在阅读本文前，请确保你已经掌握代价函数、假设函数等常用机器学习术语，最好已经学习线性回归算法，前情提要可参考https://blog.csdn.net/weixin_45434953/article/details/130593910

分类问题是十分广泛的一个问题，其代表问题是：

• 一个邮件是否为垃圾邮件
• 一个肿瘤是否为恶性肿瘤

我们通常用y来表示分类结果，其中最简单y值集合为$0,1$，比如对于一个邮件是否为垃圾邮件，有“是垃圾邮件（1）”和“不是垃圾邮件（0）”两种y的取值。假设以肿瘤大小为x轴，是否为恶性肿瘤为y轴，并且有如下一个数据集：

很显然，这个数据集合是无法使用之前学习的线性回归集合进行拟合的。因为一旦将直线延长，就会出现一个大概率是恶性肿瘤的数据被判定为良性，如下图所示

要解决这个问题，可以使用logistic回归算法，下面我们将会学习这个算法。

Logistic回归算法

作为一个回归算法，Logistics回归算法当然也有假设函数$h_{\theta }(x)={\theta }^{T}x$（其中x是一个向量），我们将数据集输入到x中，最后会输出个预测结果y。当然，由于我们要解决的是分类问题，如上面分析所示，我们的$h_{\theta }(x)$的取值应该是位于$[0,1]$之间，而传统的$h_{\theta }(x)$函数的取值范围是整个实数域，因此我们要改造下$h_{\theta }(x)$函数，让他的取值范围落在$[0,1]$之间。因此我们定义Logistic回归算法的$h_{\theta }(x)$函数如下所示：
$$h_{\theta }(x)=g({\theta }^{T}x)\text{\hspace{1em}(1)}$$$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}\text{\hspace{1em}(2)}$$上面的2式被称之为Logistic函数，或者称为Sigmoid函数。该函数的图像如下：

对于$z\in R$，Logistics函数的取值范围是$[0,1]$，因此，将（1）（2）结合起来可以得到$$h_{\theta }(x)=\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}x}}$$该函数的取值范围为[0,1]

我们需要做的，和之前线性回归一样，就是选定合适的参数$\theta$来拟合我们的数据，从而在输入一定特征x的时候，可以获得正确的输出结果y。我们知道分类问题的结果一般只有0或1，而假设函数$h_{\theta }(x)$的结果则代表着在输入特征为x的情况下，y=1的概率是多少，比如说，向量$x_0$代表着0号肿瘤的所有特征，$h_{\theta }(x_0)=0.7$也就意味着该肿瘤为恶行的几率为0.7。

决策界限

那么当$h_{\theta }(x)$等于多少的时候，我们会认为y=1呢？一个最简单的办法就是：当$h_{\theta }(x)\ge 0.5$的时候，我们认为当前情况下y=1；当$h_{\theta }(x)<0.5$的时候，我们认为y=0。我们再观察回Logistics函数，可以发现，当$z\ge 0$的时候$h_{\theta }(x)\ge 0.5$，也就是当${\theta }^{T}x\ge 0$。

现在假设我们有如下的数据集，并且假设函数$h_{\theta }(x)$如下：

我们假设${\theta }_0=-3,{\theta }_1=1,{\theta }_2=1$，那么我们可以在数据集上画出这样的一条线：

这将平面分为了两部分，其中在直线之下的会使得$h_{\theta }(x)<0.5$，我们会估计落在这部分的数据y=0。这一条切分平面的直线，我们称之为决策边界

Logistic下的代价函数

接下来我们需要分析Logistics回归算法的代价函数，让我们来复习下，代价函数主要是用来衡量算法输出结果和实际的正确值的拟合程度，代价函数$J(\theta )$主要作用就是找到合适的$\theta$值，使得代价函数$J(\theta )$最小，从而使得算法拟合效果最优。 一般的代价函数表达式如下：
$$J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}Cost(h_{\theta }(x^{(i)}),y)$$我们之前学习的线性回归算法的Cost函数为$Cost(h_{\theta }(x^{(i)}),y)=(h_{\theta }(x_{(i)})-y_{(i)}{)}^2$但是如果在Logistics中使用这种Cost函数会导致代价函数为一个非凸函数，这主要是因为Logistics的假设函数$h_{\theta }(x)$中含有指数项的原因，在这不展开阐述，总之，其函数可能会类似于下图的形状。

可以看到上面有很多的局部最优值，如果使用梯度下降函数，它在大多数情况是无法拟合到最优值的。那么我们的需求就很清晰了，我们希望可以找到一个Cost函数，可以使得$J(\theta )$的函数是一个凸函数，或者单弓型函数。那么实际上，他的Cost函数如下：
$$\begin{array}{c}Cost(h_{\theta }(x^{(i)}),y)=\{\begin{array}{ll}-log(h_{\theta }(x))& ify=1\\ -log(1-h_{\theta }(x))& ify=0\end{array}\end{array}$$
看起来式子十分复杂，但是容我仔细分析下：上文提到，h(x)代表的是算法认为y=1的概率是多少，并且$h(x)\in [0,1]$，那么当y=1的时候，Cost曲线如下图所示：

当h(x)越接近1，Cost函数的值越接近0，这样得出来的代价函数也越小。也就是在真实结果y=1的情况下，如果h(x)=1，也就是函数认为该实例一定为1，证明它完全预测成功了，那么Cost=0，最终得出的代价函数也会非常小，即使h(x)=0.9，也就是函数认为有90%的概率该实例为1，那Cost的值还不到0.05，最终代价函数的增加幅度也很小，因为它确实也大概率预测成功了。如果他对于一个y=1的实例预测值为0，也就是他认为该实例不可能为1，那么Cost函数将会狠狠地"惩罚"这个学习算法，Cost的值会直接趋于无穷大，从而导致代价函数也无穷大，很明显，这是一个很糟糕的$\theta$取值

反之，如果y=0的时候其函数图像如下：

很显然，这和上面刚好相反。举一反三即可。

代价函数的简化和梯度下降

上面的Logistics代价函数可以总结为两个式子：
$$J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}Cost(h_{\theta }(x^{(i)}),y)\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$\begin{array}{c}Cost(h_{\theta }(x^{(i)}),y)=\{\begin{array}{ll}-log(h_{\theta }(x))& ify=1\\ -log(1-h_{\theta }(x))& ify=0\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
当然，由于y只有等于1或者等于0两种取值，我们可以将2式简化为如下形式:$$Cost(h_{\theta }(x^{(i)}),y)=-ylog(h_{\theta }(x))-(1-y)log(1-h_{\theta }(x))\text{\hspace{1em}(3)}$$观察可以知道，3式和2式是等价的。

将他们合起来就得到了代价函数$J(\theta )$$$J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}[-ylog(h_{\theta }(x))-(1-y)log(1-h_{\theta }(x))]$$

求得最小代价函数的任务自然就交给了梯度下降算法，对于每一个变量${\theta }_j$反复采取以下式子处理：$${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J(\theta )$$另外我们已经知道$J(\theta )$，对导数进行计算可以得出$$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^n(h_{\theta }(x^{(i)}-y(i))x_j^{(i)}$$则可以得出梯度下降的实际函数为$${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^n(h_{\theta }(x^{(i)}-y(i))x_j^{(i)}$$由于我们的代价函数已经是一个凹函数了，那梯度下降是可以得到最优值的。上述的例子中，为了方便理解，$\theta$中只有一个值，一个数据实例中也只有一个特征x来用于预测y的取值，实际上运用的时候，$\theta$可以是一个含有多个元素的向量，当数据集给出若干个特征$x_i$的时候，可以用Logistics来进行拟合