爬楼梯进阶版

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，…，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

1. dp数组以及下标名义

dp[j]：爬到j层一共有多少种方法。

2. 递归公式

递推公式：dp[j] += dp[j - i];

3. dp数组如何初始化

dp[0] = 1;

4. 遍历顺序:颠倒两个for循环顺序，先遍历背包再遍历物品

5. 代码

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
                if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

322. 零钱兑换:硬币可以重复选取

在这里插入图片描述

1. dp数组以及下标名义

dp[i]：目标整数为i的背包所能凑的最少硬币个数。

2. 递归公式

coin[0] = 1时，dp[1]=1.dp[2] = 2;…dp[11]=11;
coin[1] = 2时，dp[1]=1;dp[2]=1;dp[3]=2;dp[4]=2;dp[5]=3;dp[6]=3;dp[7]=4;dp[8]=4
coin[2] = 5时，dp[1]=1;dp[2]=1;dp[3]=2;dp[4]=2;dp[5]=1；dp[6] =2
dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);

3. dp数组如何初始化

dp[0] = 0;目标和为0 所以是0个硬币

4. 遍历顺序：组合与排列都可以，因为不影响本题求解

5. 代码

class Solution {
public://完全背包问题
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
      vector<int>dp(amount + 1, INT_MAX); 
      dp[0] = 0;
        for(int j = 0; j < coins.size(); j++) {//遍历物品
              for(int i = coins[j]; i <= amount; i++) {//遍历背包
              if(dp[i - coins[j]] != INT_MAX) {// 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
                   dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
              }
          }
      }
      if(dp[amount] == INT_MAX) return -1;
      return dp[amount];
    }
};

和之前一样的写法，用 if(i - coins[j] >= 0) ，但是vector里面要用double,因为初始化为整型的最大值了
class Solution {
public://完全背包问题
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
      vector<double>dp(amount + 1, INT_MAX); 
      dp[0] = 0;
        for(int j = 0; j < coins.size(); j++) {//遍历物品
             cout<<"coin "<< j<<" :";
              for(int i = coins[j]; i <= amount ; i++) {//遍历背包
              //if(dp[i - coins[j]] != INT_MAX) {// 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
                   if(i - coins[j] >= 0) {
                   dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
                 //  cout<<i<<":"<<dp[i]<<" ";
              }
              //cout<<endl;
          }

      }
      if(dp[amount] == INT_MAX) return -1;
      return dp[amount];
    }
};

279. 完全平方数

1. dp数组以及下标名义

dp[j]：目标为j的完全平方数最少的数量。

2. 递归公式

1时，dp[1]=1.dp[2] = 2;…;
2时，dp[1]=1;dp[2]=2;dp[3]=3;dp[4]=1;dp[5]=2;dp[6]=3;dp[7]=4;dp[8]=2
3时，dp[1]=1;dp[2]=1;dp[3]=2;dp[4]=2;dp[5]=2;dp[6]=3;dp[7]=4;dp[8]=2；dp[9]=1;dp[10]=2
dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
递推公式：dp[j] = min(dp[j],dp[j - i *i] +1);

3. dp数组如何初始化

dp[0] = 0;

4. 遍历顺序:组合与排列都可以，因为不影响本题求解

5. 代码

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<double>dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for(int i = 0; i <= sqrt(n); i++) {
            for(int j = i * i; j <= n; j++) {
                if(j - i * i >= 0)
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
        return dp[n];

    }
};