算法提高-图论- 负环

news2024/11/16 17:58:21

负环

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    • AcWing 904. 虫洞
    • AcWing 361. 观光奶牛
    • AcWing 1165. 单词环

负环

本博客主要介绍spfa求负环
一般用第二种方法
第一种方法如果每个点入队n次,每次入队也要遍历n次,那么时间复杂度就是n2
第二种方法时间复杂度是n,只要发现最短路边数>=n就说明有环了

在这里插入图片描述

AcWing 904. 虫洞

一篇很好的博客,介绍了求负环的常用方法和原理
在这里插入图片描述

#include <iostream>
#include <cstring>

const int N = 510, M =2 * 2500 + 200 + 10;

using namespace std;

int dist[N];
int q[N], cnt[N];
bool st[N];
int h[N], ne[M], e[M], w[M], idx;

int T, n, m1, m2;

void add (int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++ ;
}

bool spfa()
{
    //memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//0x3f也可以ac啊,是因为有负环因为要判断的是负环,
                                      //如果存在负环,那么肯定存在一个点到虚拟源点的距离是负无穷,
                                      //相比于负无穷,0和正无穷都是 一个很大的值,因此这个初始化可以用来更新
    memset(dist, 0, sizeof dist);//这里dist初始化不是0x3f而是0
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    memset(st, 0, sizeof st);
    //虚拟源点求负环
    int hh = 0, tt = 0;
    for (int i = 1;i <= n; i ++ )
    {
        q[tt ++ ] = i;
        st[i] = true;
    }
    
    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;
        
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];               //现在农夫约翰希望能够从农场中的某片田地出发,经过一些路径和虫洞回到过去,并在他的出发时刻之前赶到他的出发地。
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])//这里是求负环,负环对应最短路,因为走负环可以让代价减少所有求的是最短路
            {                            //而正环改变一下符号就行,正环对应最长路,因为走正环可以让代价增加
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n) return true;
                if (st[j] == false) 
                {
                    q[tt ++ ] = j;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[j] = true;
                }
                
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    cin >> T;
    while (T -- )
    {
        memset(h, -1, sizeof h);
        idx = 0;
        
        cin >> n >> m1 >> m2;
        for (int i = 0; i < m1; i ++ )
        {
            int a, b ,c;
            cin >> a >> b >> c;
            add(a, b, c), add(b, a, c);
        }
        
        for (int i = 0; i < m2; i ++ )
        {
            int a, b, c;
            cin >> a >> b >> c;
            add(a, b, -c);//虫洞是单项的而且是负权值
        }
        
        if (spfa()) cout << "YES" << endl;
        else cout << "NO" << endl;
    }
    return 0;
}

AcWing 361. 观光奶牛

这是一个01规划 + 图论问题
在这里插入图片描述

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 5000 + 10;

int h[N], wt[M], ne[M], e[M], idx;
int q[N], cnt[N];
int  wf[N];
double dist[N];//dist要变成double!!!
bool st[N];

int n, m;

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, wt[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool check(double mid)
{
    memset(dist, 0, sizeof dist);//这里求的是正环,因此求的是最长路,所以dist初始化为0,这和虫洞那题不一样
    memset(st, 0, sizeof st);//多次check,所以st要初始化
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    
    int hh = 0, tt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        q[tt ++ ] = i;
        st[i] = true;
    }
    
    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;
        
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] < dist[t] + wf[t] - mid * wt[i])//这个是由最初的公式变换来的
            {
                dist[j] = dist[t] + wf[t] - mid * wt[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n) return true;//如果mid带入能找到正环,继续找下一个正环,知道找不到正环的时候 此时mid的值才最大
                
                if (st[j] == false)
                {
                    q[tt ++ ] = j;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    
    return false;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> wf[i];
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }
    
    double l = 0, r = 1e6;//r是根据我们要的结果在一个什么范围计算出来的(1000 - 1) * 1000,所有干脆取1e6了
    while (r - l > 1e-4)//浮点数二分 + 根据经验值多判断两位的精度
    {
        double mid = (l + r) / 2;// double mid = l + r >> 1 double不能这么写
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }
    
    printf("%.2lf", r);//printf("%.2lf", l)也行,因为while退出的时候l == r
}

AcWing 1165. 单词环

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