1 空间直线方程

1.1 空间直线的一般方程

空间直线L可以看做是两个平面的交线，则
$$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$
上述方程组称为空间直线的一般方程式。

注：空间直线方程不唯一，因为过一条直线有无数平面。

1.2 空间直线的对称式方程

如果一个非零向量平行于一条已知直线，那么这个向量叫做这条直线的方向向量。

由直线L上的一点$M(x_0,y_0,z_0)和方向向量\vec{s}=(m,n,p)$唯一确定该直线。设置$M(x,y,z)$为直线上的任一一点，由$\overrightarrow{M_{0}M}\parallel \vec{s}$,有

​ $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}(4-2)$

方程组（4-2）叫做直线L的对称式方程或者点向式方程。

直线的任一方向向量$\vec{s}$的坐标m,n,p叫做直线的一组方向数，向量$\vec{s}$的方向余弦叫做该直线的方向余弦。

注：

• 当m,n,p中有一个为零时，例如$m=0,n\ne 0,p\ne 0$，方程组为
  $$\{\begin{array}{l}x-x_0=0\\ \frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}\end{array}$$

• 当m,n,p中有两个为零时，例如$m=n=0,p\ne 0$,方程组为平行于z轴的直线
  $$\{\begin{array}{l}x-x_0=0\\ y-y_0=0\end{array}$$

1.3 空间直线的参数方程

设$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t$,有
$$\{\begin{array}{l}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\end{array}(4-3)$$
方程组（4-3）叫做直线的参数方程。

注：

• t取定每一个值，对应x,y,z为直线L上的一点；
• 参数式方程一般用来求直线与平面的交点。

1.4 空间直线的两点式方程

设直线L过两点$M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2)$,则方向向量$\vec s=(x2_x_1,y_2-y_1,z_2-z_1),根据空间直线的一般方程有

​ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}(4-4)$

方程（4-4）称为空间直线的两点式方程。

例1 将空间直线L一般方程
$$\{\begin{array}{l}x+y+z+1=0\\ 2x-y+3z+4=0\end{array}$$
化为对称式及参数式方程，并求与平面$\pi :x+y=0$的交点。
$$\begin{gathered} 解：任取直线上一点(x_0,y_0,z_0)，取y_0=0,得x_0=1,z_0=-2,即点M_0(1,0,-2)为直线上一点 \\ 取z_0=0,则x_0=-\frac{5}{3},y_0=-\frac{2}{3},即点M_1(-\frac{5}{3},\frac{2}{3},0)也为直线上一点 \\ \overrightarrow{M_0{M}_1}=(-\frac{8}{3},\frac{2}{3},2)=-\frac{2}{3}(4,-1,-3) \\ 取\vec{s}=(4,-1,-3) \\ 空间对称式方程:\frac{x-1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{-3} \\ 令上述等式等于t,则参数式方程为：\{\begin{array}{l}x=4t+1\\ y=-t\\ z=-3t-2\end{array} \\ 将参数式方程带入平面\pi :x+y=0,有 \\ 4t+1-t=0,t=-\frac{1}{3} \\ \therefore 直线与平面\pi 的交点为(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},-1) \end{gathered}$$

3 两直线的夹角

两直线方向向量的夹角（通常指锐角或者直角）叫做两直线的夹角。

设两直线$L_1和L_2$的方向向量依次为${\vec{s}}_1=(m_1,n_1,p_1)和{\vec{s}}_2=(m_2,n_2,p_2)$,则两向量夹角余弦公式为：

​ $\cos \varphi =\frac{|m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{P}_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\cdot \sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$

结论：

1. $L_1\perp l_2\iff {\vec{s}}_1\perp {\vec{s}}_2\iff m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2=0$
2. $L_1\parallel l_2\iff {\vec{s}}_1\parallel {\vec{s}}_2\iff \frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}$

4 直线与平面的夹角

4.1 定义

直线与其在平面上投影直线所形成的夹角$\varphi (0\le \varphi \le \frac{\pi }{2})$,称为直线与平面的夹角。

4.2 夹角的正弦公式

如下图4-1所示:

直线L的方向向量$\vec{s}=(m,n,p)$,平面$\pi 的法线向量\vec{n}=(A,B,C)$,有

​ $\sin \varphi =\frac{|Am+Bn+Cp}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$

结论：

1. $L\perp \pi \iff \vec{s}\parallel \vec{n}\iff \frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$
2. $L\parallel \pi \iff \vec{s}\perp \vec{n}\iff Am+Bn+Cp=0$

5 例题

例2 求过点$(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0$垂直的直线的方程。
$$\begin{gathered} 解：设直线L的方向向量\vec{s}=(m,n,p) \\ \because 直线与平面垂直\therefore \vec{s}\parallel 平面的法线向量\vec{n} \\ \vec{n}=(2,-3,1),有 \\ 取\vec{s}=(2,-3,1) \\ 直线的对称式方程：\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-4}{1} \end{gathered}$$
例3 求过点$(2,1,3)且与直线\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$垂直的的直线方程。
$$\begin{gathered} 解：过点M_0(2,1,3)且与直线L:\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}垂直的平面方程方程为 \\ 3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0即3x+2y-z-5=0(4-1) \\ 令\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}=t \\ 直线L的参数式方程：\{\begin{array}{l}x=3t-1\\ y=2t+1\\ z=-t\end{array} \\ 带入(4-1)得，t=\frac{3}{7} \\ \therefore 平面与直线L的交点坐标M_1(\frac{2}{7},\frac{13}{7},-\frac{3}{7}) \\ \therefore \overrightarrow{M_0{M}_1}=(-\frac{12}{7},\frac{6}{7},-\frac{24}{7}) \\ 取\vec{s}=(2,-1,4) \\ \therefore 直线对称式方程：\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-3}{4} \end{gathered}$$

6 平面束方程

若直线L：
$$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0({\pi }_1)\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_1=0({\pi }_1)\end{array}$$
其中$A_1,B_1,C_1与A_2,B_2,C_2$不成比例，则

​ $A_{1}x+B_{1}y+C_1+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z)=0$

能够表示通过直线L的所有平面（除${\pi }_2$以外)，称为通过直线L的平面束方程。

例4 求直线
$$\{\begin{array}{l}x+y-z-1=0\\ x-y+z+1=0\end{array}$$
在平面$x+y+z=0$上投影的直线。
$$\begin{gathered} 过直线平面束方程：x+y-z-1+\lambda (x-y+z+1)=0 \\ 化简：(1+\lambda )x+(1-\lambda )y+(\lambda -1)z+(\lambda -1)=0(4-1) \\ 平面与x+y+z=0垂直的条件：(1+\lambda )+(1-\lambda )+(\lambda -1)=0 \\ 解得,\lambda =-1,带入（4-1）得投影平面方程：y-z-1=0 \\ \therefore 投影直线方程为：\{\begin{array}{l}y-z-1=0\\ x+y+z=0\end{array} \end{gathered}$$

结语

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 下册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p30-36.

[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p54.