算法|10.从暴力递归到动态规划3
1.纸牌游戏
题意：给定一个整型数组arr（都是正数），代表数值不同的纸牌排成一条线。玩家A和玩家B依次拿走每张纸牌，规定玩家A先拿，玩家B后拿。但是每个玩家每次只能拿走最左或最右的纸牌。玩家A和玩家B都绝顶聪明，请返回最后获胜者的分数。
解题思路：
- “绝顶聪明”，意味着他们会尽可能保证自己拿的分数高，同时对手得到的分数低。
- 这里分成了先手姿态和后手姿态
核心代码：
递归代码：
public static int win1(int[] arr) {
if(arr==null||arr.length==0){
return 0;
}
int first=f1(arr,0, arr.length-1);
int second=g1(arr,0,arr.length-1);
return Math.max(first,second);
}
public static int f1(int[] arr, int L, int R) {
if(L==R){
return arr[L];
}
int p1=arr[L]+g1(arr,L+1,R);
int p2=arr[R]+g1(arr,L,R-1);
return Math.max(p1,p2);
}
public static int g1(int[] arr, int L, int R) {
if(L==R){
return 0;
}
int p1=f1(arr,L+1,R);
int p2=f1(arr,L,R-1);
return Math.min(p1,p2);
}
缓存的方法：
public static int win2(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length == 0) {
return 0;
}
int N = arr.length;
int[][] fmap = new int[N][N];
int[][] gmap = new int[N][N];
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++) {
fmap[i][j] = -1;
gmap[i][j] = -1;
}
}
int first = f2(arr, 0, arr.length - 1, fmap, gmap);
int second = g2(arr, 0, arr.length - 1, fmap, gmap);
return Math.max(first, second);
}
// arr[L..R]，先手获得的最好分数返回
public static int f2(int[] arr, int L, int R, int[][] fmap, int[][] gmap) {
if (fmap[L][R] != -1) {
return fmap[L][R];
}
int ans = 0;
if (L == R) {
ans = arr[L];
} else {
int p1 = arr[L] + g2(arr, L + 1, R, fmap, gmap);
int p2 = arr[R] + g2(arr, L, R - 1, fmap, gmap);
ans = Math.max(p1, p2);
}
fmap[L][R] = ans;
return ans;
}
// // arr[L..R]，后手获得的最好分数返回
public static int g2(int[] arr, int L, int R, int[][] fmap, int[][] gmap) {
if (gmap[L][R] != -1) {
return gmap[L][R];
}
int ans = 0;
if (L != R) {
int p1 = f2(arr, L + 1, R, fmap, gmap); // 对手拿走了L位置的数
int p2 = f2(arr, L, R - 1, fmap, gmap); // 对手拿走了R位置的数
ans = Math.min(p1, p2);
}
gmap[L][R] = ans;
return ans;
}
dp代码：
public static int win3(int[] arr) {
int N = arr.length;
int[][] fmap = new int[N][N];
int[][] gmap = new int[N][N];
for (int i = 0; i < N; i++) {
fmap[i][i] = arr[i];
}
for (int startCol = 1; startCol < N; startCol++) {
int L = 0;
int R = startCol;
while (R < N) {
fmap[L][R] = Math.max(arr[L] + gmap[L + 1][R], arr[R] + gmap[L][R - 1]);
gmap[L][R] = Math.min(fmap[L + 1][R], fmap[L][R - 1]);
L++;
R++;
}
}
return Math.max(fmap[0][N - 1], gmap[0][N - 1]);
}
测试代码：
public static void main(String[] args) {
int[] arr = { 5, 7, 4, 5, 8, 1, 6, 9,10,3, 4,100, 6, 1, 7 };
System.out.println(win1(arr));
System.out.println(win2(arr));
System.out.println(win3(arr));
}
测试结果：
2.最长回文子串
题意：给定一个字符串str，返回这个字符串的最长回文子序列长度
比如 ： str = “a12b3c43def2ghi1kpm”，最长回文子序列是“1234321”或者“123c321”，返回长度7。
解题思路：
- 剩余的个数为1，返回1
- 剩余的个数为2，返回2
- 否则分都要，要左边，要右边，两边都要四种情况，最终取最大值
- 以上分类均给予坐标LR之间的关系
核心代码：
递归代码：
public static int lps(String s) {
if (s == null || s.length() == 0) {
return 0;
}
char[] str = s.toCharArray();
return f(str, 0, str.length - 1);
}
// str[L..R]最长回文子序列长度返回
public static int f(char[] str, int L, int R) {
if (L == R) {
return 1;
}
if (R - L == 1) {
return str[L] == str[R] ? 2 : 1;
}
int p1 = f(str, L + 1, R - 1);
int p2 = f(str, L, R - 1);
int p3 = f(str, L + 1, R);
int p4 = str[L] != str[R] ? 0 : (2 + f(str, L + 1, R - 1));
return Math.max(Math.max(p1, p2), Math.max(p3, p4));
}
dp代码：
public static int dp(String s) {
if (s == null || s.length() == 0) {
return 0;
}
char[] str = s.toCharArray();
int N = str.length;
int[][] dp = new int[N][N];
dp[N - 1][N - 1] = 1;
for (int i = 0; i < N - 1; i++) {
dp[i][i] = 1;
dp[i][i + 1] = str[i] == str[i + 1] ? 2 : 1;
}
for (int L = N - 3; L >= 0; L--) {
for (int R = L + 2; R < N; R++) {
dp[L][R] = Math.max(dp[L][R - 1], dp[L + 1][R]);
if (str[L] == str[R]) {
dp[L][R] = Math.max(dp[L][R], 2 + dp[L + 1][R - 1]);
}
}
}
return dp[0][N - 1];
}
测试：测试链接
区间范围尝试模型总结
改写dp：
例题总结：
