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讲解

（1）

$$将点C(3,1)代入直线y=-x+b，得$$

$$-3+b=1\therefore b=4$$
$$将点C(3,1)代入直线y=kx，得$$

$$3k=1\therefore k=\frac{1}{3}$$

$$\therefore b=4,k=\frac{1}{3}$$

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（2）

①当 $m=1$ 时，设 $D(1,a),E(1,b)$；

将点 $D(1,a)$ 代入直线 $y=-x+4$ 得
$a=3\therefore D(1,3)$

将点 $E(1,b)$ 代入直线 $y=\frac{1}{3}x$ 得
$b=\frac{1}{3}\therefore E(1,\frac{1}{3})$

$\therefore DE=|3-\frac{1}{3}|=\frac{8}{3}$

②当 $m=5$ 时，设 $D(5,a),E(5,b)$；

将点 $D(5,a)$ 代入直线 $y=-x+4$ 得
$a=-1\therefore D(5,-1)$

将点 $E(5,b)$ 代入直线 $y=\frac{1}{3}x$ 得
$b=\frac{5}{3}\therefore E(5,\frac{5}{3})$

$\therefore DE=|-1-\frac{5}{3}|=\frac{8}{3}$

综上，$m$ 分别为 $1$ 和 $5$ 时，正方形 $DEFG$ 的边长均为 $\frac{8}{3}$。

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（3）

要使正方形 $DEFG$ 面积为 $4$，
则需正方形 $DEFG$ 边长为 $2$，即 $DE=2$。

①若 $D,E$ 在点 $C$ 左侧，则 $y_D>y_E$。
当 $x=m$ 时：
$$y_D=-m+4,y_E=\frac{1}{3}m$$

$$\therefore DE=y_D-y_E=-\frac{4}{3}m+4$$

$$\because DE=2$$

$$-\frac{4}{3}m+4=2$$

$$解得m=\frac{3}{2}$$

②同理，若 $D,E$ 在点 $C$ 右侧，则 $y_D<y_E$。
当 $x=m$ 时：
$$y_D=-m+4,y_E=\frac{1}{3}m$$

$$\therefore DE=y_E-y_D=\frac{4}{3}m-4$$

$$\because DE=2$$

$$\frac{4}{3}m-4=2$$

$$解得m=\frac{9}{2}$$

综上，当 $m=\frac{3}{2}$ 或 $m=\frac{9}{2}$ 时，正方形 $DEFG$ 的面积为 $4$。

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（4）

①当正方形 $DEFG$ 的面积被 $y轴$ 平分时，$D,E$ 在点 $C$ 左侧，即 $y_D>y_E$。
$$DH=\frac{1}{2}DE$$

$$即x_D=\frac{1}{2}DE$$

$$\therefore m=\frac{1}{2}\times (-\frac{4}{3}m+4)$$

$$解得m=\frac{6}{5}$$

②当正方形 $DEFG$ 的面积被 $x轴$ 平分时，$D,E$ 在点 $C$ 右侧，即 $y_D<y_E$。
$$EH=\frac{1}{2}DE$$

$$即y_E=\frac{1}{2}DE$$

$$\therefore \frac{1}{3}m=\frac{1}{2}\times (\frac{4}{3}m-4)$$

$$解得m=6$$

综上，当 $m=\frac{6}{5}$ 或 $m=6$ 时，正方形 $DEFG$ 的面积被坐标轴平分。