数组排序——从荷兰国旗问题到快速排序

news2024/11/17 22:55:47

本文首先将会介绍荷兰国旗问题，再讲述如何从该问题过渡到快速排序。

荷兰国旗问题

荷兰国旗问题（Dutch National Flag Problem）是由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra所提出，该问题的描述如下：

给定n个红、白、蓝三种颜色的小球，无序地排列在一起。对这些小球进行排序，使得所有相同颜色的球在一起，且颜色顺序依次为红、白、蓝。

因荷兰国旗的颜色从上到下分别为红、白、蓝，故该问题被称为荷兰国旗问题。
事实上，在Leetcode中，该问题又被描述为：

给定一个包含红色、白色和蓝色、共 n 个元素的数组 nums ，原地对它们进行排序，使得相同颜色的元素相邻，并按照红色、白色、蓝色顺序排列。我们使用整数 0、 1 和 2 分别表示红色、白色和蓝色。要求使用的空间复杂度为常数空间。

因此，荷兰国旗问题又被称为颜色分类问题。
针对该问题，其解决的算法采用双指针法。我们采用两个指针low和high，分别指向0和2，再使用变量mid对数量进行遍历。具体的步骤如下：

若mid遍历到的位置为0，则和low处的元素交换，同时向右移动low和mid。
若mid遍历到的位置为1，则不需要处理，只需向右移动mid。
若mid遍历到的位置为2，则和high处的元素交换，交换后只把high向左移动，mid仍然指向原位置。

整个算法的示意图如下：
荷兰国旗问题的算法示意图
上述算法的Python代码如下：

def sort_colors(nums):
    low, high, mid = 0, len(nums)-1, 0
    while mid <= high:
        if nums[mid] == 0:
            nums[low], nums[mid] = nums[mid], nums[low]
            low += 1
            mid += 1
        elif nums[mid] == 2:
            nums[high], nums[mid] = nums[mid], nums[high]
            high -= 1
        else:
            mid += 1
    return nums


if __name__ == '__main__':
    numbers = [1, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 1]
    result = sort_colors(numbers)
    print(result)

输出结果如下：

[0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2

快速排序

对于上述的荷兰国旗问题，我们可以将思路拓宽，用它来实现快速排序。
对于数组array，我们取其切片，即从位置low到high的数组片段（包括位置low和high），我们使用类似于荷兰国旗问题的思路，先选择一个数字作为枢纽（pivot），再找到合适的位置，使其作为小于pivot的数字排列和等于pivot的数字排列的分割点（类似于荷兰国旗问题中的数字0和1的分割点位置low）。
接着，我们再循环调用上述算法，实现整个数组（从位置0到长度-1的数组切片）的排序。
上述算法的Python实现代码如下：

def partition(array, low, high):
    pivot = array[low]
    a, b, c = low, high, low
    while c <= b:
        if array[c] < pivot:
            array[a], array[c] = array[c], array[a]
            a += 1
            c += 1
        elif array[c] > pivot:
            array[b], array[c] = array[c], array[b]
            b -= 1
        else:
            c += 1
    return a


def quick_sort(array, low, high):
    if low < high:
        pi = partition(array, low, high)
        # Recursive call on the left of pivot
        quick_sort(array, low, pi - 1)
        # Recursive call on the right of pivot
        quick_sort(array, pi + 1, high)
    return array


if __name__ == '__main__':
    n = 13
    my_list = list(range(n))
    from random import shuffle
    shuffle(my_list)
    print('排序前：', my_list)
    result = quick_sort(my_list, 0, len(my_list)-1)
    print('排序后：', result)

输出结果如下：

排序前： [12, 8, 7, 3, 1, 0, 4, 2, 9, 6, 11, 10, 5]
排序后： [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]

注意，该算法的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(1).
另外，还有其它的快速排序的实现代码，如下：

def quick_sort(array):
    n = len(array)
    if n <= 1:
        return array
    pivot = array[n//2]
    left = [x for x in array if x < pivot]
    middle = [x for x in array if x == pivot]
    right = [x for x in array if x > pivot]
    return quick_sort(left) + middle + quick_sort(right)