动态规划之背包模型

news2024/10/6 1:39:11

文章目录

    • 采药（01背包）
    • 装箱问题（01背包）
    • 宠物小精灵之收服(二维费用01背包👍😘)
    • 数字组合(01背包)
    • 买书（完全背包）
    • 货币系统（完全背包）

采药（01背包）

✍
在这里插入图片描述
典型01背包模板题

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;

public class Main{
	static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	static PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
	static int N = (int) (2e5 + 10);
	static int[][] dp = new int[110][1100]; //最长不上升子序列
	static int k = 0, n = 0;
	static int[] t = new int[N];
	static int[] val = new int[N];
	static int cnt = 0;
	static int time = 0;
	public static void main(String[] args) throws Exception{
		String[] tm = br.readLine().split(" ");
		time = Integer.parseInt(tm[0]);
		n = Integer.parseInt(tm[1]);
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			String[] tv = br.readLine().split(" ");
			t[i] = Integer.parseInt(tv[0]);
			val[i] = Integer.parseInt(tv[1]);
		}
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			for(int j = 0; j <= time; j++) {
				if(t[i] > j) {
					dp[i][j]  = dp[i - 1][j];
				}else {
					dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - t[i]] +val[i]);
				}
			}
		}
		
		System.out.println(dp[n][time]);
	}
}

装箱问题（01背包）

✍
在这里插入图片描述
本题可以从两个方向去思考：

法一：
给定n个物品，及每个物品对应的体积，要让剩余空间最少，就是求放进去的体积的体积的最大值。我们将每个物品的体积当作背包的价值，不就等价于之前的求背包的最大价值了。
最后用总的体积-dp[n][vv]

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;

public class Main{
	static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	static PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
	static int[][] dp = new int[100][21000];
	static int[] v = new int[21000];
	static int n = 0,vv = 0;
	static long ans = 0;
	public static void main(String[] args) throws Exception{
		vv = Integer.parseInt(br.readLine());
		n = Integer.parseInt(br.readLine());
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			v[i] = Integer.parseInt(br.readLine());
		}
//
//		for(int j = 0; j <= vv; j++) {
//			dp[0][j] = j;
//		}

		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			for(int j = 0; j <= vv; j++) {
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
				if(j >= v[i]) {
					dp[i][j] = Math.max(dp[i][j],dp[i - 1][j - v[i]] + v[i]);
				}
			}
		}
		System.out.println(vv - dp[n][vv]);
	}
}

法2：
直接设dp[i][j]代表前i个物品，体积为j的最少剩余空间。
初始化dp[0][j]代表前0件物品，体积为j，那么它的最少剩余空间就是j,初始化这些状态。
然后进行转移
在这里插入图片描述

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;

public class Main{
	static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	static PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
	static int[][] dp = new int[100][21000];
	static int[] v = new int[21000];
	static int n = 0,vv = 0;
	static long ans = 0;
	public static void main(String[] args) throws Exception{
		vv = Integer.parseInt(br.readLine());
		n = Integer.parseInt(br.readLine());
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			v[i] = Integer.parseInt(br.readLine());
		}

		for(int j = 0; j <= vv; j++) {
			dp[0][j] = j;
		}

		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			for(int j = 0; j <= vv; j++) {
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
				if(j >= v[i]) {
					dp[i][j] = Math.min(dp[i][j],dp[i - 1][j - v[i]]);
				}
			}
		}
		System.out.println(dp[n][vv]);
	}
}

宠物小精灵之收服(二维费用01背包👍😘)

✍
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

本题是01背包的拓展版-二维费用背包
与平时的01背包（一维费用背包的不同是多了一维代价）
一维费用背包我们一般只考虑背包体积是否放的下。
二维费用背包是：同时考虑了背包容积与背包承重。
针对于这个题目：
在这里插入图片描述
本题的两个花费分别是：
精灵球的数量和皮卡丘体力值
而获得的价值就是野生小精灵的数量，需要注意的是，匹拉丘的体力值不能为0，所以皮卡丘的体力值的范围为0-m-1，最后在找一个消耗体力值最小的即可。
需要注意的是，本题必须使用滚动数组优化掉一层，否则会MLE。

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;

public class Main{
	static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	static PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
	static int[][] dp = new int[1100][510];
	static int[] v = new int[110]; //伤害
	static int[] w = new int[110]; //数量
	static int n = 0,m = 0,k = 0,num = 0;
	static long ans = 0;
	//dp[i][j][k]只考虑前i个，精灵球数量不超过j，皮卡丘体力值不超过k的最大值
	public static void main(String[] args) throws Exception{
		String[] nmk = br.readLine().split(" ");
		n = Integer.parseInt(nmk[0]); //精灵球数量
		m = Integer.parseInt(nmk[1]); //皮卡丘体力值
		num = Integer.parseInt(nmk[2]); //野生小精灵的数量
		
		for(int i = 1; i <= num; i++) {
			String[] wv = br.readLine().split(" ");
			w[i] = Integer.parseInt(wv[0]); 
			v[i] = Integer.parseInt(wv[1]);
		}
		
		for(int i = 1; i <= num; i++) {
			for(int j = n; j >= w[i]; j --) {
				for(int k = m - 1; k >= v[i]; k--) {
					dp[j][k] = Math.max(dp[j][k],dp[j - w[i]][k - v[i]] + 1);
				}
			}
		}
	
		int s = m;
		while(s > 0 && dp[n][m-1] == dp[n][s - 1]) {
			s--;
		}
		System.out.println(dp[n][m - 1] + " " + (m - s));
	}
}

数字组合(01背包)

在这里插入图片描述
首相可以想到枚举所有数字的选不选的情况，然后判断是否可行，但是肯定是过不了的，时间复杂度太高了。
每个数字都有选不选，那不就和每个物品都可以放入或者不放入背包差不多嘛，所以可以采用01背包进行求解。
在这里插入图片描述


public class Main{
	static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	static PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
	static int N = 110;
	static int M = 11000;
	static int[][] dp = new int[N][M];
	//前i个数 构成m的方案数
	static int n = 0, m = 0;
	static int[] a= new int[N];
	public static void main(String[] args) throws IOException {
		String[] nm = br.readLine().split(" ");
		n = Integer.parseInt(nm[0]);
		m = Integer.parseInt(nm[1]);
		String[] aa = br.readLine().split(" ");
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			a[i] = Integer.parseInt(aa[i - 1]);
		}
		dp[0][0] = 1;
 		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			for(int j = 0; j <= m; j++) {
				dp[i][j] += dp[i - 1][j];
				if(a[i] <= j) {
					dp[i][j] += dp[i - 1][j - a[i]];
				}
			}
		}
		System.out.println(dp[n][m]);
	}
}

买书（完全背包）

✍
在这里插入图片描述
因为每本书可以买多本，不需要考虑书本数量的限制，我们只需要考虑钱就行，所以是完全背包。
❗：一定要注意v那一维一定要从0开始，要不会导致有些状态转换不过来。

public class Main{
	static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	static PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
	static int M = 1100;
	static int[] v = {0,10,20,50,100};
	static int[][] dp = new int[5][M];
	static int n = 0, m = 0;
	public static void main(String[] args) throws IOException {
		n = Integer.parseInt(br.readLine());
		dp[0][0] = 1; 
		for(int i = 1; i <= 4; i++) { //书
			for(int j = 0; j <= n; j++) { //money
				for(int k = 0; k <= j / v[i]; k++) { //num
					dp[i][j] += dp[i - 1][j - v[i]*k];
				}
			}
		}
		System.out.println(dp[4][n]); 
	}
}

优化版本完全背包：

public class Main{
	static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	static PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
	static int M = 1100;
	static int[] v = {0,10,20,50,100};
	static int[] dp = new int[M];
	static int n = 0, m = 0;
	public static void main(String[] args) throws IOException {
		n = Integer.parseInt(br.readLine());
		dp[0] = 1; 
		for(int i = 1; i <= 4; i++) { //书
			for(int j = v[i]; j <= n; j++) { //money
				dp[j] += dp[j - v[i]];
			}
		}
		System.out.println(dp[n]); 
	}
}

货币系统（完全背包）

在这里插入图片描述
和上一题基本相同，需要注意数据范围，我们需要开long

public class Main{
	static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	static PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
	static int M = 3100;
	static int[] v = new int[20];
	static long[] dp = new long[M];
	static int n = 0, m = 0;
	public static void main(String[] args) throws IOException {
		String[] nm = br.readLine().split(" ");
		n = Integer.parseInt(nm[0]);
		m = Integer.parseInt(nm[1]);
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			v[i] = Integer.parseInt(br.readLine());
		}
		dp[0] = 1;
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			for(int j = v[i]; j <= m; j++) {
				dp[j] += dp[j - v[i]];
			}
		}
		System.out.println(dp[m]); 
		
	}
}

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