一、前言

作为专注于时间序列分析的玩家，虽然LSTM用了很久但一直没有写过一篇自己的LSTM原理详解，所以这次要写一个LSTM的从0到1的系列，从模型原理讲解到最后不借助三方框架自己手写代码来实现LSTM模型。本文本身没有特别独到之处，因为网上其实已经有很多优秀的关于LSTM讲解的文章，文章也做了很多借鉴；本文一方面是作为后续讲解如何从0实现LSTM的前置阅读内容，另一方面是作为自己多年对LSTM学习和理解的总结，同时也为作者的后续在此方向进一步的理论研究做铺垫。

LSTM是建立在普通的神经网络之上，准确说是建立在循环神经网络RNN之上，加上其可叠加的特性，一般归为深度学习范畴。对于神经网络和RNN这些前置知识之前已经写过很多文章，可参考下面链接。本文重点讲解LSTM的算法机制，为后续实现手写LSTM模型做铺垫。

https://blog.csdn.net/yangwohenmai1/category_9126892.html

LSTM主要解决了RNN的梯度消失和梯度爆炸问题，实现了时间序列的长期预测功能，这一机制的实现方案类似残差网络，利用一条单独通路，将过去的记忆尽可能多的向未来传递，再通过LSTM模型内部的各种控制门来对过去的记忆内容进行提取，舍弃，修正，变成当前的输出结果。再将当前时间步的结果和修改过的记忆信息向下一个LSTM单元传递。

LSTM的缺点是如果我们输入的历史序列很长，则LSTM模型的内存和训练时间会大大增加，这是由于LSTM内部的计算过程复杂和监督学习数据的特殊结构所导致的。所以后来推出了简化版的LSTM，即GRU，我将其视为LSTM的儿子，LSTM则是爸爸。下面就来了解一下LSTM的原理，图片大多是从网络上借鉴而来，文尾附参考文献链接。

二、LSTM结构特点

一般的RNN可以理解为多个相同的单元循环链接，将本次循环的状态向后传递，作为下次循环输入的一部分。缺点是不论激活函数如何选择，都会出现梯度爆炸或梯度消失的问题，因为最后链式求导过程都是连乘的形式。常见的RNN结构如下：

LSTM比RNN内部结构复杂的多，总的来说有三大控制门，分别是遗忘门、候选记忆门、输出门，还有一条负责传送长期记忆的传送带。就是这些门对历史信息进行提取、舍弃、更新这些精细化控制，同时也保证了模型不会出现梯度消失和梯度爆炸的情况。LSTM网络结构如下：

LSTM最核心的机制就是这个历史信息“传送带”，一方面它贯穿了整个“循环网络”，将历史的信息顺畅的向后传递，另一方面每个单元在更新历史信息时使用的是“+”而不是“×”，这使得链式求导时避免了连乘的出现，从而解决了梯度爆炸和梯度消失的问题。对应功能模块如下：

LSTM整体结构的中文示意图如下，这个结构中有两个重要参数分别是“记忆细胞”C和“隐藏状态”H，一般来说我们称C为长期记忆，H为短期记忆。原则上不建议也不应该用拟人的方式去解释神经网络，但是为了方便理解各个功能模块后续就沿用这种描述方式。下面我们就对每个过程进行拆分讲解。

三、LSTM原理分步解析

3.1.遗忘门的原理：

遗忘门 $f_t$ 可表示为下式，其中 $W_{xf}$ 表示输入 $x$ 传递到 $f_t$ 对应的权重矩阵， $W_{h_{t-1}f}$ 表示上一时间步状态 $h_{t-1}$ 传递到 $f_t$ 对应的权重矩阵， $b_f$ 表示偏置项。通过激活函数 $\sigma$ 将 $f_t$ 的计算结果限定在（0,1）之间。

$f_{t}=\sigma (x_{t}W_{xf}+h_{t-1}W_{h_{t-1}f}+b_f)$

3.2.输入门的原理：

输入门 $i_t$ 可表示为下式，其中 $W_{xi}$ 表示输入 $x_t$ 传递到 $i_t$ 对应的权重矩阵， $W_{h_{t-1}i}$ 表示上层状态 $h_{t-1}$ 传递到 $i_t$ 对应的权重矩阵， $b_i$ 表示偏置项。通过激活函数 $\sigma$ 将 $i_t$ 的计算结果限定在（0,1）之间。

$i_{t}=\sigma (x_{t}W_{xi}+h_{t-1}W_{h_{t-1}i}+b_i)$

中间状态 $\tilde{C_t}$ 可表示为下式，其中 $W_{xC}$ 表示输入 $x_t$ 传递到 $\tilde{C_t}$ 对应的权重矩阵， $W_{h_{t-1}C}$ 表示上层状态 $h_{t-1}$ 传递到 $\tilde{C_t}$ 对应的权重矩阵， $b_C$ 表示偏置项。通过激活函数 $tanh$ 将 $\tilde{C_t}$ 的计算结果限定在（-1,1）之间。这里为什么使用 $tanh$ 而不用 $\sigma$ 其实没有定论，根据经验激活函数的选择应该是作者通过超参数后得出的较优结论，不具有明确的可解释行。

$\tilde{C_t}=tanh(x_tW_{xC}+h_{t-1}W_{h_{t-1}C}+b_{C})$

3.3.候选记忆的原理：

输出状态 $C_t$ 可表示为下式，其中 $C_{t-1}$ 是上一时间步传递过来的输出状态， $f_t$ 、 $i_t$ 、 $\tilde{C_t}$ 是遗忘门、输入门、中间状态的计算结果。

$C_t=f_t\odot C_{t-1}+i_t\odot \tilde{C_t}$

$f_t\odot C_{t-1}$ 表示遗忘门 $f_t$ 和上一时间步的状态 $C_{t-1}$ 做逐点相乘， $f_t\in (0,1)$ ，使矩阵中接近0的位置的内容被遗忘，接近1位置的部分被保留，达到选择性遗忘的效果。

$i_t\odot \tilde{C_t}$ 表示输出入门 $i_t$ 和中间状态 $\tilde{C_t}$ 进行逐点相乘，得到新的候选记忆，也即需要记忆的新特征。 $i_t\in (0,1)$ ，决定了 $\tilde{C_t}$ 的信息是完全保留还是全部忘记。

最后我们用 $f_t$ 遗忘掉历史记忆 $C_{t-1}$ 中的信息，将新的记忆 $i_t\odot \tilde{C_t}$ 添加到 $C_{t-1}$ 中，构成了当前时间步的新记忆 $C_{t}$ 。

3.4.输出门的原理：

输出门 $o_t$ 可表示为下式，其中 $W_{xo}$ 表示输入 $x_t$ 传递到 $o_t$ 对应的权重矩阵， $W_{h_{t-1}o}$ 表示上个时间步的状态 $h_{t-1}$ 传递到 $o_t$ 对应的权重矩阵， $b_o$ 表示偏置项。通过激活函数 $\sigma$ 将 $o_t$ 的计算结果限定在（0,1）之间。

$o_{t}=\sigma (x_{t}W_{xo}+h_{t-1}W_{h_{t-1}o}+b_o)$

输出状态 $h_t$ 可表示为下式，将输出门 $o_t$ 与 $tanh(C_t)$ 逐点相乘，得到当前时间步新的输出状态，作为下个时间步输入的一部分。

$h_t=o_t\odot tanh(C_t)$

3.5.总结：

此时我们就得到一套完整的大脑机制，遗忘门忘掉没用的信息，输入门和候选记忆产生新的记忆信息，输出门负责更新记忆，再将新的记忆送给下一个神经元。

上述内容基本就是LSTM核心的工作流程，通过将每个功能模块组合起来，就构成了完整的LSTM模型，下面介绍一下数据如何在LSTM模型中流转。

四、多层LSTM以及前向传播的细节

下面问题来了，LSTM一般属于深度学习范畴，那深度学习必然会有多层模型进行叠加传参的问题。说到模型叠加一般网上就会给出类似下面这张图，这种图可能除了画图人自己，没多少人能看明白参数是怎么传递的。那么对于LSTM这种更加复杂的RNN类模型，作者讲解一下参数是如何传递的。

4.1.多层LSTM结构

下图是一个双层LSTM的示例，我们一起分析一下参数是如何在模型中流转的。首先要明确的是图中双层LSTM分别指第一行的3个LSTM单元和第二行的3个LSTM单元，而每一行中的3个LSTM单元表示的是当前LSTM层包含3个时间步。传播方向由第二行指向第一行。

4.2.第一层LSTM计算

首先看下输入数据x在第一层LSTM中的流转，蓝色方框表示第一层LSTM。

我们知道LSTM单元包含三个输入参数x，c，h，首先x1作为第一个时间步，输入到第一个LSTM单元中，此时输入的初始c0和h0都是0矩阵，计算完成后，第一个LSTM单元输出新的一组h1，c1，作为本层LSTM的第二个时间步的输入参数。
因此第二个时间步的输入就是h1，c1，x2，而输出是h2，c2
因此第三个时间步的输入就是h2，c2，x3，而输出是h3，c3

至此第一层LSTM的三个时间步计算完成，我们得到了三个输出结果（h1，h2，h3）。