高斯分布

正态分布，又称Gauss分布，其概率密度函数入下图所示

正态分布$N(\mu ,\sigma )$受到期望$\mu$和方差${\sigma }^2$的调控，其概率密度函数为

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp [-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}]$$

当$\mu =0$而$\sigma =1$时，为标准正态分布$N(0,1)$，对应概率分布函数为$\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{x^2}{2}]$。

逆高斯分布简介

在布朗运动中，高斯分布描述的是某一固定时刻距离的分布；而逆高斯分布则是达到固定距离所需时间的分布。

所以逆高斯分布的逆取自于物理意义，而非在表达式上有什么“逆”的地方，其PDF为

$$p(x)=\sqrt{\frac{\lambda }{2\pi x^3}}\exp [-\frac{\lambda (x-\mu {)}^2}{2{\mu }^{2}x}]$$

在scipy.stats中提供了invgauss函数，但其默认$\lambda =1$。当$\lambda$趋近于无穷大时，逆高斯分布趋向于高斯分布。

特别地，当$\mu =\lambda =1$时，逆高斯分布又被称为Wald分布，其概率密度函数表达式为

$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi x^3}}\exp [-\frac{(x-1{)}^2}{2x}]$$

scipy.stats中也封装了wald函数，即wald。

通过高斯分布构造逆高斯分布

通过正态分布和均匀分布的随机数，可以生成逆高斯分布的随机数，设$\nu$服从标准正态分布；z服从标准均匀分布，则令

$$x=\mu +\frac{{\mu }^2{\nu }^2}{2\lambda }-\frac{\mu }{2\lambda }\sqrt{4\mu \lambda {\nu }^2+{\mu }^2{\nu }^4}$$

若$z⩽\frac{\mu }{\mu +x}$，则返回$x$，否则返回$\frac{{\mu }^2}{x}$

考虑到invgauss默认$\lambda =1$，所以$x$的生成式改为$x=\mu +\frac{{\mu }^2{\nu }^2}{2}-\frac{\mu }{2}\sqrt{4\mu {\nu }^2+{\mu }^2{\nu }^4}$

import numpy as np
from scipy.stats import norm, invgauss, uniform
import matplotlib.pyplot as plt

nu = norm.rvs(size=10000)
mu = 1      # 设mu=1
n2, m2 = nu**2, mu**2
x = mu + m2*n2/2-mu/2*np.sqrt(4*mu*n2+m2*nu**4)

z = uniform.rvs(size=10000)
flag = z<(mu/(mu+x))

rs = flag*x + (1-flag)*m2/x


rv = invgauss(mu)
st, ed = rv.interval(0.995)
xs = np.linspace(st, ed, 200)

def drawPDF(rs, xs, ys):
    plt.figure(figsize=(5,3))
    plt.hist(rs, density=True, bins=100, alpha=0.8)
    plt.plot(xs, ys)
    plt.tight_layout()
    plt.show()

drawPDF(rs, xs, rv.pdf(xs))

结果如下