数据结构05:树的定义与双亲、孩子表示法[更新中]

news2024/11/23 21:48:41

参考用书:王道考研《2024年 数据结构考研复习指导》

参考用书配套视频:5.1.1 树的定义和基本术语_哔哩哔哩_bilibili

特别感谢: Chat GPT老师[部分名词解释、修改BUG]、BING老师[封面图]~

备注:博文目前是未完成的状态,如题,目前只写了树的存储结构~~本博文篇幅较长,完成时间初步预计为23.06.17~ 🥲

毕竟我的编程水平就是个两脚Bug生成兽,经常1段代码可以卡1天~

考研笔记整理,内容预计包含树、二叉树与森林的基本概念、存储结构,构造与遍历、树、森林与二叉树的转换,代码为C++~考研一起加油~ 🫡

第1版:查资料、写BUG、画导图、画配图ing~


目录

目录

目录

思维导图

树的概念

树的基本术语

树的基本性质

树的存储结构

双亲表示法

孩子表示法

结语

备注:此部分待二叉树、森林部分的博文完成后补充~


思维导图


树的概念

树的定义:树是n(n≥0)个结点的有限集。当n=0时,称为空树。在任意一棵非空树应满足:

  • 有且仅有一个特定的称为根的结点。
  • 当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,...,Tm,其中每个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树。 //因此,树是递归的数据结构

树的基本术语

图:树的图形表示+术语注释 

 (1)结点、度

  • 结点:一种数据结构,包含数据和对一个或多个其他节点的引用(例如:指针)。
    • 根结点:树的根节点没有前驱,除根结点以外的所有结点有且仅有1个前驱;
    • 分支结点:除根节点外,度>0的结点称为分支结点;
    • 分支结点:除根节点外,度 = 0的结点称为分支结点;
  • 结点关系:
    • 祖先结点:从根结点到指定结点的路径上的所有结点,例如结点A、B、E均为结点K的祖先结点;
    • 子孙结点:从指定结点到叶子点的路径上的所有结点,例如结点K、L、F均为结点B的子孙结点;
    • 双亲结点:祖先结点中最接近指定结点的结点,例如结点E是结点K、L的双亲结点。
    • 孩子结点:子孙结点中最接近指定结点的结点,例如结点E、F是结点B的孩子结点。
    • 兄弟结点:具有相同父节点的两个结点,例如结点K与结点L是兄弟结点。
  • 度数:
    • 结点的度:树中一个结点的孩子个数称为度数。
    • 树的度:树中结点的最大度数称为数的度。例如图中结点的度数为3,因此这棵树的结点就是3。

(2)层次、深度、高度:

  • 层次:一个节点的层级是从根节点到该节点的边数。
  • 高度:树中结点的最大层数。

(3)路径:

  • 路径:两个结点之间的路径是由这两个结点之间所经过的结点序列构成的;
  • 结点的路径长度:两个指定结点路径上经过的边的个数。
  • 树的路径长度:树根到每个结点的路径长度的总和。

(4)有序、无序:

  • 有序树:是节点按特定顺序排列的树,结点之间不能互换,例如二叉搜索树。
  • 无序树:是指节点未按任何特定顺序排列的树。

树的基本性质

(1)结点与结点、结点与边

  • n个结点的树 有 n-1条边;// 根节点无前驱,因此无指向根结点的边~
  • 树中的结点数 - 1 =\sum所有结点的度数; // 结点的度数代表孩子结点的个数,根节点为特殊的无前驱的结点,因此需要 -1;

(2)结点与度

  • 度为m的树,在第 i 层上结点数 ≤ m^(i-1); // 按照结点的度均为m的情况考虑,第1层最多有m^(1-1)=1个结点,第2层最多有m^(2-1)=m个结点...递推可求~

(3)结点与高

  • 高度为h的m叉树 结点数 n ≤ (m^h -1)/(m-1); // 等比公式可求,Sn=首项(1-公比的n次方)/(1-公比)

嗯,这个我们以满3叉树(m=3)举栗:

结点与高度的公式推算
层数(h)本层最多结点数首层累加至本层结点数
3叉树第1层m^(h-1)=3^(1-1)= 13^0 = 1
3叉树第2层m^(h-1)=3^(2-1)= 33^0 + 3^1 = 4
3叉树第3层m^(h-1)=3^(3-1)= 93^0 + 3^1 + 3^2 = 13
3叉树第4层m^(h-1)=3^(4-1)= 273^0 + 3^1 + 3^2+ 3^3 = 40
.........
3叉树第h层m^(h-1)=3^(h-1)

3^0 + 3^1 + 3^2+ ... +3^(h-1)

=  1 x(1- 3^h)/(1-3)

=(3^h -1)/ (3-1)

m叉树第h层m^(h-1)(m^h -1)/ (m-1)

树的存储结构

双亲表示法

描述:这种存储结构采用一组连续空间来存储每个结点,同时在每个结点中增加一个伪指针,指示其双亲结点在数组中的位置。

特点:

  • 简洁直观:相比其它存储方式易于理解与实现。
  • 存储结构:顺序存储和链式存储均可实现,其中顺序存储较为常见。
  • 存取效率:可以很快得到每个结点的双亲结点,但求孩子结点时需要遍历整个结构;不过这并不是硬伤,可以根据需要在结构体中增加一个用于存放孩子结点的伪指针。// 所以这里叫做顺序存储法是不是比双亲存储法更合适一些~~
  • 是否有序:双亲表示法不适合表示有序树,更适合表示无序树,因为无序树中节点的子节点没有明确的顺序关系。

图示:源于《王道》教材图5.14 树的双亲表示法

双亲表示法 核心代码:

#define MAX_TREE_SIZE 100   //树中可以存储的结点数

typedef struct{     //树中结点的结构,该结构有两个字段
    ElemType data;   //该字段存储结点的数据元素
    int parent;      //该字段存储结点的双亲指针(伪指针)
}PTNode;

typedef struct{     //树的结构,该结构有两个字段
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];   //结构数组,用于存储树中的结点
    int n;                         //树中的结点数
}PTree;

双亲表示法 案例:

要求:1 存储上面图示中的树,并顺序输出结点;2 按值查找某节点,并寻找其父结点与子节点;3 按位查找某节点,并输出其祖先结点与子孙结点~

思路:

LocateElem封装按值查找函数,并寻找双亲与孩子结点~

  1. 用参数i记录并遍历本结点的位序
  2. 找到目标结点后,输出当前结点的信息,将父结点的信息赋值给j并输出

  3. 通过循环寻找并输出孩子结点的信息,同时记录子结点的数量;如果子结点的数量为0,则输出没有子结点的提示信息;[这一步时间开销会很高,仅寻找相邻结点];

  4. 如果遍历到末尾没有找到结点,则输出没有该结点的提示信息。

get封装按位查找函数,并寻找祖先与子孙结点~

  1. 判断树中是为空,如果是,返回错误;如果否,继续执行;
  2. 判断值是否越界,如果是,返回错误;如果否,继续执行;
  3. 输出目标结点的data与parent;
  4. 通过递归寻找并输出祖先/子孙结点的信息,同时记录子结点的数量;如果子结点的数量为0,则输出没有子结点的提示信息;如果父节点已为根结点,则反馈到第2步;[这一步时间开销会很高,可寻找所有祖先/子孙结点]; 

#include <iostream>
#define MAX_TREE_SIZE 100  // 树的最大节点数量

typedef struct {
    char data;  // 节点数据
    int parent;  // 双亲节点的索引
} PTNode;

typedef struct {
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];  // 节点数组
    int n;  // 当前节点数目
} PTree;

// 初始化树对象
void InitTree(PTree* tree) {
    for (int i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
        tree->nodes[i].data = 0;  // 将节点数据初始化为0
        tree->nodes[i].parent = -1;  // 将节点的双亲索引初始化为-1
    }
    tree->n = 0;  // 初始化节点数量为0
}

// 添加节点到树中
void addNode(PTree* tree, char data, int parentIndex) {
    if (tree->n >= MAX_TREE_SIZE) {  // 如果树已满,不能再添加数据
        std::cout << "错误:树已满,不能再添加数据。\n";
        return;
    }

    PTNode newNode;
    newNode.data = data;  // 设置新节点的数据

    if (parentIndex < 0) {
        newNode.parent = -1;  // 如果双亲索引小于0,则表示没有双亲节点
    }
    else {
        newNode.parent = parentIndex;  // 否则,将双亲索引设置为给定的索引值
    }

    tree->nodes[tree->n] = newNode;  // 将新节点添加到节点数组中
    tree->n++;  // 更新节点数量
}

// 按值查找节点
void LocateElem(const PTree* tree, char data) {
    int i, j;
    int childCount = 0;
    int firstChildPos = -1;

    for (i = 0, j = -1; i < tree->n; i++) {
        if (tree->nodes[i].data == data) {  // 如果找到匹配的节点
            std::cout << "找到结点 " << data << std::endl;
            std::cout << "当前结点信息:" << "位置: " << i << ", 数据: " << tree->nodes[i].data << ", 双亲位置: " << tree->nodes[i].parent << std::endl;

            j = tree->nodes[i].parent;
            if (j != -1) {
                std::cout << "父节点信息:" << "位置: " << j << ", 数据: " << tree->nodes[j].data << ", 双亲位置: " << tree->nodes[j].parent << std::endl;
            }

            for (int k = 0; k < tree->n; k++) {
                if (tree->nodes[k].parent == i) {
                    if (childCount == 0) {
                        firstChildPos = k;
                    }
                    std::cout << "子节点信息:" << "位置: " << k << ", 数据: " << tree->nodes[k].data << ", 双亲位置: " << tree->nodes[k].parent << std::endl;
                    childCount++;
                }
            }

            if (childCount == 0) {
                std::cout << "该结点没有子节点" << std::endl;
            }
            else {
                std::cout << "子节点数量: " << childCount << std::endl;
                //std::cout << "第一个子节点信息:" << "位置: " << firstChildPos << ", 数据: " << tree->nodes[firstChildPos].data << ", 双亲位置: " << tree->nodes[firstChildPos].parent << std::endl;
            }

            return;
        }
    }

    std::cout << "未找到结点 " << data << std::endl;
}

// 获取节点的子孙节点
void GetOffspring(const PTree& tree, int index) {
    if (index < 0 || index >= tree.n) {  // 检查索引是否越界
        std::cout << "错误:索引越界。\n";
        return;
    }

    const PTNode& currentNode = tree.nodes[index];

    std::cout << "结点位置: " << index << ", 数据: " << currentNode.data << ", 父节点位置: " << currentNode.parent << std::endl;

    int childCount = 0;

    for (int i = 0; i < tree.n; i++) {
        if (tree.nodes[i].parent == index) {  // 如果节点的双亲索引与给定索引相等,则表示是其子节点
            childCount++;
            GetOffspring(tree, i);  // 递归调用以获取孩子节点的子节点
        }
    }

    if (childCount == 0) {
        std::cout << "该结点没有孩子结点。\n";
    }
}

// 获取节点的祖先节点
void GetAncestors(const PTree& tree, int index) {
    if (index < 0 || index >= tree.n) {  // 检查索引是否越界
        std::cout << "错误:索引越界。\n";
        return;
    }

    const PTNode& currentNode = tree.nodes[index];

    std::cout << "结点位置: " << index << ", 数据: " << currentNode.data << ", 父节点位置: " << currentNode.parent << std::endl;

    int parentIndex = currentNode.parent;
    if (parentIndex >= 0) {
        GetAncestors(tree, parentIndex);  // 递归调用以获取祖先节点的祖先节点
    }
}

int main() {
    PTree newtree;
    // 初始化树对象
    InitTree(&newtree);

    // 增加节点
    char data;
    int parentIndex;
    while (std::cout << "输入结点: " && std::cin >> data && data != '\\') {
        std::cout << "输入结点的双亲位置: ";
        std::cin >> parentIndex;
        addNode(&newtree, data, parentIndex);
    }

    std::cout << std::endl;

    // 输出结点
    for (int i = 0; i < newtree.n; i++) {
        std::cout << "结点位置: " << i << ", 数据: " << newtree.nodes[i].data << ", 父节点位置: " << newtree.nodes[i].parent << std::endl;
    }

    std::cout << std::endl;

    // 输出按值查找结点信息
    char target1;
    std::cout << "请输入要按值查找的结点: ";
    std::cin >> target1;
    LocateElem(&newtree, target1);

    std::cout << std::endl;

    // 输出子孙结点
    int targetIndex1;
    std::cout << "寻找该位序的子孙结点: ";
    std::cin >> targetIndex1;
    GetOffspring(newtree, targetIndex1);

    std::cout << std::endl;

    // 输出祖先结点
    int targetIndex2;
    std::cout << "寻找该位序的祖先结点: ";
    std::cin >> targetIndex2;
    GetAncestors(newtree, targetIndex2);

    return 0;
}

运行的效果如下图所示:

孩子表示法

描述:将每个结点都用单链表链接起来的线性结构,此时n个结点就有n个孩子链表(叶节点的孩子链表为空链表)。

特点:

  • 存储结构:顺序存储法通常由顺序表和链表共同构成。在这种存储方式中,树的整体结构使用顺序表来表示,而每个结点则使用链表来表示其孩子结点。
  • 存取效率:可以很快得到每个结点的孩子结点,方便地动态添加孩子节点,但求双亲结点时需要遍历指针域所指向的n个孩子链表。
  • 是否有序:适用于任意树的存储,包括有序树。由于每个节点的孩子节点都以单链表的形式链接,因此可以灵活地表示任意数量的子节点,并且可以按照节点在链表中的顺序确定子节点的顺序。

图示:源于《王道》教材图5.15 树的孩子表示法

孩子表示法 案例:

要求:存储上面图示中的树,并顺序输出结点~

备注:

  1. 构建树的核心思想是队列~👉:数据结构03:栈、队列和数组_梅头脑-CSDN博客
  2. 采用其它方法构造树很麻烦且很容易出Bug的,真的~经过了多次的失败打击,考虑到时间有限,最后还是找gpt老师帮我重构逻辑重写了一份代码~😢😢
  3. 好像不是很重要的知识点~

思路:

  1. 定义了两个结构体:CTNodeCTreeCTNode结构体表示树的节点,包含了节点的数据元素和一个指向子节点的指针数组;CTree结构体表示整个树,包含了根节点的指针。

  2. 初始化树对象:initTree()函数用于创建一个空的树对象,并返回指向该对象的指针。

  3. 创建节点:createNode()函数用于创建一个新的节点,并返回指向该节点的指针。该函数接受节点的数据元素作为参数。

  4. 添加子节点:addChild()函数用于将一个节点添加为另一个节点的子节点。该函数接受父节点和子节点的指针作为参数,并将子节点添加到父节点的子节点指针数组中。

  5. 构建树:buildTree()函数用于根据用户的输入构建树。函数首先读取根节点的数据元素,然后使用循环来依次读取每个节点的子节点数量和数据元素,并将子节点添加到相应的父节点中。这个过程使用了一个结点队列来辅助构建树,确保树的每个节点都被正确处理。

  6. 输出树的结构:printTree()函数用于输出树的结构。函数使用了层次遍历的方式,从根节点开始,逐层输出节点的数据元素和子节点的数据元素。

#include <iostream>
#include <vector>

struct CTNode {
    char data;                 // 结点数据
    std::vector<CTNode*> children;  // 子节点指针
};

struct CTree {
    CTNode* root;  // 根节点指针
};

// 创建新的结点
CTNode* createNode(char data) {
    CTNode* newNode = new CTNode();
    newNode->data = data;
    return newNode;
}

// 添加子节点
void addChild(CTNode* parent, CTNode* child) {
    parent->children.push_back(child);
}

// 初始化树
CTree* initTree() {
    CTree* tree = new CTree();
    tree->root = nullptr;
    return tree;
}

// 构建树
void buildTree(CTree* tree) {
    char data;
    std::cout << "输入根节点数据: ";
    std::cin >> data;

    // 创建根节点
    CTNode* root = createNode(data);
    tree->root = root;

    std::vector<CTNode*> nodeQueue;  // 结点队列,用于辅助构建树
    nodeQueue.push_back(root);

    while (!nodeQueue.empty()) {
        CTNode* currentNode = nodeQueue.front();
        nodeQueue.erase(nodeQueue.begin());

        int childCount;
        std::cout << "输入节点 " << currentNode->data << " 的子节点数量: ";
        std::cin >> childCount;

        for (int i = 0; i < childCount; i++) {
            char childData;
            std::cout << "输入子节点 " << i + 1 << " 的数据: ";
            std::cin >> childData;

            // 创建子节点
            CTNode* childNode = createNode(childData);

            // 添加子节点到当前节点
            addChild(currentNode, childNode);

            // 将子节点加入队列,继续构建子树
            nodeQueue.push_back(childNode);
        }
    }
}

// 输出树的结构
void printTree(const CTree* tree) {
    if (tree->root == nullptr) {
        std::cout << "树为空。\n";
        return;
    }

    std::cout << "树的结构:\n";

    std::vector<const CTNode*> nodeQueue;  // 结点队列,用于层次遍历
    nodeQueue.push_back(tree->root);

    while (!nodeQueue.empty()) {
        const CTNode* currentNode = nodeQueue.front();
        nodeQueue.erase(nodeQueue.begin());

        std::cout << "结点数据: " << currentNode->data;

        if (!currentNode->children.empty()) {
            std::cout << ",子节点数据: ";
            for (const CTNode* child : currentNode->children) {
                std::cout << child->data << " ";
                nodeQueue.push_back(child);
            }
        }

        std::cout << "\n";
    }
}

int main() {
    CTree* tree = initTree();  // 初始化树

    buildTree(tree);  // 构建树

    std::cout << "\n";
    printTree(tree);  // 输出树的结构

    delete tree;  // 释放内存

    return 0;
}

 运行的效果如下图所示:


结语

博文未完待续,写得模糊或者有误之处,欢迎小伙伴留言讨论与批评~😶‍🌫️

码字不易,若有所帮助,可以点赞支持一下博主嘛?感谢~🫡

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在我的网络安全训练营的最后几周&#xff0c;我们的最终项目之一是使用 Splunk Enterprise 为一个名为 VSI&#xff08;虚拟空间工业&#xff09;的虚构组织构建安全监控环境&#xff0c;对于那些可能不知道的人来说&#xff0c;它是一个 SIEM&#xff08;安全信息和事件管理器…

科一容易忘、容易混的点——图类

注意行人 和 人行横道区别 注意行人&#xff1a;黄色&#xff0c;里面是什么就注意什么 人行横道&#xff1a;正方形 “不得” xxx 的 就选择 【正确】 点火开关 1、LOCK档&#xff1a;这是一个锁止档&#xff0c;功能是当除了防盗系统和车内小灯以外&#xff0c;电路是完全关…

【Redis应用】用户签到统计连续签到(三)

&#x1f697;Redis应用学习第三站~ &#x1f6a9;本文已收录至专栏&#xff1a;Redis技术学习 签到功能是我们非常常见的一个功能&#xff0c;几乎在每个app中都能碰到&#xff0c;让我们一起看看如何实现吧~ 一.BitMap用法引入 我们针对签到功能完全可以通过mysql来完成&am…

Python基于指定范围筛选并剔除Excel表格中的数据

本文介绍基于Python语言&#xff0c;读取Excel表格文件&#xff0c;基于我们给定的规则&#xff0c;对其中的数据加以筛选&#xff0c;将不在指定数据范围内的数据剔除&#xff0c;保留符合我们需要的数据的方法。 首先&#xff0c;我们来明确一下本文的具体需求。现有一个Exce…

【JavaScript】讲解JavaScript的基础知识并且配有案例讲解

&#x1f38a;专栏【 前端易错合集】 &#x1f354;喜欢的诗句&#xff1a;更喜岷山千里雪 三军过后尽开颜。 &#x1f386;音乐分享【如愿】 大一同学小吉&#xff0c;欢迎并且感谢大家指出我的问题&#x1f970; 目录 &#x1f381;JavaScript嵌入网页的方式 &#x1f354;a…

LVS--DR集群部署

LVS--DR集群 一、DR模式原理二、实验 一、DR模式原理 原理&#xff1a;首先负载均衡器接收到客户的请求数据包时&#xff0c;根据调度算法决定将请求发送给哪个后端的真实服务器&#xff08;RS&#xff09;。然后负载均衡器就把客户端发送的请求数据包的目标MAC地址改成后端真…

PCI Express架构概述

目录 1. PCIe 总线概述 2. PCIe 拓扑结构 3. PCIe 分层结构 4. PCIe 事务层类型 5. PCIe 配置和地址空间 1. PCIe 总线概述 PCIe&#xff08;Peripheral Component Interconnect Express&#xff09;是一种用于连接计算机内部硬件设备的高速串行总线。它是在PCI&#xff08…