法。

5.2 维特比算法概述

维特比算法是一个通用的解码算法，是基于动态规划的求序列最短路径的方法。既然是动态规划算法，那么就需要找到合适的局部状态，以及局部状态的递推公式。

在 HMM 中，维特比算法定义了两个局部状态用于递推：

【第一个局部状态 ${\delta }_t(q)$】第一个局部状态是在时刻 $t$ 隐藏状态为 $q$ 所有可能的状态转移路径 $q_1,q_2,...,q_t$ 中的概率最大值，记为 ${\delta }_t(q)$：

$${\delta }_t(q)=\underset{q_1,q_2,...,q_{t-1}}{\max }P(q_t=q,q_1,q_2,...,q_{t-1},o_t,o_{t-1},...,o_1|\lambda )i=1,2,...,N$$

由 ${\delta }_t(q)$ 的定义可以得到 $\delta$ 的递推表达式：

$$\begin{array}{rl}{\delta }_{t+1}(q)& =\underset{q_1,q_2,...,q_t}{\max }P(q_{t+1}=q,q_1,q_2,...,q_t,o_{t+1},o_t,...,o_1|\lambda )\\ & =\underset{1\le j\le N}{\max }[{\delta }_t(j)a_{ji}]b_i(o_{t+1})\end{array}$$

【第二个局部状态 ${\psi }_t(q)$】第二个局部状态由第一个局部状态递推得到。

我们定义在时刻 $t$ 隐藏状态为 $q$ 的所有单个状态转移路径 $(q_1,q_2,...,q_{t-1})$ 中概率最大的转移路径中第 $t-1$ 个节点的隐藏状态为 ${\psi }_t(q)$。其递推表达式可以表示为：

$${\psi }_t(q)=\underset{1\le j\le N}{\mathrm{argmax}}[{\delta }_{t-1}(j)a_{ji}]$$

有了这两个局部状态，我们就可以从时刻 0 一直递推到时刻 $T$，然后利用 ${\psi }_t(i)$ 记录的前一个最可能的状态节点回溯，直到找到最优的隐藏状态序列。

其中：

• $A$：状态转移矩阵，其中 $a_{ij}$ 表示从隐藏状态 $i$ 转移到隐藏状态 $j$ 的概率。
• $B$：观测概率矩阵，其中 $b_j(k)$ 表示在隐藏状态 $j$ 下观测到符号 $k$ 的概率。
• $\Pi$：初始状态概率向量，其中 ${\pi }_i$ 表示初始时刻隐藏状态为 $i$ 的概率。
• $O$：观测序列，其中 $o_t$ 表示时刻 $t$ 的观测值。
• $\lambda$：HMM 模型参数，包括状态转移矩阵 $A$、观测概率矩阵 $B$ 和初始状态概率向量 $\Pi$。
• ${\delta }_t(q)$：在时刻 $t$ 隐藏状态为 $q$ 的所有可能的状态转移路径中的概率最大值。
• ${\psi }_t(q)$：在时刻 $t$ 隐藏状态为 $q$ 的所有单个状态转移路径中概率最大的转移路径中第 $t-1$ 个节点的隐藏状态。

维特比算法通过动态规划来求解最优状态序列，具有较高的效率和准确性。

5.3 维特比算法流程总结

• 输入：HMM 模型 $\lambda =(A,B,\prod )$，观测序列 $O=(o_1,o_2,...,o_T)$
• 输出：最有可能的隐藏状态序列 $Q^{\ast }=q_1^{\ast },q_1^{\ast },...,q_T^{\ast }$

流程如下：

步骤一：初始化局部状态

$$\begin{array}{rl}& {\delta }_1(q)={\Pi }_i{b}_i(o_1)i=1,2,...,N\\ & {\psi }_1(q)=0i=1,2,...,N\end{array}$$

步骤二：进行动态规划递推时刻 $t=2,3,...,T$ 的局部状态

$$\begin{array}{rlr}& {\delta }_t(q)=\underset{1\le j\le N}{\max }[{\delta }_{t-1}(j)a_{ji}]b_i(o_t)& i=1,2,...,N\\ & {\psi }_t(i)=\underset{1\le j\le N}{\mathrm{argmax}}[{\delta }_{t-1}(j)a_{ji}]& i=1,2,...,N\end{array}$$

步骤三：计算时刻 $T$ 最大的 ${\delta }_T(i)$，即为最可能隐藏状态序列出现的概率。计算时刻 $T$ 最大的 ${\psi }_t(q)$，即为时刻 $T$ 最可能的隐藏状态。

$$\begin{array}{rl}& P^{\ast }=\underset{1\le j\le N}{\max }{\delta }_T(i)\\ & q_T^{\ast }=\underset{1\le j\le N}{\mathrm{argmax}}[{\delta }_T(q)]\end{array}$$

步骤四：利用局部状态 ${\psi }_t(i)$ 开始回溯。对于 $t=T-1,T-2,...,1$：

$$q_t^{\ast }={\psi }_{t+1}(q_{t+1}^{\ast })$$

最终得到最有可能的隐藏状态序列 $Q^{\ast }=q_1^{\ast },q_2^{\ast },...,q_T^{\ast }$。

其中：

• $A$：状态转移矩阵，其中 $a_{ij}$ 表示从隐藏状态 $i$ 转移到隐藏状态 $j$ 的概率。
• $B$：观测概率矩阵，其中 $b_j(k)$ 表示在隐藏状态 $j$ 下观测到符号 $k$ 的概率。
• $\Pi$：初始状态概率向量，其中 ${\pi }_i$ 表示初始时刻隐藏状态为 $i$ 的概率。
• $O$：观测序列，其中 $o_t$ 表示时刻 $t$ 的观测值。
• $\lambda$：HMM 模型参数，包括状态转移矩阵 $A$、观测概率矩阵 $B$ 和初始状态概率向量 $\Pi$。
• ${\delta }_t(q)$：在时刻 $t$ 隐藏状态为 $q$ 的所有可能的状态转移路径中的概率最大值。
• ${\psi }_t(q)$：在时刻 $t$ 隐藏状态为 $q$ 的所有单个状态转移路径中概率最大的转移路径中第 $t-1$ 个节点的隐藏状态。

5.4 HMM 维特比算法求解实例

下面我们仍然用盒子与球的例子来看看 HMM 维特比算法求解。我们的观察集合是：

V = { 红 , 白 } M = 2 \begin{aligned} & V = \{ 红,白 \}\\ & M = 2 \end{aligned} ​V={红,白}M=2​

我们的状态集合是：

Q = { 盒子 1 , 盒子 2 , 盒子 3 } N = 3 \begin{aligned} & Q = \{盒子1, 盒子2, 盒子3\}\\ & N = 3 \end{aligned} ​Q={盒子1,盒子2,盒子3}N=3​

而观察序列 $O$ 和状态序列 $i$ 的长度为都为 3。

初始状态分布为：

$$\Pi =(0.2,0.4,0.4{)}^T$$

状态转移概率分布矩阵 $A$（不可见的，隐含的）为：

$$A={\left[\begin{array}{ccc}0.5& 0.2& 0.3\\ 0.3& 0.5& 0.2\\ 0.2& 0.3& 0.5\end{array}\right]}_{N\times N=3\times 3}$$

行表示第几次抽球（从2开始）；列表示使用第几个盒子的概率

观测状态概率矩阵 $B$（可见的）为：

$$B={\left[\begin{array}{cc}0.5& 0.5\\ 0.4& 0.6\\ 0.7& 0.3\end{array}\right]}_{N\times M=3\times 2}$$

行代表第几个盒子；列1代表红球的概率，列2代表白球的概率

球的颜色的观测序列：

O = { 红 , 白 , 红 } O = \{红, 白, 红\} O={红,白,红}

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按照我们前面的维特比算法，首先需要得到三个隐藏状态在 时刻1 时对应的各自两个局部状态，此时观测状态为 1：

$$\begin{array}{rl}& {\delta }_1(1)={\Pi }_1{b}_1(o_1)=\underset{第一个盒子}{0.2}\times \underset{红球}{0.5}=0.1\\ & {\delta }_1(2)={\Pi }_2{b}_2(o_1)=\underset{第二个盒子}{0.4}\times \underset{红球}{0.4}=0.16\\ & {\delta }_1(3)={\Pi }_3{b}_3(o_1)=\underset{第三个盒子}{0.4}\times \underset{红球}{0.7}=0.16\\ & {\psi }_1(1)={\psi }_1(2)={\psi }_1(3)=0\end{array}$$

${\psi }_1(1)={\psi }_1(2)={\psi }_1(3)=0$ 是因为初始化设定它们为 0

现在开始递推三个隐藏状态在 时刻2 时对应的各自两个局部状态，此时观测状态为 2：

$$\begin{array}{rl}& {\delta }_2(1)=\underset{1\le j\le 3}{\max }[{\delta }_1(j)a_{j1}]b_1(o_2)=\underset{1\le j\le 3}{\max }[\underset{第一种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子1}{0.1}\times \underset{盒子1\to 盒子1}{0.15}}},\underset{第二种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子2}{0.16}\times \underset{盒子2\to 盒子1}{0.3}}},\underset{第三种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子3}{0.28}\times \underset{盒子3\to 盒子1}{0.2}}}]\times \underset{白球}{0.5}=0.028\\ & {\psi }_2(1)=\underset{最大值对应的索引(从1开始)}{3}\\ & {\delta }_2(2)=\underset{1\le j\le 3}{\max }[{\delta }_1(j)a_{j2}]b_2(o_2)=\underset{1\le j\le 3}{\max }[\underset{第一种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子1}{0.1}\times \underset{盒子1\to 盒子2}{0.2}}},\underset{第二种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子2}{0.16}\times \underset{盒子2\to 盒子2}{0.5}}},\underset{第三种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子3}{0.28}\times \underset{盒子3\to 盒子2}{0.3}}}]\times \underset{白球}{0.6}=0.0504\\ & {\psi }_2(2)=\underset{最大值对应的索引(从1开始)}{3}\\ & {\delta }_2(3)=\underset{1\le j\le 3}{\max }[{\delta }_1(j)a_{j3}]b_3(o_2)=\underset{1\le j\le 3}{\max }[\underset{第一种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子1}{0.1}\times \underset{盒子1\to 盒子3}{0.3}}},\underset{第二种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子2}{0.16}\times \underset{盒子2\to 盒子3}{0.2}}},\underset{第三种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子3}{0.28}\times \underset{盒子3\to 盒子3}{0.5}}}]\times \underset{白球}{0.3}=0.042\\ & {\psi }_2(3)=\underset{最大值对应的索引(从1开始)}{3}\end{array}$$

继续递推三个隐藏状态在 时刻3 时对应的各自两个局部状态，此时观测状态为 1：

$$\begin{array}{rl}& {\delta }_3(1)=\underset{1\le j\le 3}{\max }[{\delta }_1(j)a_{j1}]b_1(o_3)=\underset{1\le j\le 3}{\max }[\underset{第一种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子1}{0.028}\times \underset{盒子1\to 盒子1}{0.5}}},\underset{第二种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子2}{0.0504}\times \underset{盒子2\to 盒子1}{0.3}}},\underset{第三种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子3}{0.042}\times \underset{盒子3\to 盒子1}{0.2}}}]\times \underset{红球}{0.5}=0.00756\\ & {\psi }_3(1)=\underset{最大值对应的索引(从1开始)}{2}\\ & {\delta }_3(2)=\underset{1\le j\le 3}{\max }[{\delta }_1(j)a_{j2}]b_2(o_3)=\underset{1\le j\le 3}{\max }[\underset{第一种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子1}{0.028}\times \underset{盒子1\to 盒子2}{0.2}}},\underset{第二种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子2}{0.0504}\times \underset{盒子2\to 盒子2}{0.5}}},\underset{第三种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子3}{0.042}\times \underset{盒子3\to 盒子2}{0.3}}}]\times \underset{红球}{0.4}=0.0504\\ & {\psi }_3(2)=\underset{最大值对应的索引(从1开始)}{2}\\ & {\delta }_3(3)=\underset{1\le j\le 3}{\max }[{\delta }_1(j)a_{j3}]b_3(o_3)=\underset{1\le j\le 3}{\max }[\underset{第一种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子1}{0.028}\times \underset{盒子1\to 盒子3}{0.3}}},\underset{第二种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子2}{0.0504}\times \underset{盒子2\to 盒子3}{0.2}}},\underset{第三种情况}{\underline{\underset{上一次是盒子3}{0.042}\times \underset{盒子3\to 盒子3}{0.5}}}]\times \underset{红球}{0.7}=0.042\\ & {\psi }_3(3)=\underset{最大值对应的索引(从1开始)}{3}\end{array}$$

维特比算法是一种常用的 HMM 解码算法，它基于动态规划来求解最优状态序列。维特比算法定义了两个局部状态 ${\delta }_t(q)$ 和 ${\psi }_t(q)$ 来进行递推。其中，${\delta }_t(q)$ 表示在时刻 $t$ 隐藏状态为 $q$ 的所有可能的状态转移路径中的概率最大值；${\psi }_t(q)$ 表示在时刻 $t$ 隐藏状态为 $q$ 的所有单个状态转移路径中概率最大的转移路径中第 $t-1$ 个节点的隐藏状态。

在上述的例子中，最后一个时刻的最大概率为 ${\delta }_3(3)$，这意味着在时刻 3，隐藏状态为 3 的概率最大。因此，我们可以得到 $q_3^{\ast }=3$，即在时刻 3 最可能的隐藏状态为 3。

接下来，我们可以利用局部状态 ${\psi }_t(i)$ 来回溯得到最优状态序列。由于 ${\psi }_3(3)=3$，所以 $q_2^{\ast }=3$；由于 ${\psi }_2(3)=3$，所以 $q_1^{\ast }=3$。因此，我们得到了最终的最优状态序列为 { 3 , 3 , 3 } \{3, 3, 3\} {3,3,3}。

维特比算法还是借鉴了动态规划的思想

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小结：

• 输入：HMM 模型 $\lambda =(A,B,\prod )$，观测序列 $O=(o_1,o_2,...,o_T)$
• 输出：最有可能的隐藏状态序列 $Q^{\ast }=q_1^{\ast },q_1^{\ast },...,q_T^{\ast }$

流程如下：

步骤一：初始化局部状态

$$\begin{array}{rl}& {\delta }_1(q)={\Pi }_i{b}_i(o_1)i=1,2,...,N\\ & {\psi }_1(q)=0i=1,2,...,N\end{array}$$

步骤二：进行动态规划递推时刻 $t=2,3,...,T$ 的局部状态

$$\begin{array}{rlr}& {\delta }_t(q)=\underset{1\le j\le N}{\max }[{\delta }_{t-1}(j)a_{ji}]b_i(o_t)& i=1,2,...,N\\ & {\psi }_t(i)=\underset{1\le j\le N}{\mathrm{argmax}}[{\delta }_{t-1}(j)a_{ji}]& i=1,2,...,N\end{array}$$

步骤三：计算时刻 $T$ 最大的 ${\delta }_T(i)$，即为最可能隐藏状态序列出现的概率。计算时刻 $T$ 最大的 ${\psi }_t(q)$，即为时刻 $T$ 最可能的隐藏状态。

$$\begin{array}{rl}& P^{\ast }=\underset{1\le j\le N}{\max }{\delta }_T(i)\\ & q_T^{\ast }=\underset{1\le j\le N}{\mathrm{argmax}}[{\delta }_T(q)]\end{array}$$

步骤四：利用局部状态 ${\psi }_t(i)$ 开始回溯。对于 $t=T-1,T-2,...,1$：

$$q_t^{\ast }={\psi }_{t+1}(q_{t+1}^{\ast })$$

最终得到最有可能的隐藏状态序列 $Q^{\ast }=q_1^{\ast },q_2^{\ast },...,q_T^{\ast }$。

其中：

• $A$：状态转移矩阵，其中 $a_{ij}$ 表示从隐藏状态 $i$ 转移到隐藏状态 $j$ 的概率。
• $B$：观测概率矩阵，其中 $b_j(k)$ 表示在隐藏状态 $j$ 下观测到符号 $k$ 的概率。
• $\Pi$：初始状态概率向量，其中 ${\pi }_i$ 表示初始时刻隐藏状态为 $i$ 的概率。
• $O$：观测序列，其中 $o_t$ 表示时刻 $t$ 的观测值。
• $\lambda$：HMM 模型参数，包括状态转移矩阵 $A$、观测概率矩阵 $B$ 和初始状态概率向量 $\Pi$。
• ${\delta }_t(q)$：在时刻 $t$ 隐藏状态为 $q$ 的所有可能的状态转移路径中的概率最大值。
• ${\psi }_t(q)$：在时刻 $t$ 隐藏状态为 $q$ 的所有单个状态转移路径中概率最大的转移路径中第 $t-1$ 个节点的隐藏状态。

6. 鲍姆-韦尔奇算法简介

学习目标：

• 了解鲍姆-韦尔奇算法

6.1 问题引入

模型参数学习问题 ―― 鲍姆-韦尔奇（Baum-Welch）算法（状态未知），即给定观测序列 O = { o 1 , o 2 , . . . , o T } O = \{o_1,o_2,..., o_T\} O={o1​,o2​,...,oT​}，估计模型 $\lambda =(A,B,\Pi )$ 的参数，使该模型下观测序列的条件概率 $P(O|A)$ 最大。

它的解法最常用的是鲍姆-韦尔奇算法，其实就是基于 EM 算法的求解，只不过鲍姆-韦尔奇算法出现的时代，EM 算法还没有被抽象出来，所以被叫为鲍姆-韦尔奇算法。

6.2 鲍姆-韦尔奇算法原理

鲍姆-韦尔奇算法原理既然使用的就是 EM 算法的原理，那么我们需要在 E 步求出联合分布 $P(O,I|\lambda )$ 基于条件概率 $P(I|O,\overline{\lambda })$ 的期望，其中 $\overline{\lambda }$ 为当前的模型参数；然后在 M 步最大化这个期望，得到更新的模型参数 $\lambda$。

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首先来看看 E 步，当前模型参数为 $\overline{\lambda }$，联合分布 $P(O,I|\lambda )$ 基于条件概率P $(I|O,\overline{\lambda })$ 的期望表达式为：

$$L(\lambda ,\overline{\lambda })=\sum _{I}P(I|O,\overline{\lambda })\log P(O,I|\lambda )$$

在 M 步，我们极大化上式，然后得到更新后的模型参数如下：

$$\overline{\lambda }=\underset{\lambda }{\mathrm{argmax}}\sum _{I}P(I|O,\overline{\lambda })\log P(O,I|\lambda )$$

通过 E 步和 M 步的迭代，直到 $\overline{\lambda }$ 收敛。

7. HMM 模型 API 介绍

学习目标：

• 指导 HMM 模型 API 使用方法

7.1 API 的安装

官网链接：https://hmmlearn.readthedocs.io/en/latest/

pip install hmmlearn==0.2.5

7.2 hmmlearn介绍

hmmlearn 实现了三种 HMM 模型类，按照观测状态是连续状态还是离散状态，可以分为两类。

• GaussianHMM 和 GMMHMM 是连续观测状态的 HMM 模型
• MultinomialHMM 是离散观测状态的模型，也是我们在 HMM 原理系列篇里面使用的模型

• GaussianHMM：高斯隐马尔可夫模型（Gaussian Hidden Markov Model）
• GMMHMM：混合高斯隐马尔可夫模型（Gaussian Mixture Hidden Markov Model）
• MultinomialHMM：多项式隐马尔可夫模型（Multinomial Hidden Markov Model）

在这里主要介绍我们前面一直讲的关于离散状态的 MultinomialHMM 模型。对于 MultinomialHMM 的模型，使用比较简单。

from hmmlearn import hmm


model = hmm.MultinomialHMM (n_components=1, startprob_prior=1.0,
                            algorithm='viterbi', random_state=None,
                            n_iter=10, tol=0.01, verbose=False,
                            params='ste', init_params='ste')

• 作用：hmm.MultinomialHMM() 是 hmmlearn 库中的一个类，它用于创建一个具有多项式（离散）发射的隐马尔可夫模型。
• 参数：
  • n_components：（int）隐含状态个数
  • n_iter：（int, optional ）训练时循环（迭代）最大次数
  • tol：（float, optional ）收敛阈值。如果对数似然的增益低于此值，则 EM 将停止。
  • verbose：（bool, optional )赋值为 True 时，会向标准输出输出每次迭代的概率（score）与本次
  • init_params：（string, optional ）决定哪些参数会在训练时被初始化。
    • ‘s’表示 startprob：参数对应我们的隐藏状态初始分布 $\Pi$
    • ‘t’表示 transmat：对应我们的状态转移矩阵 $A$
    • ‘e’表示 emissionprob：对应我们的观测状态概率矩阵 $B$
    • 空字符串 “” 代表全部使用用户提供的参数进行训练
• 方法：
  • fit()
  • decode()
  • score()
  • 等

7.3 MultinomialHMM 实例

下面我们用我们在前面讲的关于球的那个例子使用 MultinomialHMM 跑一遍。

import numpy as np
from hmmlearn import hmm

# 设定隐藏状态的集合 
states = ["box 1", "box 2", "box 3"]
n_states = len(states)

# 设定观察状态的集合
observations = ["red", "white"]
n_observations = len(observations)

# 设定初始状态分布
start_probability = np.array([0.2, 0.4, 0.4])

# 设定状态转移概率分布矩阵
transition_probability = np.array([[0.5, 0.2, 0.3],
                                   [0.3, 0.5, 0.2],
                                   [0.2, 0.3, 0.5]])

# 设定观测状态概率矩阵
emission_probability = np.array([[0.5, 0.5],
                                 [0.4, 0.6],
                                 [0.7, 0.3]])

# 定义模型
model = hmm.MultinomialHMM(n_components=n_states)

# 设定模型参数
model.startprob_ = start_probability  # 初始化状态分布
model.transmat_ = transition_probability  # 初始化状态转移概率分布矩阵
model.emissionprob_ = emission_probability  # 初始化观测状态概率矩阵

现在我们来跑一跑 HMM 问题三：维特比算法的解码过程，使用和之前一样的观测序列来解码，代码如下：

seen = np.array([[0, 1, 0]]).T  # 设定观测序列（红白红）

# 维特比模型训练
box = model.predict(seen)

print("球的观测顺序为：", ' → '.join(map(lambda x: observations[x], seen.flatten())))
# 注意：需要使用flatten方法，把seen从二维变成一维
print("最可能的隐藏状态序列为：", ' → '.join(map(lambda x: states[x], box)))

使用 map 函数将 seen 中数组的元素 对应 observations 中的元素
使用 map 函数将 box 中数组的元素 对应 states 中的元素

球的观测顺序为： red → white → red
最可能的隐藏状态序列为： box 3 → box 2 → box 2

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我们再来看看求 HMM 问题一的观测序列的概率的问题，代码如下：

prob = model.score(seen)

print(f"观测序列出现的概率为：{prob}")

观测序列出现的概率为：-2.038545309915233

要注意的是 score 函数返回的是以自然对数为底的对数概率值，我们在 HMM 问题一中手动计算的结果是未取对数的原始概率是 0.13022。对比一下：

import math

prob_true = math.exp(prob)
print(f"观测序列出现的概率为：{prob_true * 100:.3f}%")

观测序列出现的概率为：13.022%