运筹相关的一个简单的生产问题
题目来自于清华大学出版的《运筹学》第四版。
一、问题描述
二、图解法
三、单纯形法
第一次迭代：
第二次迭代：
第三次迭代：
下面描述一下第三次迭代的详细过程：
从表达式（2-18）可以看到，决策变量x1系数为正，如果生产x1，则目标函数值会大于9，因此非基变量x1要进基。那么x2、x3、x4哪个出基呢？
表达式（2-17）中有x1的是第一个和第二个等式; 从第一个等式可以看出，由于x3要>=0，x5不会进基依然是非基变量，所以x5=0，这时x1最大可以为2/1=2；从第二个等式可以看出，由于x4要>=0，这时x1最大可以为16/4=4；因此x1会先达到第一个等式的约束，所以第一个等式中的x1进基(移动到等式的左边)，而x3要出基（移动到等式的右边）。表达式（2-17）的等式一修改后得到：
{
x
1
=
2
−
x
3
+
1
2
x
5
x
4
=
16
−
4
x
1
x
2
=
3
−
1
4
x
5
\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} x_1 = 2 - x_3 + \frac{1}{2}x_5 & \\ x_4 = 16 - 4x_1 & \\ x_2 = 3 -\frac{1}{4}x_5 & \end{array} \right. \end{equation}
⎩
⎨
⎧x1=2−x3+21x5x4=16−4x1x2=3−41x5
表达式（2-17）的等式二修改后得到新的基变量(x1,x2,x4)：
{
x
1
=
2
−
x
3
+
1
2
x
5
x
4
=
8
+
4
x
3
−
2
x
5
(
2
−
18
−
1
)
x
2
=
3
−
1
4
x
5
\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} x_1 = 2 - x_3 + \frac{1}{2}x_5 & \\ x_4 = 8 + 4x_3 - 2x_5 &&&&&&&&&&&&&&&& (2-18-1)\\ x_2 = 3 -\frac{1}{4}x_5 & \end{array} \right. \end{equation}
⎩
⎨
⎧x1=2−x3+21x5x4=8+4x3−2x5x2=3−41x5(2−18−1)
带入到目标函数得到：
z
=
13
−
2
x
3
+
1
4
x
5
(
2
−
18
−
2
)
z = 13 - 2x_3 + \frac{1}{4}x_5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2-18-2)
z=13−2x3+41x5 (2−18−2)
让非基变量x3=x5=0，得到大目标函数最大值13，基可行解是（2，3，0，8，0）。
第四次迭代：
下面描述一下第四次迭代的详细过程：
从第三次迭代得到的目标函数（2-18-2）可以看出，x5的系数是1/4>0，说明生产x5后，目标函数值还会变大，所以x5要进基，那x1、x2、x4哪个会出基呢？
表达式（2-18-1）中的三个等式都有x5。从第一个等式可以看出，x1要>=0，非基变量x3=0, x5>=-4，-4已经小于0就不考虑了；从第二个等式可以看出，x4>=0，非基变量x3=0，x5的最大值是8/2=4；从第三个等式可以看出，x2>=0，x5的最大值是3/(1/4)=12；要从x5的值（-4,4,12）中，选择正数中最小的那个，也就是4，所以（2-18-1）中的第二个等式中的x5要进基(移动到等号左边)，x4要出基(移动到等号的右边)，得到：
{
x
1
=
2
−
x
3
+
1
2
x
5
x
5
=
4
+
2
x
3
−
1
2
x
4
x
2
=
3
−
1
4
x
5
\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} x_1 = 2 - x_3 + \frac{1}{2}x_5 & \\ x_5 = 4 + 2x_3 - \frac{1}{2}x_4 \\ x_2 = 3 -\frac{1}{4}x_5 & \end{array} \right. \end{equation}
⎩
⎨
⎧x1=2−x3+21x5x5=4+2x3−21x4x2=3−41x5
在将上面的第一个和第三个等式中的x5用第二个等式替换，后得到新的基变量(x1,x2,x5)：
{
x
1
=
4
−
1
4
x
4
x
5
=
4
+
2
x
3
−
1
2
x
4
x
2
=
2
−
1
2
x
3
+
1
8
x
4
\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} x_1 = 4 - \frac{1}{4}x_4 & \\ x_5 = 4 + 2x_3 - \frac{1}{2}x_4 \\ x_2 = 2 -\frac{1}{2}x_3 + \frac{1}{8}x_4 & \end{array} \right. \end{equation}
⎩
⎨
⎧x1=4−41x4x5=4+2x3−21x4x2=2−21x3+81x4
带入到目标函数得到：
z
=
14
−
3
2
x
3
−
1
8
x
4
z = 14 - \frac{3}{2}x_3 - \frac{1}{8}x_4
z=14−23x3−81x4
让非基变量x3=x4=0，得到大目标函数最大值14，基可行解是（4，2，0，0，4）。
因为上述目标函数中x3和x4的系数都小于0了，x3和x4都要>=0，所以目标函数不会再变大了，最大就是14。
四、单纯形法和图解法的关系
这里可以看到，初始基是原点，迭代的过程就是从原点开始，以顺时针方向，找到可行域的下一个顶点验证的过程。
