我们在之前的学习里面已经发现了，搜索二叉树是有一些问题的。它可能会存在单边树的问题，如果你插入的值是有序的话，就会导致这个问题。 那我们肯定是要来解决一下的，如何解决呢？
》一种解决方案是AVL树，还有另一种解决方案是红黑树。我们先把AVL树讲了：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。它尽可能的去保证平衡，但是平衡呢，不是说相等，而是高度差不超过1。并且它不仅仅是针对整棵树，而是针对每一颗子树。
》一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
·它的左右子树都是AVL树
·左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
》也就是任何一颗子树的高度差都不超过1。大家看，他这个地方确定的一个点是什么呢？高度差不超过1，不是相等，按道理，平衡平衡不应该是相等吗？但是无法做到相等，因为插入节点的个数是无法确定的，只能退而求其次，左右高度差不超过1。
》我们不实现Key 的结构了，直接实现KV结构。我们定义一个AVLTreeNode结构体，将树的节点结构体定义出来，它里面有pair<K, V> _kv，还有左右指针，AVLTreeNode*_left，AVLTreeNode* _right，因为我们后面要进行回溯，所以，还得有一个父指针，AVLTreeeNode* _parent；除此之外，还得有一个平衡因子 int _bf，它使用来干嘛的呢？它_bf = 右子树 - 左子树的高度差。
》我们再继续往下面看，大家来看看增加的平衡因子成员变量，整体是一个什么样子呢？比如说，我的一棵树建好了，我根据我的平衡因子，每一颗子树的右子树高度-左子树高度 = _bf，若bf= -1那么左子树高1，bf = 1右子树高1。但是平衡因子并不是必须的，即AVL树并没有规定必须要设计平衡因子，这只是一个实现的选择，方便控制平衡。
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
// 右子树-左子树的高度差
int _bf; // balance factor
// AVL树并没有规定必须要设计平衡因子
// 只是一个实现的选择，方便控制平衡
};
》我们再来定义class AVLTree类，其中我们对AVLTreeNode节点进行typedef，typedef AVLTreeNode<K, V> Node；然后自然就要定义一个根节点成员变量Node* _root = nullptr；到目前为止，这棵树AVLTree啥都没有，只有一个根。
template class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
private:
Node* _root；
}
》我们现在是不是先来完成插入工作呀了，bool insert(const pair<K, V>& kv)；其实大思路是分两步，1.按照搜索树的规则插入。搜索树规则默认是，大的插在右边，小的插在左边；2.看是否违反平衡规则，如果违反就要处理：旋转。所以，从大逻辑来说，AVL树有没有什么很难的呢？其实并没有，只是在搜索树的规则上引入了平衡规则。
》先不管其他的，先把insert()写好吧。首先判断根_root是否为空，为空的话，就new一个Node节点出来。然后如果不为空的时候怎么走？是不是比根大就向右走，比根小就向左走呀。在这里可以用递归，也可以用循环，我们就用循环吧。用循环的话，我们得有父节点。我们进行比较的话，得那就得定义一个Node* cur来和插入的值进行比较，并根据cur来判断结束条件。while(cur)，当然是一直走到空的位置才进行插入我们的新值，否则就是一路比较下来，newnode大的话向右走，小的话向左走，也就是更新cur，但是都要先将我们的cur赋值给我们parent，然后再更新cur自己。当走到空了，cur = new Node(kv)；那就再判断是插入左边还是插入右边，插入完之后，也不要忘了更新父节点。至此，我们insert()插入的基本逻辑已经完成了。
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
// 1、搜索树的规则插入
// 2、看是否违反平衡规则，如果违反就需要处理：旋转
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_bf = 0;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
}
》然后将我们的AVLTreeNode的构造函数补充一下：
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
{}
一个节点的平衡因子默认一开始是0，一个节点的平衡因子受谁的影响呢？是不是受其孩子的影响呀。大家想想，我们插入一个节点之后，是会影响谁的平衡因子呢？是不是会影响我们父亲、爷爷以及更靠上层的跟节点呀，所以要想清楚，它会影响好多节点的平衡因子。
》我们插入了一个节点之后，我么你就考虑平衡的问题了。如果是你，你会如何进行平衡呢？平衡因子的绝对值不超过1，是不是就不需要平衡，如果超过了，我们才会去解决，平衡因子又是由我们的左右子树的高度差来决定的。我们新插入的值会影响它的祖先的平衡因子，其他的节点是不会受到影响的。
》既然我们插入了一个节点，我们下面就要继续做几步了。1.更新新插入节点的祖先的平衡因子。因为只有是我的祖先才会受我的影响。2.没有违反规则就结束了，违反规则，不平衡就要旋转处理。那我们如何更新祖先呢的平衡因子呢？
》是不是我们可以用我们的三叉链来回溯呀！所以，为什么要设计三叉链呀，是有原因的。我们继续分析，更新平衡因子，难道祖先的平衡因子一定是 +1吗？
当在此情况在9节点的右边插入一个新节点的时候，9节点的bf是不是+1，bf = 1，8这个节点是不是也要+1，bf = 2；还要不要继续向上更新？不需要了，因为已经违反规则了，需要处理完才能判断是否需要继续向上更新。新增节点的平衡因子必然是0，这不用说，但是在如下情况呢？
9节点的bf是要-1的，bf = -1，但是8节点的bf继续是+1，bf = 2；所以，通过这个可以看到，如果插入在右边，父亲的平衡因子会+1，但是插入在左边，父亲平衡因子会-1，但是8节点的平衡因子依然是+1，因为我新插入的节点相当于插入在8节点的右边，那么是不是相当于8的右树变高了，所以要+1；
》所以沿着祖先路径更新，如果if(cur == parent->right) 那么父节点的平衡因子_bf++，否则就是插入在左边吧，那平衡因子就是_bf–；
》还有一种情况，新节点插入在8节点的左边：
那么8节点的平衡因子就要-1，bf = 0，还需要向上更新吗？是不是说一定要更新到根呢？前面的情况，我们是能够理解，因为已经不平衡了，所以肯定要处理。但是在这里，对于7的平衡因子并不会有什么影响呀，那怎么办？怎么分析呢？一定是一次就不用更新了吗？不一定只更新一次呀，极端情况下是会更新很久的，比如给你一个这种情况：
因为新节点是插入9节点左边，所以bf-1，bf=-1，然后因为9节点是在8节点的右边，所以，bf+1，bf=1，还需要更新的，因为8节点是7节点的右边，所以7节点的bf+1，bf=1；因为7节点是5节点的右边所以bf+1，bf=1，直到更新到根了，在往上没得要跟新了，所以，不一定只更新一次。
》大家想一想，什么情况要继续往上更新呢？是不是子树的高度变了，就要往上更新了呀！子树的高度变了，就要继续往上更新，子树的高度不变则更新完成，子树违反平衡规则，则停止更新，旋转子树！
》首先，我们新增一个节点，它的父节点9是一定要更新平衡因子的，因为对我父节点来说，我新增了一个节点，我的子树必然发生变化，所以第一次是一定更新的。
》如果父亲节点9更新之后的平衡因子是1代表的是什么？即parent->_bf = 1，那么parent所在的子树的高度变不变呢？会变的！那么就要继续更新，说明原来是0，现在右边变高了，bf+1了，所以bf =1了，你在这里更新平衡因子无非就是++和–，我现在变成1，只有一种情况，就是我右边子树的高度变了，所以，我的平衡因子变为1，但是我原来的平衡因子是0 ，现在变1，说明右树变高了，所以高度变了，那么就要继续向上更新，如何更新呢？就是将cur->parent赋值给cur，即cur = cur->parent；紧接着parent也要变为parent的parent，即parent = parent->parent；cur9节点现在是parent8节点的右边，相当于原来右边的高度增加了1，parent的bf是右子树-左子树，那么bf是要+1，现在变成了2，如果变成了2说明什么呢？那么就要停止向上更新了，要进行处理了，这里的处理就会我们待会儿要讲的旋转。
》我们再来看一个：
我新增在你9节点的左边，你的bf肯定要变呀且要-1，那么此时9节点的平衡因子变为-1说明什么呢？那么parent9节点所在子树的高度变没变？变了，我原先是0，现在-1，变为bf = -1了，也就说明我的左边变高了，那么整体的高度会不会受影响呢？是会的！因为原来9节点的两边子树左右相等，现在左边变高了，那么继续向上更新， 8节点的bf变为2了。
》再来一个：
此时我在8节点的左边插入一个节点，此时8节点的平衡因子变为0，要不要向上更新呢？不用！因为高度不变，为什么呢？说明原来是1，现在变成0，之前一边高一边低，现在插入节点，只有一种情况，就是填上了矮的那一边，那么我的子树高度不变，会不会对上层有影响呢？是不会的！因为我8节点还没插入的时候，子树的高度就是1，右高左低，现在插入了，左边高了1，但是子树的高度并没有变，对上层没有影响，所以只需要更新一下8节点这么一个平衡因子。
》所以，要不要更新，取决于你的子树高度变不变。
搜索树要控制平衡，引入了平衡因子，那么我们就需要关注有没有平衡因子异常，如果异常就出问题了，没有异常就不用关心了。第二个，你插入一个节点要关注谁？你只会影响你的祖先的平衡因子，为什么呢？因为一个节点的平衡因子是由谁影响的呢？就是自己的子树！那么，我插入一个节点就会往上影响，所以，我们要做好最坏的打算一路更新到根，那么我们下面来更新一下平衡因子：
》更新到根的特征是什么呢？那就是父节点为nullptr空，即while(parent)。我新增的一个节点是在你右边，那父亲节点的平衡因子bf+1，即cur == parent->right，那么parent->_bf++，否则是不是就是parent->_bf–；接下来就是，是否需要继续向上更新的问题了，那就要看父亲的平衡因子了，如果父亲的子树高度变了就要更新，不变的话更新就完成了，如果高度违反了，就要停止更新，然后进行旋转处理。
》那么我们怎么分辨这几种情况来判断是否需要继续向上更新呢？父亲的平衡因子只可能有这么几种情况，0、1、-1、2、-2，不可能有其他情况，因为平衡因子是++或者–，插入之前就是AVL树就只有0、-1、1这三种情况，所以不可能超过2。
》所以，如果parent->bf = =0，那么就不用更新了，直接break；为什么停止更新呢？因为我们分析过了，因为如果是0了之后的话，我bf只可能是++或–了一下，那就说明插入节点。把你子树低的那一边填上去了。
》如果插入之后变成了parent->_bf = =1 || parent->_bf = =-1，说明什么呢？那是不是就是说明插入节点导致一边变高了，也就是子树的高度拜年了，要继续更新祖先。就要重新赋值cur和parent，即cur = cur->parent；parent = parent->parent；
》还有另外一种情况，就是平衡因子变成了2或者-2，即parent->_bf = =2 || parenrt->_bf = =-2，说明什么呢？你一定是由1或者-1变过来的。这是不是导致高的一边又变高了，导致子树不平衡----需要旋转处理。
》没有其他情况了，出现了就是插入之前的AVL就存在不平衡。
while (parent) // 最远要更新根
{
if (cur == parent->_right)
{
parent->_bf++;
}
else
{
parent->_bf--;
}
// 是否继续更新？
if (parent->_bf == 0) // 1 or -1 -》 0 插入节点填上矮的那边
{
// 高度不变，更新结束
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
// 0 -》 1 或 -1 插入节点导致一边变高了
{
// 子树的高度变了，继续更新祖先
cur = cur->_parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
// -1 or 1 -》 2 或 -2 插入节点导致本来高一边又变高了
{
// 子树不平衡 -- 需要旋转处理
// ...
}
else
{
// 插入之前AVL就存在不平衡子树，|平衡因子| >= 2的节点
assert(false);
}
}
现在只剩下一种情况，就是需要旋转，我们没有处理，我们先拿一种简单情况来说。
插入红色节点之后，父节点的bf会变成1，那么继续往上更新，继续会变成1，再继续往上走，bf变成2，此时就需要进行旋转处理。反正总之这是属于，右边高—左旋转。旋转的原则，1.保持搜索的规则；2.子树变平衡。
》我们来看看下面的分析：我们下图是代表所有情况的抽象图，长方形条表示的是子树，a、b、c子树有无数种情况，所以，我们就抽象表示，当然可以画几个具体的情况来看看。
当h=0的时候，然后就要进行更新bf了，这也是属于最简单的情况。
当h=1的时候，也会出现不平衡需要旋转了。
当h=2的时候就复杂了，因为高为2的子树有挺多种情况的。那么a、b、c子树就是那几种情况之一，那是是不是a、b、c就要任意组合。比如我们随便组合一个。
如果我们在C子树任意位置插入一个新节点，最后都会引发旋转。但是能够确定的是，C子树一定是Z这颗子树，否则当C子树插入新节点的时候，它C子树本身就要发生旋转了。其他a、b子树可以是x、y、z中的任意一种。
》如果h=3，那么情况就更复杂了，子树的组合就更多了。所以，我们就能抽象成长方条表示子树去替代。但是无论哪种情况都不需要担心，我们用同样的方法都可以将他们旋转出来，你右边高了，往左边压一压。
》无论你是多少种情况，都是一样的处理，怎么一样的处理呢？你右边不是太高了，我就要往左边旋转。我将b子树交给30这个节点，让30变成60节点的左边，这样你就均衡了，因为无论你子树的高度是多少，都是一样的处理。这个是右边高，左单旋：**b子树变成30的右子树，30变成60的左子树！*它这块做是有原则的。
它是要保证旋转的原则，1.保持搜索树的规则；2.子树平衡。首先我们b子树去做30节点的右子树有没有违反搜索树的规则呢？没有，因为b这颗树的节点一定是比60节点小，但是一定比30节点大，所以30. < b < 60，那么b去做30的右子树有没有毛病呢？是没有违反搜索的规则。那么30去做60的左子树好像也是可以的，30节点比60小，做60节点的左子树肯定是没问题呀，b子树又比30大，做30的右子树也没问题，b子树也比60节点要小，所以逗逼60节点小，那么就没有问题了！经过旋转旋转之后，就达到了平衡的效果。它这种旋转设计的很好，不需要考虑下面子树的情况，将他们作为一个整体来处理刚刚好。
》我们将这个代码写一下：我们来标记几个位置，30节点，我们标记为parent、60节点标记成subR（相当于市30节点的右孩子），b子树我们标记成subRL（b子树是subR的左子树，所以叫做subRL）
》首先，subR = parent->_right；subRL = subR->_left；我们刚刚讲了，parent的右子树要指向b子树，即parent->_right = subRL；parent要变成subR的左孩子，即subR->_left = parent；旋转之后，指针还是指向原来的节点，你只是改变了他们之间的关系哈，也就变成了如下：
但是并不是这么简单，你是三叉链呀！你单单改变左右孩子是不够的，你还得更新他们父指针。所以subRL->_parnet = parnet；但是你这就掉陷阱了，因为subRL可能为nullptr空，所以你得提前先判断一下。subR->_parent = parent->_parent；parent->parent = subR；
》但是还是不够，因为parent你能确定它一定是root根吗？1.parent有可能是树的根；2.parent只是整棵树的局部子树，你旋转之后，parent的parent还是指向原来的，是不是就破坏了树的结构了呀。所以还有可能存在太上皇的存在，所以要判断一下parent是否为_root根，if(_root == parent)如果为根的话，那么就要更新一下_root，_root = subR，然后跟节点的parent指针本就是固定指向nullptr空的，_root = nullptr； 如果不为根的话，那么parent的parent的指针要指向subR，但是这里还有一种情况，我parent到底是左孩子还是右孩子呢，是不是又要判断一下，Node ppNode = parnet->_parnet；if(ppNode->_left = = parnet)，ppNode->left = subR；else ppNode->right = subR；然后subR的parent是不是也要变成ppNode呀，即subR->parent = ppNode；
》下面就是要更新平衡因子了，我们发现parent的平衡因子一定是0，因为parent的左边是h，右边也是h，所以，parent->_bf = 0；60节点的平衡因子也是0，因为左边是h+1，右边同样是h+1，所以subR->_bf = 0；subRL我们没有动它的子树，所以它的平衡因子是不用更新的。
void RotateL(Node *parent)
{
Node *subR = parent->_right;
Node *subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
Node *ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == ppNode->_left)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
//更新平衡因子
parent->_bf = subR->_bf = 0；
}
我们上面的RotateL()左单旋是什么情况才会要进行的呢？是不是当if(parent->_bf == 2 && cur->_bf = =1)的时候是需要我们进行左单旋呀，那么此时就是一个右边高，要进行左单旋呀----就是由平衡因子bf推出的嘛。
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
// -1 or 1 -》 2 或 -2 插入节点导致本来高一边又变高了
{
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) // 左单旋
{
RotateL(parent);
}
break；
}
》那么旋转完了之后要不继续向上更新呢？不需要了，因为插入节点之前，如果你是根就不需要动了，如果你不是_root根，那么在插入节点之前，那么ppNode的子树的高度为h+2（右子树，h为60节点的子树高度，然后2分别是parent、60节点这两个，所以ppNode的右子树高度为h+2），然后插入一个新节点后，ppNode右子树的高度就变成h+3了，然后我们要进行旋转，旋转之后，ppNode的右子树高度又变成了h+2！所以，我们旋转保持左右平衡的同时，也保证了树的高度不会发生变化，也就ppNode的子树的高度没有变化，那么旋转之后也不会对上层有影响，所以也就不需要向上更新了，那么就break跳出更新循环。
那如果现在是左边高了呢？
在a这个子树插入新节点，那么30节点的bf边成了-1，那么继而也会影响到60这个节点的bf变成了-2，这就是一个纯粹的左边高，那要干嘛？要进行右旋！我们可以画一个具象图来感受一下。
》当h1的时候
我们现在在a子树的左边或者右边插入都是无所谓的，都是会引发父节点30变成-1，60变成-2；
》当h2的时候呢：h为2的话，子树是有3种情况的
但是我们一定能够确定a这颗子树一定是Z这颗子树，不然a子树插入新节点的时候，那么它a子树本身就要发生旋转了。其他b、c子树可以是x、y、z中的任意一种。
》在a子树的两个节点的任意位置插入都会引发az这个节点的bf变成-1，那么继而导致60节点变成-2进行旋转。也就是在a子树的2个叶子结点下面，任意孩子位置插入都会引发右单旋转，组合起来有36种情况。（两个叶子结点插入有4种，然后b、c可以是x、y、z中的任意一种，组合就是36种情况。）所以，我们想表达的就是太复杂了，具象的情况太情况了，所以，我们采取抽象图来解决。
》右单旋又是怎么样变的呢？b变成60的左边，60变成30的右边，30变成这个子树的根。同样这样旋转之后也遵循搜索树的规则。
》那么我们来标记一下各个节点的名称，60节点为parent，30节点为subL，b子树为subLR。
我们现在来进行编写RotateR()函数了：始终要记住旋转原则，1.保持搜索树；2.左右相对平衡。
》我们先来把subL、subLR定义出来，Node* subL = parent->_left；Node* subLR = subL->_right；然后我们来更新一下几个节点自身的关系，parent->_left = subLR；subLR->_parent = parent；subLR不能这么更新，因为你要考虑到它可能是nullptr空的情况，因为子树的高度h可能是0，但是subL和parnet都不可能为nullptr空，否则他们的平衡因子都不可能到-1、-2，所以，subLR要提前判断一下if(sunLR)； subL->_right = parent；parent->_parent = subL；
》现在就剩下一个问题了，60如果原来是整棵树_root根的话，那么30就要变成整棵树新的_root根；如果60不是的话，那么他就是局部的子树，就要考虑到ppNode的问题。所以，我们在parent的_parent还没被修改之前，我们可以先保存ppNode指针，即Node* ppNode = parent->_parent；所以我们来判断是不是根的情况，if(parent == _root)那么30节点就是新的根了，_root = subL；_root->_parent = nullptr；如果parent不是根，那么就要改变ppNode的指针关系，同时也先要进行判断parent是ppNode的左子树还是右子树，所以，if(ppNode->_left = = parent)ppNode->_left = subL；否则，ppNode->_right = subL；然后再更新一下subL的_parent父指针，subl->_parent = ppNode；
》接着就树要更新平衡因子了。谁的平衡因子bf需要更新呢？只有subL和parent，因为只动了它们两个，并且他们的平衡因子bf都变成了0，subL->_bf = parent->_bf = 0；同上面左单旋的一样，ppNode的子树高度没有发生变化，也就不需要再向上更新平衡因子了。
》那么什么情况下要进行右旋呢？一定是（parent->_bf = =-2 && cur->_bf = = 1）情况下，也就是单纯的左边高。旋转后相比之前，树的高度不变，那么我们就不必向上更新平衡因子了，就break；
》两种旋转就都讲了，还有两种旋转，我们马上就开始。
我们上面的两种情况是一种比较基础简单的情况，如果在一些比较复杂的情况，有时候插入的时候就会出现一些怪异的情况，比如说，我们按8、6、7插入，就会呈现这样的情况：
如果你此时还是按照单旋的方式去旋转，你会发现旋转出来会有问题：
旋转之后并不平衡，所以不能用我们的单旋去处理。这种情况不是单纯的左边高，对于8而言是左边高，对于6而言是右边高，所以他这里的高度差是一个折线，我们前面的两种情况的高度差是一条直线。
》我们要换成另外的一种抽象图，变得比之前的抽象图还要复杂一点点：
这里是抽象图，我们用具象图来分析一下：
》当h=0时：b、c都不存在，我们在60节点的左右插入都会引发90节点的旋转
当h=1时：b、c子树不存在，我们在新增的时候，是在b或者c的位置进行新增，引发旋转
我们再来摸一下更复杂的第三种情况，h=2的时候：
》那么a、d可能是x、y、z这三种里面的任意一种，无论你是b的子树，或者c子树插入，都会引发旋转。
所以有可能是在b子树或者c子树插入新增节点，都会不断更新平衡因子bf到90节点而引发旋转。
》再往下h=3、h=4…只会更加复杂。这里真正的问题是，无论h是多少，单纯的单旋已经是解决不了问题了。那我们如何来解决问题呢？这里是用到双旋转来解决这块的问题。
》它先以30节点为轴进行旋转，先对30进行左单旋，怎么旋转呢？将你60节点的左子树变成我30节点的右子树，然后30节点变成60节点的左边，60顶替30原来的位置。
大家观察下，经过以30为旋转点进行左单旋后，你发现了什么呢？ 这是不是变成纯粹的左边高了呀！是不是和我们上面的一个抽象图似曾相识呀。
它们不完全一样，但是非常的像。我们现在要进行对90右单旋了。我们为什么要对30进行单旋呢？因为90是左边高，30是右边高，你30右边高，那么我对你来一个做单旋，是不是将你90节点这颗树变成纯粹的左边高呀，90节点和30节点都是左边高，我们是不是就可以进行右单旋了呀。
》我们对90进行右单旋了，让60节点的c子树变成90节点的左子树，90节点变成60节点的右子树，素以相当于90为旋转点进行右单旋，所以这就是一个左右双旋。
旋转完成之后，大家再来看看这颗树的高度变成什么样子了呢？旋转完成之后，我们是不是要单独来更新平衡因子bf呀，这可不简单了，因为30、60、90你都动了。
》60节点的平衡因子是多少呢？是0；30的bf呢？是0；90的平衡因子是多少？是1。在一开始，有一边是急剧的高，90的左边高很多，现在双旋之后便使得两边均衡很多了。
》刚刚是在b子树插入新节点，现在在c子树插入新节点其实差不多。还是一样对30进行左单旋， 让60对左子树变成30的右子树，30节点变成60节点的左子树，现在没必要更新平衡因子，等全部的旋转结束之后我们再更新也不晚。我们再以90节点来进行右单旋，将60节点的c子树给90的左子树，然后90节点变成60节点的右子树。如下图所示：
不管你的新节点是在b子树新增的，还是在c子树新增，60节点的平衡因子bf始终是0；30和90呢？因为你在b子树或者c子树插入新节点，所以，它们的平衡因子就不能确定了。为什么呢？因为，们如果新节点是在b插入，那么b这颗树的高度就是h ，a这颗树的高度也是h，所以b-a=0，那么30节点的平衡因子就是0；但是你如果没有在30的子树插入新节点的话，那么30节点的平衡因子bf就是-1。
》你在c子树插入新节点了，那么c这颗树的高度就是h，对于90节点来说，它的d这颗树的高度也是h，随意d-c=0，那么90节点的平衡因子bf就是0.
》也就是说，你在b或者c位置插入新节点，它们的节点大致位置形状都是不变的，但是平衡因子的更新是不一样的，需要区分开来看待。
》在这个双旋里面，谁是最大的赢家呢？是不是60这个节点呀，它被顶替在了原来树的根位置，然后30、90节点都做了它的左右孩子，然后60的左右孩子都分别分给了30和90，60的左孩子给了30节点的右边，60的右孩子给了90的左边，都符合搜索树的规则。
》但是，这里还有一个特殊情况没有分析到位， 哪一种呢？我们是不是都一开始就是在60的左右子树去新增节点呀，还有一种特殊情况，不是在60的左右子b、c子树去新增节点，而是60自身就是作为新增节点的情况我们没有考虑到，也就是h=0的时候，那么b、c子树就根本不存在。
60是新增节点就会引发这里的双旋，那这个双旋之后是个什么样子呢？还是一样，先来一个左单旋，然后再进行右单旋，最后所有节点的平衡因子更新都是变成了0。
我们现在来进行处理一下代码的问题吧；
》当parent的bf为-2，cur的bf为1的时候，即if(parent->_bf == -2 && cur->_bf = = 1)，就认为是一个折线，就需要左右双旋。在进行双旋转之前，我们的整棵树高度是h+2，当双旋完之后整棵树的高度还是h+2，所以对于ppNode的平衡因子没有任何影响。
》双选装怎么写呢？void RotateLR()，我们是可以复用我们前面的单旋。我们来进行对节点做标记一下，90节点为parent，30节点为subL，60节点为subLR；我们是先对30节点进行左单旋，需要自己写嘛？直接复用RotateL(parent->_left)，然后再进行右单旋，RotateR(parent)；但是我们复用的是单旋，我们单旋的时候，它是会将我们节点的平衡因子都调整为0，也就是30、60、90节点的平衡因子bf都是会被修改成0，这样对吗？不对的！我们需要再自己来进行调整平衡因子。
void RotateLR(Node *parent)
{
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
}
》这里调节平衡因子，是不是先分为，h = 0一种情况（就是上面说的特殊情况），h > 0是不是另外一种情况了呀。当h = 0最简单，所有节点的平衡因子都是0，但是我怎么知道h=0呢？它们有一个特别特别的特征，那就是60的平衡因子！如果60的平衡因子是0，那么60节点自己是新增节点，因为只有自己是新增节点，自己的bf才是0，如果是60的子树进行新增，那么我肯定不会为0的。所以60节点是0的话，那么就是h = 0，60自己是新增节点；如果60节点的平衡因子bf为1，那么就是在c子树插入；如果60节点的平衡因子是-1，那么就是在b子树插入新增节点。
》所以，我们使用60的平衡因子就可以区分3种插入新节点的情况，然后进而进行调整平衡因子了。我复用单旋的时候，和我是3种情况的哪一种又没有关系？没关系呀，单旋的时候只是改变节点的位置关系，我处理的干干净净。
》我们再说一下，60的左子树给了30的右子树，60的右子树给了90的左子树，然后30、90分别做了60的左右子树。我们下面来进行处理,我们先来标记一下，90节点为parent，30节点为subL，60节点为subLR。
》我们复用的单旋，悄悄的将我们的3个节点的平衡因子bf更新了，我们提前先将我们的subL、subLR都记录下来，NodesubL = parent->_left；Node subLR = subL->_right；这个subLR一定是不为空的，因为如果为nullptr空的话，那么parent的平衡因子也就不可能为-2了。我们还得提前记录一下subLR平衡因子，int bf = subLR->_bf；这个subLR的平衡因子是不是可以帮助我们进行判别是3种情况的哪一种插入情况呀！
》我们如何在两次单旋之后更新平衡因子bf呢？如果h = 0（60节点为新插入节点），那么我们复用的单旋是不是就对了呀，我们不要依赖它，万一人家单旋哪天不支持了呢？所以h0的情况我们也要单独处理一下。
》if(bf == 0)是不是就直接将parent、subL、subLR的平衡因子bf都是0呀；
》如果平衡因子1，if(bf ==1)是不是就代表新节点是在c子树插入的呀，然后经过两次单旋之后，c子树变成了90节点的左子树，然后90节点的平衡因子变成多少了呢？是不是就变成了0呀，此时你30的平衡因子就是-1呀，因为60节点的b子树给了30节点的右子树高度为h-1，所以算下来是-1。
》如果平衡因子bf = =1，if(bf= =-1)，那么就 跟上面那一个情况反过来，经过双旋之后，30节点的平衡因子bf变为0，90节点的平衡因子变为-1；
我们把另外一种旋转再分析一下：
同样的在b或者c子树进行插入新增节点，当然或者60节点本身就是新增节点，这三种插入情况哈。
我们还是来将3个节点进行标记一下，30节点为parent，90节点为subR，60节点为subRL。
我们可以在AVL树里面搞一个球高度的函数，int _Height(Node* root)；我检查我的AVL树怎么检查呀，我检查我的左子树，检查我的右子树，我将左右子树的高度一减，看有没有超过标准不就行了吗。求高度是不是一个后序的方式呀，要求我当前树的高度，我先去求我左树的高度，再去求右树的高度，然后我这颗树的高度是左右里面大的+1。
int _Height(Node *root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int lh = _Height(root->_left);
int rh = _Height(root->_right);
return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}
然后我们要检查我们是不是平衡树bool _IsBalanceTree(Node* root)，如果是空树root == nullptr,那么是平衡树。如果不为空树，那么，求左子树高度和右子树高度，然后两个高度进行相减，int diff = rightHeight - leftHeight；if(abs(diff) >= 2)那么就是违反规则；还有一种导致不为平衡树的就是，虽然我的平衡因子没有>=2，但是自己的平衡因子bf和算下来的diff不相符合，那么也是一种不为平衡树的情况。在检查完自己是不是平衡树后，我们再递归去检查我的左子树和右子树是否为平衡树。
bool _IsBalanceTree(Node *root)
{
// 空树也是AVL树
if (nullptr == root)
return true;
// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
int diff = rightHeight - leftHeight;
// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
if (abs(diff) >= 2)
{
cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
return false;
}
if (diff != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "节点平衡因子不符合实际" << endl;
return false;
}
// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}
AVL树的删除比插入更加复杂，当时我们在搜索树进行删除的时候都很费劲，我们高阶数据结构就不讲删除了，不需要掌握，当然可以了解。我们插入就已经能够帮助我们去理解它是如何进行平衡的了，包括我们后面要讲的红黑树和b树都不需要去掌握删除。我们学这些意义不是写出来，而是要很了解他的内部。
