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一、题目

1、题目描述

输入格式：

输入的第一行为一个整数 NN（表示 N \times NN×N 的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的 00 表示输入结束。

输出格式：

只需输出一个整数，表示 22 条路径上取得的最大的和。

输入样例：

8
2 3 13
2 6  6
3 5  7
4 4 14
5 2 21
5 6  4
6 3 15
7 2 14
0 0  0

输出样例：

67

3、原题链接

方格取数

二、解题报告

1、思路分析

       (1)由题意可知，我们要从A到B走两次。我们用一个数组f[i1][j1][i2][j2]表示从（1,1）走到(i1,j1)(i2,j2)路径的最大值。

       (2)我们令k = i1 + j1 = i2 + j2,为什么i1 + j1 = i2 + j2呢，其实i1 + j1 和 i2 + j2表示的就是表示两个点分别在x轴y轴走的距离，也就是走的步数，即k表示走的步数。这样我们就可以用k - i表示j，可以把f数组降为三维，即f[k,i1,i2],他表示从（1,1）走到(i1,k- i1)(i2,k - i2)路径的最大值.

       (3)下面我们来分析一下所有可能的情况：
            因为两个点(i1,j1)(i2,j2)都有向右和向下两个运动方向，所以一共有四种状态。

1. 当两个点都向下运动时，f[k][i1][i2] = max(x,f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t)。
2. 当第一个点向下另一个店向右时，f[k][i1][i2] = max(x,f[k - 1][i1 - 1][i2] + t)。
3. 当第一个点向右另一个店向下时，f[k][i1][i2] = max(x,f[k - 1][i1][i2 - 1] + t)。
4. 当两个点都向右运动时，f[k][i1][i2] = max(x,f[k - 1][i1][i2] + t)。

注意：式子中的t表示两个点运动后路径的增加值。

2、代码详解

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 20,M = 40;

int n;
int f[M][N][N];//f[k][i1][i2]表示从（1,1）分别走到（i1,k - i1）和（i2,k - i2）的最大和
int w[N][N];

int main() {
    cin >> n;

    int a,b,c;
    while(cin >> a >> b >> c,a || b || c) w[a][b] = c;

    for(int k = 2;k <= n + n;k++) {//遍历所有走的步数
        for(int i1 = 1;i1 <= n;i1++) {//遍历所有第一个点的情况
            for(int i2 = 1;i2 <= n;i2++) {//遍历所有第二个点的情况

                int j1 = k - i1,j2 = k - i2;//纵坐标
                if (j1 >= 1 && j1 <= n && j2 >= 1 && j2 <= n) {

                    int t = w[i1][j1];
                    if(i1 != i2) t += w[i2][j2];
                    int &x = f[k][i1][i2];
                    x = max(x,f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t);//两个点都向下运动
                    x = max(x,f[k - 1][i1 - 1][i2] + t);//第一个点向下另一个店向右
                    x = max(x,f[k - 1][i1][i2 - 1] + t);//第一个点向右另一个店向下
                    x = max(x,f[k - 1][i1][i2] + t);//两个点都向右运动
                }
            }
        }
    }

    cout << f[n + n][n][n] << endl;

    return 0;
}

三、本题知识

动态规划