注意:如果你还没搞定(指的是真正理解)01背包,请不要看。看了脑壳更晕
什么是二维费用的背包问题?请看AcWing上的一道题:
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包,背包能承受的最大重量是 M。
每件物品只能用一次。体积是 vi,重量是 mi,价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包,可使物品总体积不超过背包容量,总重量不超过背包可承受的最大重量,且价值总和最大。
输出最大价值。输入格式
第一行三个整数,N,V,M,用空格隔开,分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。
接下来有 N 行,每行三个整数 vi,mi,wi,用空格隔开,分别表示第 i 件物品的体积、重量和价值。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
0<N≤10000
0<V,M≤1000
0<vi,mi≤1000
0<wi≤10000输入样例
4 5 6 1 2 3 2 4 4 3 4 5 4 5 6
输出样例:
8
这就是典型的二维费用背包问题。
首先考虑01背包转移方程:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c[i]]+w[i]),这只有一个费用
那我们如何表示两个费用?
一种思路保存原有的状态(dp[i][j])、方程,选取一个费用优先满足条件,并求出此时的价值,再看另一个费用是否满足条件。但小编躬行证明这真的很难办,写出来的程序也有漏洞
所以就只能改变状态了
我们设dp[i][j][k]表示在前i个物品中选取、满足费用1的限制且满足费用2的限制的最大价值
是不是跟01背包很像?(01:dp[i][j]前i个物品中选取且满足费用的限制的最大价值)
如果你理解了01背包,状态转移方程应该就很好想了:
dp[i][j][k]=max(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j-c1[i]][k-c2[i]]+w[i]);
然后我们像优化01一样优化上述方程(注意循环要变顺序的哟(^U^)ノ~YO):
dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-c1[i]][k-c2[i]]+w[i]);
代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define _for(i,a,b) for (int i=(a);i<(b);i++)//宏定义,懒人专用
using namespace std;
const int N=1e2+5,M=1e2+5;
int dp[N][M];
int main(){
int n,v1,v2;
cin>>n>>v1>>v2;
_for(i,0,n){
int c1,c2,w;
cin>>c1>>c2>>w;
for (int j=v1;j>=c1;j--){//注意枚举顺序 b
for (int k=v2;k>=c2;k--){//a
dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-c1][k-c2]+w);
}
}
}
cout<<dp[v1][v2]<<endl;
return 0;
}
//其实可以来一个#define _rep(i,a,b) for (int i=(a);i>=(b);i--)来替换a、b代码
下面举一道变形题(裸题):