AVL树
- AVL树概念
- AVL树的插入
- 结点定义
- 插入流程
- 左单旋
- 右单旋
- 左右双旋
- 右左双旋
- 验证AVL树
AVL树概念
🚀AVL树是一颗平衡的二叉搜索树，所谓平衡是指左右子树的高度差的绝对值不超过1。所以一颗AVL树（如果不是空树）有以下性质：
左右子树都是AVL树
左右子树的高度差的绝对值不超过1
🚀为了维护左右子树高度差的绝对值不超过1，引入了平衡因子-bf（balance factor）的概念，bf的值为右子树的高度减去左子树的高度。
AVL树的插入
结点定义
namespace gy_AVL
{
template<class K, class V>
struct TreeNode
{
TreeNode<K,V>(const pair<K,V>& kv)
:_kv(kv)
{}
pair<K, V> _kv;
int _bf = 0;
TreeNode<K, V>* _left = nullptr;
TreeNode<K, V>* _right = nullptr;
TreeNode<K, V>* _parent = nullptr;
};
template<class K,class V>
class AVLTree
{
public:
typedef TreeNode<K, V> node;
private:
node* _root = nullptr;
};
}
插入流程
🚀AVL树的插入总体分为三步：
1，找到要插入的位置
2，将新结点插入，更新平衡因子
3，更新平衡因子时，查看是否需要旋转操作
更新平衡因子
如果新插入的结点是其parent结点的右子树，那么parent结点的bf++，相反如果是左子树那么parent结点的bf–。如果平衡因子调整完为0，不用继续向上调整。如果平衡因子调整完为-1或1，那么需要继续向上调整。如果平衡因子调整完为-2或2，那么需要进行旋转操作，旋转完后需要继续向上调整。
解释是否需要继续向上调整的原因
1.调整完bf = 0
调整完后bf = 0，说明调整前的bf为1或-1，调整完为0的原因是在左右子树较短的那颗树上插入了新的结点，所以这颗树的高度并没有发生变化，所以不需要继续向上调整平衡因子。
2.调整完bf = 1 或 = -1
调整完平衡因子为-1或1，说明调整前平衡因子为0，插入新的节点后增加了做左右子树的某一的高度，使得此树的高度加1，所以需要继续向上调整。
3.调整完bf = 2 或 = -2
调整完平衡因子为2或-2，说明调整前平衡因子为-1或1，而此插入的新结点位于高度较高的那颗子树上，使得此树不再平衡需要进行旋转处理，旋转的本质就是降低高度重新达到平衡，旋转完的高度与插入新节点之前的高度是一样的，所以旋转处理后不需要继续向上调整平衡因子。
🚀代码实现：
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new node(kv);
return true;
}
//找到要插入的位置
node* cur = _root;
node* prev = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
prev = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
prev = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false; //存在相同值，插入失败
}
}
node* newnode = new node(kv);
if (kv.first < prev->_kv.first)
{
prev->_left = newnode;
}
else
{
prev->_right = newnode;
}
node* parent = prev;
cur = newnode;
while (parent)
{
//调整平衡因子
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
//查看是否需要继续向上调整，或者做旋转操作
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
//继续向上调整
cur = cur->_parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
if (parent->_bf == 2 && parent->_right->_bf == 1) //左单旋
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && parent->_left->_bf == -1) //右单旋
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && parent->_left->_bf == 1) //左右双旋
{
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && parent->_right->_bf == -1) //右左双旋
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
左单旋
🚀对于上图中这种情况，只要在90的右子树插入新的结点那么就会使90结点的bf为1，60的bf为2，从而导致60这颗树就要进行旋转来降低高度维持平衡状态。
对于上图的这种画法解释：
上面这种图为抽象图，并不是指的某一种情况而是代表一类情况，下面将抽象图具体化一下：
1，h = 0
2，h = 1
3，h = 3
🚀左旋过程
1，首先统一结点名称：60为parent，90为subR，90的左子树为subRL。
2，subRL连接到parent的右子树位置。
3，parent连接到subR的左子树位置。
注意： 我们定义结点的时候都是定义的三指针结构，不要忘记对_parent指针做修改，同时左旋完成后subR的平衡因子与parent的平衡因子都是0。
🚀左单旋代码：
void RotateL(node* parent)
{
node* subR = parent->_right;
node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
{
subRL->_parent = parent;
}
subR->_left = parent;
node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (ppnode == nullptr)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subR;
subR->_parent = ppnode;
}
else
{
ppnode->_right = subR;
subR->_parent = ppnode;
}
subR->_bf = parent->_bf = 0;
}
右单旋
🚀对于上面这种情况，如果在50的左子树插入新的结点，会使50的bf为-1，60的bf为-2，从而导致需要进行旋转来降低高度维持平衡。
🚀右旋过程
1，首先统一结点名称：60为parent结点，50为subL结点，50的右子树为subLR结点。
2，subL结点的右子树连接到60的左子树位置。
3，parent结点连接到subL的右子树位置。
🚀右单旋代码：
void RotateR(node* parent)
{
node* subL = parent->_left;
node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
{
subLR->_parent = parent;
}
subL->_right = parent;
node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (ppnode == nullptr)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subL;
subL->_parent = ppnode;
}
else
{
ppnode->_right = subL;
subL->_parent = ppnode;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
左右双旋
🚀像上面这种情况，如果在55结点的左或者右子树的位置插入新的结点，都会使50的bf为1，60的bf为-2，从而导致左右双旋来降低高度维持平衡。
1，h = 0
当h = 0的时候55结点就是新插入的结点。
2，h = 1
3，h = 2
🚀左右双旋过程
1，首先统一名称：60为parent，50为subL结点，55为subLR结点。
2，对subL为根的子树进行左单旋。
3，对parent为根结点的树进行右单旋。
🚀注意 左右双旋完成后要对平衡因子做修正，subLR结点的平衡因子为0，单parent结点的bf值与subL结点的bf值，要根据最开始subLR结点的平衡因子确定（即新结点时插入在subLR的左子树还是右子树）
情况1：
情况2：
特殊情况 当subLR结点就是新插入的结点的时候，最终subL ，parent，subLR结点的平衡因子都是0。
🚀左右双旋代码：
void RotateLR(node* parent)
{
node* subL = parent->_left;
node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(subL);
RotateR(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
右左双旋
🚀像上图这样，如果在80结点的左子树或者右子树插入新的结点，会使60结点的bf值为2，90结点的bf为1，那么就要通过右左双旋的方式来降低树的高度从而维持平衡。
🚀右左双旋的过程：
1，首先统一名称：60结点为parent结点，90结点为subR结点，80结点为subRL结点。
2，对subR结点为根节点的子树做右单旋。
3，对parent结点为根结点的树做左单旋。
🚀平衡因子的修正
与左右双旋相同，右左双旋完成后仍然要对平衡因子做修正，针对的结点为subR，subRL，parent，主要分为以下情况。
情况1：
情况2：
🚀特殊情况，subRL结点为新插入结点
🚀右左双旋代码：
void RotateRL(node* parent)
{
node* subR = parent->_right;
node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(subR);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
验证AVL树
🚀验证AVL树需要验证两点：
1，是搜索树，即中序遍历是有序的。
2，是平衡树，即左右子树高度差绝对值不超过1，与结点的bf匹配。
bool isBalanceTree()
{
return _isbalanceTree(_root);
}
int _Height(node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int hL = _Height(root->_left);
int hR = _Height(root->_right);
return max(hL, hR) + 1;
}
bool _isbalanceTree(node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
int leftH = _Height(root->_left);
int rightH = _Height(root->_right);
int diff = rightH - leftH;
if (diff != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first<< " : 平衡因子异常" << endl;
}
if ((diff > 1 || diff < -1))
return false;
return _isbalanceTree(root->_left) && _isbalanceTree(root->_right);
}
🚀通过上面的代码就可以验证一颗AVL树是否正确。
