2022年长三角高校数学建模竞赛
A题 学在长三角
原题再现：
长三角高等教育规模和优质高等教育资源数量处于全国领先水平。从 2019年和 2013-2019 年的平均值来看，长三角地区人口数量在全国占比分别是 16.22％和 16.10％，GDP 在全国占比分别是 24％和 23.51％。全国 1/6 左右的人口规模贡献了全国近 1/4 的国内生产总值，经济实力雄厚。从高等教育领域来看，在京津冀、长三角、粤港澳、川渝陕四大高校教育集群中，长三角地区高等教育资源体量最大，优质资源也较为集中。2019 年长三角地区拥有全国 17.08％的普通高等学校，本科院校 221 所，占全国的 17.47％。在优质高校方面，长三角地区拥有 35 所“双一流”建设大学和 41 所“双高计划”学校，分别占全国的 25.55％和20.81％。2021 年泰晤士高等教育世界大学排名显示，长三角地区共有 6 所高校进入世界前五百名：中国科学技术大学、浙江大学、南京大学、复旦大学、上海交通大学、同济大学，占全国高校进入世界前五百排名的 35.29％[1]。
小李同学的弟弟在杭州某中学读书，今年高三即将参加高考，目前成绩情况估计在今年全省所有报考人数的前 10%左右，爱好广泛，喜欢运动、网游、动漫、科幻、智能汽车、无人机等。小李一家人商量，为了离家不要太远，今年弟弟报考大学打算就在长三角的范围内，现在他们一家人求助于你们的团队，为他弟弟升学制定一个学校和专业预填报计划。请你们搜集相关数据，建立数学模型，讨论并解决以下问题：
1、长三角高校中，排名实力最强的二十所高校是哪些？
2、参照 2021 年的浙江省高考志愿填报规则和相关高校的招生计划数，为小李的弟弟制定高考志愿填报方案，并分析该方案的合理性？
3、在填报志愿时，发现长三角地区高等教育不平衡，请你们的团队量化分析长三角高等教育发展现状，并研究高等教育的发展和哪些因素有关？
4、预测研究长三角高等教育未来 5 年或更长一段时间的发展情况，并为长三角高等教育的未来发展规划提出建议？
整体求解过程概述(摘要)
本文基于因子分析法和模糊综合评价法，分析了长三角地区高校的实力发展情况，并帮助小李同学的弟弟的升学制定了学校和专业的预填报计划。
针对问题 1，本文搜集了长三角地区的所有高校，从学科基础、科研成果、学术实力三个方面选取了8个因子建立了综合评价模型。
由于长三角地区高校数量庞大，本文选择以双一流高校和省级重点建设高校为分析对象。首先对于数据进行标准化，其次采用主成分分析法对于8个因子进行降维处理，得到三个主因子及其权重，利用综合评价模型计算出不同高校的得分，对其进行排名得到综合实力最强的前20个高校依次为：浙江大学、上海交通大学、复旦大学、同济大学、南京大学、中国科学技术大学、东南大学、苏州大学、华东师范大学、上海大学、扬州大学、河海大学、南京理工大学、南京师范大学、中国矿业大学、合肥工业大学、华东理工大学、南京农业大学、南京航空航天大学、江苏大学。
针对问题 2，首先利用近五年浙江省高考人数拟合出高考人数变化曲线，并预测出2022年浙江省的高考人数，根据已知小李同学弟弟的排名求出他在2022年可能的位次区间。其次结合小李同学弟弟的报考要求，选取了地理位置、大学排名、兴趣专业、录取概率四个因子，利用层次分析法确定因子的权重，并建立模糊综合评价模型，进而计算出选取学校及其专业的最优评分解，求解得到该考生的80个高考志愿填报顺序。
针对问题 3，本文从两个方面来分析长三角地区的高等教育发展现状，一方面站在全国角度，选取生产总值、学校水平、师资力量、学校资源和学校规模五个因子进行分析，得到以下结论：长三角地区的双一流高校需要加强建设；长三角地区中级教师数量不足；长三角地区的传统教学模式存在低迷的趋势。另一方面对于长三角地区内的“三省一市”进行省市间的对比，发现在三省一市中，江苏省高等教育水平最高，而安徽省劣势地位明显。
其次从经济发展水平和人民生活水平两个方面出发，取出13个指标因子，先利用主成分分析法对其进行降维处理，接着利用相关性分析验证主因子与目标水平的相关性，最后利用多元回归分析，建立高等教育发展相关因子分析模型，求解指标因子的相关程度。得到结论：在经济方面，生产总值、城镇化水平以及生产总值增长率与高等教育发展有关；在人民生活水平方面，医疗水平和交通建设水平与高等教育发展有关。
针对问题 4，本文用长三角地区每十万人口中大学生在校生数来量化长三角地区高等教育发展水平，并基于二次指数平滑法的时间序列预测模型预测出长三角高等教育未来5年的数据。最后结合问题三的结果，对长三角地区的高等教育发展给出建议。
本文最后讨论了模型的优缺点，并对模型的应用与推广做了进一步的思考。
模型假设：
（1） 假设 2022 年长三角地区各高校的招生人数跟 2021 年的一致。
（2） 假设 2022 各高校的各专业最低录取位次与 2021 年一致。
（3） 假设不考虑考生的主观因素对整体报考结果的影响。
（4） 设该考生属于普通类的平行录取，即考生不属于艺术生、体育生和提前批录取。
问题分析：
针对问题 1
要对于评估出长江三角洲城市群中综合实力最强的前20所高校，首先我们需要先找出位于长三角区域有哪些高校。由于目标是求实力最强的高校，因此，我们以双一流高校和省级重点建设高校为主要目标院校，进而缩小搜索范围，最终确定了65所重点院校。然后，由于最后是求综合实力最强的排名，所以我们从学校的学科基础、科研成果、学术实力三个方面选取了8个因子来进行量化处理。对于选取的8个因子，我们分析了因子之间的相关性，发现因子间的信息有着较大的重合，所以我们利用主成分分析法，对因子进行降维处理，最终选取三个综合因子，建立综合评价模型，进而求出所有院校的综合实力排名。
针对问题 2
第二问要求我们参照2022年的浙江省高考志愿填报规则和相关高校的招生计划数，为考生制定高考志愿填报方案。首先我们利用前几年的浙江省高考数量来拟合函数，预测今年的考生数量。由已知该考生的大概的省排名，确定该考生排名的置信区间，从而确定考生的具体位次范围。之后再类比2021年的高考数据，筛选考生可选择的学校及其专业的范围。最后选取影响高考考生志愿填报的指标，地理位置、大学排名、兴趣专业、录取概率。量化指标后，利用层次分析法确定指标的权重，建立模糊综合评价模型计算出选取学校及其专业的最优解评分，排序后则得到了高考志愿填报方案。
针对问题 3
要分析长三角地区高等教育发展现状，可以从两个角度出发。首先，站在全国角度进行分析，选取经济发展、学校水平、师资人数、学校资源以及学校规模五个指标，将全国数据与长三角地区数据对比分析，进而得到在全国范围内，长三角地区的高等教育的水平以及哪些方面具有短板，综合得出结论。其次对于长三角地区内的“三省一市”进行分析，进而得到不同省份在不同领域具有什么样的优势。
为了研究高等教育的发展和哪些因素有关，我们将上述指标细化为13个更精准的因子，并将其重新归为两类：经济发展水平和个人生活水平。选择每十万人口中大学生在校学生数做为某地区高等教育发展水平的衡量指标，利用主成分分析法，相关性分析以及多元回归分析，建立高等教育发展相关因子分析模型，进而得出在经济发展水平和个人生活水平上哪些因素与高等教育发展水平有关。
针对问题 4
题目要求预测研究长三角高等教育未来5年或更长一段时间的发展情况，我们将每十万人口高校平均在校数来量化代表长三角高等教育的发展水平，收集有关的数据，根据数据之间的关系，寻找合适的算法建立时间序列模型，来对未来 5 年长三角高等教育的发展情况进行预测。再结合第三问的结果并查询相关资料，对长三角高等教育的未来发展规划提出建议。
模型的建立与求解整体论文缩略图
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部分程序代码：(代码和文档not free)
1. clc;clear;
2. A=[1 1/7 1/2 1/5;7 1 3 2;2 1/3 1 2;5 1/2 1/2 1];
3. [n,n] = size(A);
4. % % % % % % % % % % % % %方法 1： 算术平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
5. Sum_A = sum(A);
6. SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
7. Stand_A = A ./ SUM_A;
8. disp('算术平均法求权重的结果为：');
9. disp(sum(Stand_A,2)./n)
10. % % % % % % % % % % % % %方法 2： 几何平均法求权重% % % % % % % % % % % % %
11. Prduct_A = prod(A,2);
12. Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);
13. disp('几何平均法求权重的结果为：');
14. disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
15. % % % % % % % % % % % % %方法 3： 特征值法求权重% % % % % % % % % % % % %
16. [V,D] = eig(A);
17. Max_eig = max(max(D));
18. [r,c]=find(D == Max_eig , 1);
19. disp('特征值法求权重的结果为：');
20. disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
21. % % % % % % % % % % % % %下面是计算一致性比例 CR 的环节% % % % % % % % % % % % %
22. CI = (Max_eig - n) / (n-1);
23. RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
24. % 这里 n=2 时，一定是一致矩阵，所以 CI = 0，我们为了避免分母为 0，将这里的第二个元素改为了很
接近 0 的正数
25. CR=CI/RI(n);
26. disp('一致性指标 CI=');disp(CI);
27. disp('一致性比例 CR=');disp(CR);
28. if CR<0.10
29. disp('因为 CR<0.10，所以该判断矩阵 A 的一致性可以接受!');
30. else
31. disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵 A 需要进行修改!');
32. end
