为什么分布函数的概率分布为均匀分布？

我先来解决这样一个常见的问题：已知随机变量X的概率分布，求Y=g(X)的概率分布（分布律或者概率密度函数）
这种问题有三种类型（如下图）
我们以随机变量X为连续型，随机变量Y也为连续型为例解一道题
设随机变量X的概率密度为

$Y=X^2$，求Y的概率密度$f_Y(y)$
大体思路：
将$F_Y(y)=P(Y\le y)$中$Y$替换为$X^2$，然后反解出$X$的取值范围（随机变量X，取值x），最终可以利用$F_X(x)$表示出$F_Y(y)$，而$F_X(x)$由$f_X(x)$积分得到

我们画出$Y=X^2$的图像

我们现在根据上图来求
$$F_Y(y)=P(Y\le y)$$
接下来分情况反解X的取值范围

上面的问题解决了，接下来回到本文的主题：为什么分布函数的概率分布为均匀分布？
其实这里的分布函数就是上面提到的$Y=g(x)=X^2$，随机变量X与Y的映射之前是通过其他函数来完成，这里比较特殊一点，采用了分布函数来映射，即 $Y=F(X)$
分布函数图像如下图所示：

2019年数一14题