1.最长递增子序列
接下来,我们依然用动规五部曲来详细分析一波:
- dp[i]的定义
本题中,正确定义dp数组的含义十分重要。
dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
为什么一定表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ,因为我们在 做 递增比较的时候,如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小,那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾 和 nums[i]为结尾, 要不然这个比较就没有意义了,不是尾部元素的比较那么 如何算递增呢。
这样想有点抽象。看个具体的例子:
2.状态转移方程
位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
所以:if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较,而是我们要取dp[j] + 1的最大值。
3.dp[i]的初始化
每一个i,对应的dp[i](即最长递增子序列)起始大小至少都是1.
4.确定遍历顺序
dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来,那么遍历i一定是从前向后遍历。
j其实就是遍历0到i-1,那么是从前到后,还是从后到前遍历都无所谓,只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。
遍历i的循环在外层,遍历j则在内层,代码如下:
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}
5.举例推导dp数组
输入:[0,1,0,3,2],dp数组的变化如下:
如果代码写出来,但一直AC不了,那么就把dp数组打印出来,看看对不对!
以上五部分析完毕,C++代码如下:
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
if (nums.size() <= 1) return nums.size();
vector<int> dp(nums.size(), 1);
int result = 0;
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}
return result;
}
};
2.最长连续递增序列
动规五部曲分析如下:
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i]:以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。
注意这里的定义,一定是以下标i为结尾,并不是说一定以下标0为起始位置。
2.确定递推公式
如果 nums[i] > nums[i - 1],那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。
即:dp[i] = dp[i - 1] + 1;
注意这里就体现出和动态规划:300.最长递增子序列 (opens new window)的区别!
因为本题要求连续递增子序列,所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1],而不用去比较nums[j]与nums[i] (j是在0到i之间遍历)。
既然不用j了,那么也不用两层for循环,本题一层for循环就行,比较nums[i] 和 nums[i - 1]。
这里大家要好好体会一下!
3.dp数组如何初始化
以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1,即就是nums[i]这一个元素。
所以dp[i]应该初始1;
4.确定遍历顺序
从递推公式上可以看出, dp[i + 1]依赖dp[i],所以一定是从前向后遍历。
本文在确定递推公式的时候也说明了为什么本题只需要一层for循环,代码如下:
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
dp[i] = dp[i - 1] + 1;
}
}
5.举例推导dp数组
已输入nums = [1,3,5,4,7]为例,dp数组状态如下:
注意这里要取dp[i]里的最大值,所以dp[2]才是结果!
以上分析完毕,C++代码如下:
class Solution {
public:
int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
if (nums.size() == 0) return 0;
int result = 1;
vector<int> dp(nums.size() ,1);
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
dp[i] = dp[i - 1] + 1;
}
if (dp[i] > result) result = dp[i];
}
return result;
}
};
在动规分析中,关键是要理解和动态规划:300.最长递增子序列 (opens new window)的区别。
要联动起来,才能理解递增子序列怎么求,递增连续子序列又要怎么求。
概括来说:不连续递增子序列的跟前0-i 个状态有关,连续递增的子序列只跟前一个状态有关
还有一种贪心的算法:
遇到nums[i] > nums[i - 1]的情况,count就++,否则count为1,记录count的最大值就可以了。
代码如下:
class Solution {
public:
int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
if (nums.size() == 0) return 0;
int result = 1; // 连续子序列最少也是1
int count = 1;
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
count++;
} else { // 不连续,count从头开始
count = 1;
}
if (count > result) result = count;
}
return result;
}
};
3。最长重复子数组:
注意题目中说的子数组,其实就是连续子序列。
动规五部曲分析如下:
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i][j] :以下标i - 1为结尾的A,和以下标j - 1为结尾的B,最长重复子数组长度为dp[i][j]。 (特别注意: “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 )
此时细心的同学应该发现,那dp[0][0]是什么含义呢?总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。
其实dp[i][j]的定义也就决定着,我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始。
那有同学问了,我就定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A,和以下标j 为结尾的B,最长重复子数组长度。不行么?
行倒是行! 但实现起来就麻烦一点,需要单独处理初始化部分,在本题解下面的拓展内容里,我给出了 第二种 dp数组的定义方式所对应的代码和讲解,大家比较一下就了解了。
2.确定递推公式
根据dp[i][j]的定义,dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。
即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候,dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
根据递推公式可以看出,遍历i 和 j 要从1开始!
3.dp数组如何初始化
根据dp[i][j]的定义,dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的!
但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值,因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。
举个例子A[0]如果和B[0]相同的话,dp[1][1] = dp[0][0] + 1,只有dp[0][0]初始为0,正好符合递推公式逐步累加起来。
4.确定遍历顺序
外层for循环遍历A,内层for循环遍历B。
那又有同学问了,外层for循环遍历B,内层for循环遍历A。不行么?
也行,一样的,我这里就用外层for循环遍历A,内层for循环遍历B了。
同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。
代码如下:
for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
}
}
5.举例推导dp数组
拿示例1中,A: [1,2,3,2,1],B: [3,2,1,4,7]为例,画一个dp数组的状态变化,如下:
以上五部曲分析完毕,C++代码如下:
// 版本一
class Solution {
public:
int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
vector<vector<int>> dp (nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));
int result = 0;
for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
}
}
return result;
}
};
滚动数组
在如下图中:
我们可以看出dp[i][j]都是由dp[i - 1][j - 1]推出。那么压缩为一维数组,也就是dp[j]都是由dp[j - 1]推出。
也就是相当于可以把上一层dp[i - 1][j]拷贝到下一层dp[i][j]来继续用。
此时遍历B数组的时候,就要从后向前遍历,这样避免重复覆盖。
因为要用到上层的前面的值,说白了就是左上角的值,只有从后往前遍历才会原来二维数组左上角的值。
// 版本二
class Solution {
public:
int findLength(vector<int>& A, vector<int>& B) {
vector<int> dp(vector<int>(B.size() + 1, 0));
int result = 0;
for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
for (int j = B.size(); j > 0; j--) {
if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
dp[j] = dp[j - 1] + 1;
} else dp[j] = 0; // 注意这里不相等的时候要有赋0的操作
if (dp[j] > result) result = dp[j];
}
}
return result;
}
};
注意那个赋0的操作
如果是二维数组那没关系,因为这层的值不会继承到下层,而滚动数组,也就是一维,虽然初始化为0,但是如果你这层不去赋值,也就是不操作,那你上层的会直接继承下来影响下一层的判断
前面讲了 dp数组为什么定义:以下标i - 1为结尾的A,和以下标j - 1为结尾的B,最长重复子数组长度为dp[i][j]。
我就定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A,和以下标j 为结尾的B,最长重复子数组长度。不行么?
当然可以,就是实现起来麻烦一些。
如果定义 dp[i][j]为 以下标i为结尾的A,和以下标j 为结尾的B,那么 第一行和第一列毕竟要进行初始化,如果nums1[i] 与 nums2[0] 相同的话,对应的 dp[i][0]就要初始为1, 因为此时最长重复子数组为1。 nums2[j] 与 nums1[0]相同的话,同理。
所以代码如下:
// 版本三
class Solution {
public:
int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
vector<vector<int>> dp (nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));
int result = 0;
// 要对第一行,第一列经行初始化
for (int i = 0; i < nums1.size(); i++) if (nums1[i] == nums2[0]) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < nums2.size(); j++) if (nums1[0] == nums2[j]) dp[0][j] = 1;
for (int i = 0; i < nums1.size(); i++) {
for (int j = 0; j < nums2.size(); j++) {
if (nums1[i] == nums2[j] && i > 0 && j > 0) { // 防止 i-1 出现负数
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
}
}
return result;
}
};
大家会发现 这种写法 一定要多写一段初始化的过程。
而且为了让 if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
收集到全部结果,两层for训练一定从0开始遍历,这样需要加上 && i > 0 && j > 0
的判断。
相对于版本一来说还是多写了不少代码。而且逻辑上也复杂了一些。 优势就是dp数组的定义,更直观一点。