简介

1908年，戈塞特在酿酒厂工作，由于酒厂禁止员工发表酿酒相关的研究成果，所以他以Student为笔名发表了有关t分布的研究，故而这个著名的分布被命名为学生分布。

如果有两个独立的随机变量$X,Y$，二者分别服从标准正态分布和自由度为$\nu$的卡方分布，则$\frac{X}{\sqrt{Y/\nu }}$服从t分布，其概率密度函数为

$$f(x,\nu )=\frac{\Gamma (\frac{\nu +1}{2})}{\sqrt{\pi \nu }\Gamma (\frac{\nu }{2})}(1+\frac{x^2}{\nu }{)}^{-\frac{\nu +1}{2}}$$

正态分布与卡方分布

正态分布，最早由棣莫弗在二项分布的渐近公式中得到，而真正奠定其地位的，应是高斯对测量误差的研究，故而又称Gauss分布。测量是人类定量认识自然界的基础，测量误差的普遍性，使得正态分布拥有广泛的应用场景，或许正因如此，正太分布在分布族谱图中居于核心的位置。

正态分布$N(\mu ,\sigma )$受到期望$\mu$和方差${\sigma }^2$的调控，其概率密度函数为

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp [-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}]$$

当$\mu =0$而$\sigma =1$时，为标准正态分布$N(0,1)$，对应概率分布函数为$\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{x^2}{2}]$。

若$k$个互相独立的随机变量${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_k$，均服从标准正态分布，则这k个随机变量的平方和构成一个新变量，新变量服从${\chi }^2$分布。其概率密度函数为

$$\rho (x)=\frac{(1/2{)}^{k/2}}{\Gamma (k/2)}{x}^{k/2-1}{e}^{-x/2}$$

用scipy来验证三者关系

下面通过正态分布来构造学生分布，并进行验证

import numpy as np
from scipy.stats import norm, chi2, t
import matplotlib.pyplot as plt

k = 200
X = norm.rvs(size=10000)
Y = chi2(k).rvs(size=10000)
xs = X/(Y/k)
plt.hist(xs, density=True, bins=100, alpha=0.8)

rv = t(k)
st, ed = rv.interval(0.995)
xs = np.linspace(st, ed, 200)
plt.plot(xs, rv.pdf(xs))
plt.show()

结果如下

从其分布特点来看，t分布与正态分布十分相似，都是关于原点对称的单峰偶函数，当$\nu \to \infty$时，根据斯特林公式可以得出，$t$分布趋近于正态分布。

下面测试一下，对于不同$\nu$值，

fig = plt.figure()
xs = np.linspace(-5,5,1000)
for i,nu in enumerate([3,10,50,200]):
    ax = fig.add_subplot(2, 2, i+1)
    ax.plot(xs, norm.pdf(xs), label="norm")
    ax.plot(xs, t(nu).pdf(xs), lw=0.5, label="t")
    plt.legend()


plt.show()

结果如图所示