快速幂应用之剪绳子问题

news2024/11/24 2:20:13

有这样一类问题，给你一个长度为n的绳子，要求你可以剪切任意次数，分为任意段，使得这些子段长度的乘积最大。我们把这类问题暂时先称为剪绳子，这种问题的解法也很简单，通过数学证明可以得出，我们优先剪长度为3的子段，假设剪了x个3后，剩余的长度小于3时，有以下三种情况：

情况一：剩余长度为0，则此时最优，答案为3的x次方。

情况二：剩余长度为1，此时我们应该少剪一个3，即剪切x-1个3，剩余长度为4，此时结果最优，答案为3的x-1次方乘以4。

情况三：剩余长度为2，此时也是最优，答案为3的x次方乘以2。

因此很容易写出代码，这个问题就可以提交了，代码如下

#include <iostream>
using namespace std;
long long M = 1000000007;

int main() {
    long long n;
    cin >> n;
    // x表示的是n分解出来的3的个数
    long long x = n / 3;
    int y = n % 3;  // y表示的是分为x个3后的余数
    /*
     * 如果y=0，则说明刚好分为x个3
     * 如果y=1，则需要调整一下，拿出一个3，和1加起来是4，这样分为x-1个3和1个4是最优解
     * 如果y=2，则x个3和1个2刚好是最优解
     * */
    if (y == 1) {
        y = 4;
        x--;  // 拿出之前分解的一个3，和剩余的一个1组合在一起，这样结果最优
    }
    long long ans = y;
    if (ans == 0) ans = 1;   // 这里防止y=0的情况，如果y为0，则需要将ans置1，因为后面都是乘法运算
    for (int i = 0; i < x; i++) {
        ans *= 3;  // 暴力解决
        if (ans >= M) ans %= M;
    }
    return 0;
}

但是此时又有一个问题，如果给的n特别大，比如，n<=10^18，那么如果用暴力的循环x次求解，则一定会超时，所以此时需要借助快速幂思想来求解。

思考一下，现在想计算a^b，如何求解，可以第一时间想到库函数，比如c++中，可以通过pow(a, b）计算，但是b特别大，比如b=10^17，此时pow函数肯定会越界，一般对于这种大数量级的幂运算，很容易越界，所以题目会要求你对某个数取余，最常见的是对M=10^9+7取余。所以需要在运算过程中动态对M取余，快速幂的思想是，每次将底数a更新为a*a，指数b减半，过程如下：

第一步： $a^{b}=(a^{2})^{\frac{b}{2}}$

第二步：我们需要将 $a^{2}$ 看成一个整体 $a_{1}$ ，把 $\frac{b}{2}$ 看成一个整体 $b_{1}$ ，继续运用第一步的思想可以得到： $(a^{2})^{\frac{b}{2}}=(a_{1})^{b_{1}}=(a_{1}^{2})^{\frac{b_{1}}{2}}$

依照上面的步骤，指数每次折半，底数每次变为平方，时间复杂度为logn。

上面有个问题，如果指数为奇数，怎么办？在c++中，比如指数b=7，那么7/2=3，会丢掉一个底数，所以分情况，如果指数为奇数，那么 $a^{b}=a*(a^{2})^{\frac{b}{2}}$ ，如果为偶数，则 $a^{b}=(a^{2})^{\frac{b}{2}}$

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
long long M = 1000000007;

int main() {
    long long n;
    cin >> n;
    // x表示的是n分解出来的3的个数
    long long x = n / 3;
    int y = n % 3;  // y表示的是分为x个3后的余数
    /*
     * 如果y=0，则说明刚好分为x个3
     * 如果y=1，则需要调整一下，拿出一个3，和1加起来是4，这样分为x-1个3和1个4是最优解
     * 如果y=2，则x个3和1个2刚好是最优解
     * */
    if (y == 1) {
        y = 4;
        x--;  // 拿出之前分解的一个3，和剩余的一个1组合在一起，这样结果最优
    }
    long long ans = y;
    if (ans == 0) ans = 1;   // 这里防止y=0的情况，如果y为0，则需要将ans置1，因为后面都是乘法运算
    
    // 通过快速幂解决超时问题
    long long tmp = 3;  // tmp为上面说的底数，每次循环都会更新为自己的平方，因此tmp的值变化依次为：3,9,27,81，....
    // 在整个过程中，用到快速幂解决超市
    // tmp为底，底会指数增大，x为幂，会指数减少
    while(x > 0) {
        // 对于奇数次幂，如果要多于的底数先与结果ans做运算
        // 注意一个点：对于任何指数b>=2的数字，每次除以2，最终b一定会等于1，那么此时，指数为奇数，会进入if分支，将底数乘给最终结果ans；
        if(x % 2 == 1) {
            ans *= tmp;
            ans %= M;
        }
        x /= 2;
        tmp *= tmp;
        tmp %= M;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

我们拿一个case走一下代码，看看中间过程值分别是多少，比如3^7，此时tmp=3，x=7；

进入代码我们看每次循环的各个变量的值

循环前：x=7，ans=1，tmp=3
第1次循环后：x=3，ans=ans*tmp=3= $3^{1}$ ，tmp=tmp*tmp=9= $3^{3}$

第2次循环后：x=1，ans=ans*tmp=27= $3^{3}$ ，tmp=tmp*tmp=81= $3^{4}$

第3次循环后：x=0，ans=ans*tmp=2187= $3^{7}$ ，tmp=tmp*tmp=6561= $3^{8}$

循环结束，输出ans=2187