自然数的基本性质

• 数学归纳法(Principle of Mathematical Induction)
  $n=n_0$时成立，且$n=k$成立$\Rightarrow n=k+1$成立，则定理对$n\ge n_0$成立
• 良序定理(Well Ordering Principle)
  每个非空集合都存在一个最小元素

整除

定义：$a|b$ 代表 $b=ax(a,b,x\in Z,a\ne 0)$,读作a整除b
性质：

• $\forall n\in N,n|0$
  任何自然数可整除0
• $a|b,b|c\Rightarrow a|c$
  a整除b，b整除c$\Rightarrow$a整除c
• $a|b,a|c\Rightarrow a|bx+cy$ ,$\forall x,y\in Z$
  a整除b，a整除c$\Rightarrow$a整除(bx+cy)，其中x,y是任意整数

定理：

• $a,b\in Z,a>0,\exists q,r\in Z$，使得$b=aq+r,0\le r<a$
  b可以拆成q倍的a+余数的形式，r必须>=0

最大公约数（GCD）

定理

-设$g=gcd(a,b),\exists x_0,y_0\in Z$使得$g=a{x}_0+b{y}_0$

辗转相除法=欧几里得算法

int gcd(int a,int b){
	if(a<0)a=-a;
	if(b<0)b=-b;
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

互质 Coprime

定义：gcd(a,b)=1，称a,b互质
推论

• $gcd(a,m)=1,gcd(b,m)=1\Rightarrow gcd(ab,m)=1$
  a,m互质，b,m互质，推出ab和m互质
• $c|ab,gcd(c,a)=1\Rightarrow c|b$
  c整除ab,c,a互质，推出c整除b

素数

定义：p(整数p>1)的因子只有1和它本身

算数基本定理

任何正整数都可以被拆分为一系列素数的幂次的乘积，且分解唯一

定理

• 素数的个数无限
  素数生成方法：${\prod }_{i=1}^n{p}_i+1$

同余

定义：$a\equiv bmodm$ 代表 $m|(a-b)(a,b,m\in Z,m\ne 0)$
性质：
当$a\equiv b(modm),c\equiv d(modm)$时，

• $a+c\equiv b+d(modm)$
• $ac\equiv bd(modm)$
• $a^k\equiv b^k(modm)$

定义：
完全剩余系：mod m的互不同余的所有数的集合
既约剩余系：mod m的互不同余且和m互质的所有数的集合

欧拉定理

欧拉函数

定义：$\varphi (m)$代表m的既约剩余系的元素个数

• 对于素数来说，这个函数的结果是m-1
• p是素数，k>=1，则$\varphi (p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p})$
• m,n互质 $\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)$
• n可用算术基本定理拆开,$\varphi (n)=n{\prod }_{p|n}(1-\frac{1}{p})$

定理：
${\sum }_{d|n}\varphi (d)=n$

$gcd(a,m)=1\Rightarrow a^{\varphi (m)}\equiv 1modm$
前提条件是a,m互质

费马小定理

p是质数，a是整数，则 $a^p\equiv amodp$

威尔逊定理

p是素数，$(p-1)!\equiv -1modp$

逆元

定义：$gcd(a,m)=1,\exists$$bmodm$使得$ab\equiv 1modm$，称b是a的逆元
a,m必须互质，a才有逆元，逆元唯一

求逆：欧几里得扩展算法

gcd(a,n)=1时，求$a^{-1}modn$
先用辗转相除法，拆到最后剩余1时回溯

线性同余方程组$(ax=bmodm)$

有解判定：令g=gcd(a,m)，当且仅当g|b时，ax=b mod m才有解，且有g mod m个解

求线性同余方程组：中国剩余定理

$$\{\begin{array}{c}x=a_{1}mod{m}_1\\ x=a_{2}mod{m}_2\\ ...\\ x=a_{k}mod{m}_k\end{array}$$
$M_i=\frac{\prod m_i}{m_i}$
$y_i=M_i^{-1}mod{m}_i$
$x=\sum a_i{M}_i{y}_{i}mod(\prod m_i)$
如果x前面有系数，先求逆乘到右边，将之化为标准形式

高次同余方程组

Hensel引理

$f(x)\in Z(x),f(a)=0mod{p}^k,f^{\prime }(a)\ne 0modp\Rightarrow \exists tmodp,f(a+t{p}^k)=0mod{p}^{k+1}$
t唯一，且$t=-(\frac{f(a)}{p^k}\frac{1}{f^{\prime }(a)})modp$
代入t得$f(a+t{p}^k)=f(a-\frac{f(a)}{f^{\prime }(a)})$

模多项式

p是素数，f(x)最高次为n，f(x)=0 mod p最多有n个解
定理：
$f(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_0$,f(x)=0 mod p有n个不同解$\iff f(x)|x^p-xmodp$
推论：
$d|p-1\Rightarrow x^d=1modp$有d mod p个不同解

阶

定义：gcd(a,m)=1，满足$a^h=1modm$的最小正整数h是a mod m 的阶，写作$h=or{d}_m(a)$
定理：

• 其余满足该式的幂次都是h的倍数
• $a^{k}modm$的阶是$\frac{h}{gcd(k,h)}$
• a mod m的阶是h，b mod m的阶是k,hk互素，则ab mod m的阶是hk

原根

定义：a mod m的阶是$\varphi (m)$，则a是原根
定理：
p，q是素数，$q^e|p-1$，则存在元素mod p的阶是$q^e$

原根数量

mod m的原根数量是$\varphi (\varphi (m))$

原根存在判定

当且仅当$m=1,2,4,p^e,2p^e$时，m存在原根

平方剩余

定义：p是奇素数，$a\ne 0modp$,当$a=b^{2}modp$时，a是平方剩余，否则是平方非剩余
遇到一元二次方程，先化为上述标准形式
定理:

• $a\ne 0modp,a^{\frac{p-1}{2}}=1modp\Rightarrow$a是平方剩余
• 剩余集的一半数字是平方剩余，一半是非平方剩余

勒让德符号

写作$(\frac{a}{p})$，=1表示a是mod p的平方剩余，=-1表示a是mod p的平方非剩余，=0表示a|p
定理：

• $(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=(\frac{ab}{p})$

高斯引理

• p是奇素数，a!=0，令$x_p$为x mod p的平方剩余集中绝对值最小的数
  n是
  $$(a{)}_p,(2a{)}_p,(3a{)}_p,...,(\frac{p-1}{2}a{)}_p$$
  中负数的个数，则 $(\frac{a}{p})=(-1{)}^n$
• p是奇素数，gcd(a,p)=1，a是奇数
  $(\frac{a}{p})=(-1{)}^t$,其中$$t=\sum _{j=1}^{\frac{p-1}{2}}\lfloor \frac{ja}{p}\rfloor$$
• $(\frac{a}{p})=(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}$

二次互反律 Quadratic Reciprocity Law

p,q都是奇素数时，

雅可比符号

Tonelli-Shanks算法（不考）

分圆多项式 Cyclotomic Polynomials

定义：对正整数n来说，能整除$x^n-1$但不能整除$x^k-1(k<n)$的多项式是分圆多项式，用${\varphi }_n(x)$表示。
${\varphi }_n(x)={\prod }_{1\le k\le n,gcd(k,n)=1}x-e^{2i\pi \frac{k}{n}}$

定理

• $x^n-1={\prod }_{d|n}{\varphi }_d(x)$
• ${\varphi }_n(x)$的最高次$n=\varphi (x)$
• 分圆多项式系数均为整数
• n>=2时，分圆多项式对称
• （不考）
• （不考）n是正整数，有无限个素数=1 mod n

算数函数 arithmetic function N->C

性质：

• 加性 f(mn)=f(m)+f(n)
• 乘性 f(mn)=f(m)f(n)
  • 不完全 mn互质
  • 完全 mn不互质

例子：

• $v_{p_i}(n)$是素数pi/n的最高次？TBC