语言(language)的计算性质：交、并、补、反转、拼接、星号（*）

星号是一元运算符，表示一个语言和自己的有穷次笛卡尔积。

回顾：正则语言（Regular Language）指可以用DFA描述的语言。

正则表达式

一个递归的定义。

其中，+、·和*的意义分别如下：

一个定理：
语言L可以被表示成某种正则表达式，iff语言L是正则的（可以用DFA描述）。

Generalized-NFA

将一个DFA写成正则表达式。从DFA读取单个字符（太麻烦）变为读取一个子串。

一个例子

再举一个例子。通过下面的步骤，我们可以将一个NFA转化成一个只有两个状态（起始和终止状态）的generalized-NFA。

许多语言是不正则的。

比如：

对于上述例子中的C，我们需要时刻记住DFA和NFA的特性：有限状态（有限的记忆）。对于C，它的潜在状态可能是无穷多的，所以不能被DFA表示。
对于上述例子中的D，其结果为：

DFA最小化定理

（什么意义下的最小？）

对于每个正则语言A，都有一个唯一的（在状态re-labeling的情况下）最小的DFA $M^{\ast }$，使得$A=L(M^{\ast })$。

一般地，最小NFA不唯一。

首先，介绍概念：
字符串$w$区分了状态$p$和$q$，如果在状态$p$和$q$下，字符串被接受和被拒绝。

如果两个状态没法区分，那么他们就是冗余的。

于是我们可以构造等价类，每一个等价类里面的元素都是互相不可区分的。

根据上述的可区分概念，我们给出最小DFA的定义：
已知DFA M，其最小DFA M*是：

1. L(M) = L(M*)
2. 所有状态从起始状态开始都可达
3. M*不可再约减（约减，指存在不可区分的状态）。

定理：满足上述123的状态机M*是唯一的、M的最小DFA。

由于DFA/NFA和正则表达式的等价性，我们自然会想，怎么证明两个正则表达式是等价的？

存在这样的算法，使得我们可以证明两个正则表达式等价。

Myhill-Nerode定理
对于语言L，要么有一个DFA可以描述，要么总是可以找到能骗过DFA的字符串。

和DFA的状态定义类似，我们也可以定义“状态”之间的等价关系。

设$L\subset {\Sigma }^{\ast }$，$x,y\in {\Sigma }^{\ast }$。我们定义$x{\equiv }_{L}y$，当且仅当$\forall z\in {\Sigma }^{\ast },xz\in L⟺yz\in L$。（显然这是个等价关系）。
注意，我们可以将这个定义和前述DFA的定义进行类比，$x,y$就像是决定了不同的状态，然后从不同的状态开始迭代。

基于这里的等价关系${\equiv }_L$定义，我们可以将${\Sigma }^{\ast }$分成若干个等价类。

于是，Myhill-Nerode定理表明：
如果等价类数量有限，则可以构建DFA。
否则不可构建DFA。

流算法(Streaming Algorithms)

Streaming Algorithms有三个组成部分：

1. 初始化（变量和赋值）
2. 当下一个符号是$\sigma$的时候咋办（使用$\sigma$和变量的伪代码）
3. 当流跑完了（伪代码的输出，比如接受/拒绝）

Streaming Algorithms和DFA有几点大的不同。
4. 这玩意可能输出不止一个比特。
5. 这玩意的存储空间（也可以说是状态）可以随着读取字符串边长逐渐增长——这意味着它可以识别非正则语言。
6. 可以随机化、多通路

一个例子：

注意：和冯诺伊曼计算机不同，这里的存储空间使用不包括算法本身的存储。

DFA和流算法

定理：$L^{\prime }$可以被DFA $M$（有$2^p$个状态）识别，那么$L^{\prime }$就可以被流算法A用p比特空间计算。

当alphabet的元素不止有0和1怎么办？