完全背包

1. 与01背包区别

01背包为了物品遍历一次所以用倒序遍历，在完全背包里为了多次使用物品所以用正序遍历
dp[j]：容量为j的背包所能装的最大价值。

01背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

完全背包
// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

518. 零钱兑换 II

1. dp数组以及下标名义

dp[j]：总金额为j的背包所能凑的总数。

2. 递归公式

例如：dp[j]，j 为5，

已经有一个1（coins[i]） 的话，有 dp[1]= dp[0]种方法(1种) 凑成 总金额为5的背包。11111
已经有一个2（coins[i]） 的话，有 dp[2] = dp[1] + dp[0]种方法(3种) 凑成 总金额为5的背包。2111/221/11111

已经有一个5 （coins[i]）的话，有 dp[5]= dp[2]+ dp[1]+ dp[0].(4种)2111/221/11111/5

递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];

3. dp数组如何初始化

dp[0] = 1;

4. 遍历顺序:不能颠倒两个for循环顺序

1.外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况：计算组合数

    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。

那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！

2. 交换顺序

 for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
 for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

此时dp[j]里算出来的就是排列数！

5. 代码

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int>dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
            for(int i = 0; i < coins.size(); i++) {//遍历物品
                for(int j = coins[i]; j <= amount; j++) {//遍历背包
                           dp[j] += dp[j - coins[i]];
                }
            }
            return dp[amount];
    }
};

377. 组合总和 Ⅳ:与零钱兑换类似，但是是求组合数

1. dp数组以及下标名义

dp[j]：目标整数为j的背包所能凑的组合个数。

2. 递归公式

递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];

3. dp数组如何初始化

dp[0] = 1;

4. 遍历顺序:颠倒两个for循环顺序，先遍历背包再遍历物品

1. 交换顺序

               for(int j = 0; j <= target; j++) {//遍历背包
               for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {//遍历物品
                     if(j - nums[i] >= 0 && dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]])
                     dp[j] += dp[j - nums[i]];
                }
            }

5. 代码

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int>dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
           for(int j = 0; j <= target; j++) {//遍历背包
               for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {//遍历物品
                     if(j - nums[i] >= 0 && dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]])
                     dp[j] += dp[j - nums[i]];
                }
            }
            return dp[target];
    }
};

C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。