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题目描述

总公司拥有 $M$ 台 相同 的高效设备，准备分给下属的 $N$ 个分公司。

各分公司若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。盈利与分配的设备数量有关。

问：如何分配这M台设备才能使国家得到的盈利最大？

求出最大盈利值。

分配原则：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不超过设备数 $M$。

输入格式

第一行有两个数，第一个数是分公司数 $N$，第二个数是设备台数 $M$；

接下来是一个 $N\times M$ 的矩阵，矩阵中的第 $i$ 行第 $j$ 列的整数表示第 $i$ 个公司分配 $j$ 台机器时的盈利。

输出格式

第一行输出最大盈利值；

接下 $N$ 行，每行有 $2$ 个数，即分公司编号和该分公司获得设备台数。

答案不唯一，输出任意合法方案即可。

数据范围

$1\le N\le 10$,
$1\le M\le 15$

输入样例：

3 3
30 40 50
20 30 50
20 25 30

输出样例：

70
1 1
2 1
3 1

---

思路

本题为DP问题，可以使用 闫氏DP分析法 解题。

DP：

• 状态表示 f[i][j]：
  • 集合：在前 $i$ 个物品组中，总体积不超过 $j$ 的所有方案。
  • 属性：$\max$
• 状态计算：

操作	转移	f[i][j]的值
第 $i$ 个物品组中不选物品	f[i - 1][j]	f[i - 1][j]
第 $i$ 个物品组中选第 $1$ 个物品	f[i - 1][j - v[1]]	f[i - 1][j - v[1]] + w[1]
第 $i$ 个物品组中选第 $2$ 个物品	f[i - 1][j - v[2]]	f[i - 1][j - v[2]] + w[2]
…	...	...
第 $i$ 个物品组中选第 $s$ 个物品	f[i - 1][j - v[s]]	f[i - 1][j - v[s]] + w[s]

---

AC Code:

$C++$

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 11, M = 16;

int n, m;
int w[N][M];
int f[N][M];
int path[N];

int main()
{
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		for (int j = 1; j <= m; j ++ )
			cin >> w[i][j];
	
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		for (int j = 1; j <= m; j ++ )
			for (int k = 0; k <= j; k ++ )
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k] + w[i][k]);
	
	cout << f[n][m] << endl;
	
	int j = m;
	for (int i = n; i >= 1; i -- )
		for (int k = 1; k <= j; k ++ )
			if (f[i][j] == f[i - 1][j - k] + w[i][k])
			{
				path[i] = k;
				j -= k;
				break;
			}
	
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		cout << i << ' ' << path[i] << endl;
	
    return 0;
}

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