数字图像处理【9】频域应用—快速傅里叶和二维变换

news2024/11/23 9:31:50

第一篇我们系统的介绍了傅里叶级数、傅里叶变换、离散傅里叶变换。本篇介绍快速傅里叶变换,并说说傅里叶变换在二维图像上是如何应用的。

首先我们快速的回顾一下第一篇内容,伟大的法国数学家、物理学家——让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶,发现了周期函数都可以写成N个正余弦乘以一个系数的累加和,他称这样的变换方法为傅里叶级数展开;随后有更多个科学家在这基础上不断发展,把傅里叶级数和欧拉公式相结合,提出连续的傅里叶变换;再结合数字化采样提出离散傅里叶变换。但是以当时的计算机性能,离散傅里叶的计算量还是挺巨大的,运算时间太长。在(美苏冷战)历史背景下,人们需要想办法提升效率。就此历史背景,在1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的一种快速傅里叶计算方法,能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少,特别是在变换的抽样点数N递增越多,快速傅里叶算法计算量的节省就尤为越显著。

快速离散傅里叶计算

快速傅里叶并不是什么新概念理论,它只是利用了数学之美,提升了离散傅里叶变换的计算效率。接下来我们简单了解 快速傅里叶的具体思路。

首先我们回顾一下傅里叶矩阵、离散傅里叶变换的公式来源。那么快速傅里叶是快速的去计算这个矩阵乘法的一个数学算法。但并不是任何一个随机矩阵都能快速计算的,这个就需要线性代数去讨论处理了。按照矩阵乘法的公式,傅里叶矩阵左乘采样向量的过程中,一个元素就要运行N次乘法+N-1次加法,N个元素那就是需要N²次乘法运算。 

在推算快速傅里叶变换前,我们简单介绍一下行列向量乘法的一个特性,简单理解其实就是行列向量当中的元素对位交换,运算结果不变。这个特性在推导快速傅里叶运算中要用到。 

如上图所示,以4维度的离散傅里叶矩阵为例,运用上面提到的行列交换的性质,如果是8维度的,那 F~ 就变成[w0',w2',w4',w6',w1',w3',w5',w7']如此类推。那为什么要这样交换元素排列,交换后有什么特殊性质?

集合离散傅里叶变换当中提及到的欧拉圆所示(注意例子是4个采样点为一个周期,所以对应上图的欧拉圆应该是N=4)w0=w4=1,w2=w6,如此类推以4为采样周期的交换后傅里叶矩阵F~可分为如上左图所示的4个分块。

从例子再结合代数表达式,可以推导出一个交换后的傅里叶矩阵的一般情况,并总结出一个加速运算的流程,。那么从上面的分析流程发现,对于快速傅里叶计算,对离散采样个数N是有要求的,N最好是2的倍数,为什么说最好是2的倍数呢。因为从实际例子上说明,四维的离散傅里叶矩阵F可以分为了4个二维矩阵,那么九维的离散傅里叶矩阵也是可以分成9个三维的矩阵。所以实际上N只要满足N=n*n就可以了。

但是理论上或者实际上,N都会选2的k次幂呢?主要是因为2的k次幂可以一直的往下拆分,拆分到二维矩阵。而且现实情况N是可以自主给定的,这是测试过程的采样个数,选取2的k次幂自然而然的也没什么难度。所以说2的k次幂就成为快速傅里叶默认的条件了。

那么我们继续上面的拆解流程,我们把采样变换后的列向量再划分为两部分(even偶odd奇),最终离散傅里叶逆变换求解就有个快速求解公式。为什么这个化简就能加速离散傅里叶逆变换的求解?我们可以看看左边Fn·X的乘法运算次数是N*N次。而化简公式,先看右边部分F的N/2各自乘以X的奇偶部分,乘法运算次数是2*N/2*N/2次,再加上左边的矩阵也可以发现它里面的每个分块都是对角矩阵,也就是N次乘法。也就是说一次降维分解,运算数量级可以从 N² 次乘法变成 N² /4 + N次乘法。而且这只是一次降维分解节省的计算量,Fn/2·Xeven 这部分是不是可以递归继续降维拆分?

上图基本接近现代计算机数学运算库的计算逻辑,譬如要算16维的傅里叶矩阵,那么最后分解成四组2维的快速傅里叶,那么计算机先计算这四组最基础的2维快速傅里叶矩阵,然后自下而上的一步步的往上计算需要的结果。至此介绍完快速傅里叶变换的数学演变过程。

二维离散傅里叶变换

接下来介绍二维离散傅里叶变换,其实它是针对图像进行的。这里直接看二维离散傅里叶变换的公式。如果说忽略与y-v相关的所有项,其实x-u就是一个标准的一维连续傅里叶变换公式。在这里 f ( x , y )对应图像的某一个坐标。而u,v分别对应着x方向和y方向的频率分量。

有一点需要注意的是,由于图像是离散信号,但是对应的频谱是连续周期的。这样子就会使得在一个周期内,图像频谱的低频部分在边缘四周,为了观测方便通常需要将它进行中心化。中心化操作的方法就是对原来的图像乘上-1的x+y次方,那么与之相对应的频谱就是中心化的。

 频谱中心化作用是什么,如上所示一张傅里叶的画像进行二维傅里叶变换的频谱进行操作。

  1. 左上图示,去除四周高频部分,只保留低频频谱,可以看到对应的图像看着很模糊,内容细节丢失。
  2. 右上图示,去除中心低频部分,只保留高频频谱,可以看到对应的图像只看到一些噪点和边缘细节,对于它的颜色比较相同的部分已经滤除掉了。

以上就是二维傅里叶变换在图像处理当中的,频谱滤波的原理。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.coloradmin.cn/o/535759.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

相关文章

【Spark编程基础】第7章 Structured Streaming

系列文章目录 文章目录 系列文章目录前言第7章 Structured Streaming7.1 概述7.1.1 基本概念7.1.2 两种处理模型7.1.3 Structured Streaming 和 Spark SQL、Spark Streaming 关系 7.2 编写Structured Streaming程序的基本步骤7.3 输入源7.3.1 File源7.3.2 Kafka源7.3.3 Socket源…

开发框架Furion之WebApi+SqlSugar (一)

目录 1.开发环境 2.项目创建 2.1创建WebApi主项目 2.2 创建Start类库 2.3创建Model实体类库 2.4创建Application仓储业务类库 2.5创建Unility通用方法类库 3.基础功能配置 3.1 Model实体对象与数据表映射 3.2 基类仓储及动态Api接口配置 3.3 数据库IOC注册 3.4 Star…

Java字符串知多少:String、StringBuffer、StringBuilder

一、String 1、简介 String 是 Java 中使用得最频繁的一个类了,不管是作为开发者的业务使用,还是一些系统级别的字符使用, String 都发挥着重要的作用。String 是不可变的、final的,不能被继承,且 Java 在运行时也保…

【C++】哈希表-开散列闭散列

文章目录 哈希概念例子: 哈希冲突哈希函数哈希冲突解决方法1:闭散列 哈希表的闭散列实现闭散列结构设计**哈希表的插入过程:****哈希表的查找过程:**哈希表的删除过程:只能存储key为整形的元素 那其他类型怎么解决 CloseHash.h哈希表的开散列实现开散列概念开散列的最坏情况及解…

车机CarLauncher的Activity多屏模式WindowingMode为WINDOWING_MODE_MULTI_WINDOW疑问解析

hi,粉丝朋友们! IntDef(prefix { "WINDOWING_MODE_" }, value {WINDOWING_MODE_UNDEFINED,WINDOWING_MODE_FULLSCREEN,WINDOWING_MODE_MULTI_WINDOW,WINDOWING_MODE_PINNED,WINDOWING_MODE_SPLIT_SCREEN_PRIMARY,WINDOWING_MODE_SPLIT_SCREE…

nacos注册中心源码分析一之服务注册、服务心跳

源码分析 nacos客户端注册分析 依赖包 <dependency><groupId>com.alibaba.cloud</groupId><artifactId>spring-cloud-starter-alibaba-nacos-discovery</artifactId></dependency>Nacos的客户端是基于SpringBoot的自动装配实现的 看下依…

算法性能分析

一、时间复杂度分析 1.什么是时间复杂度 时间复杂度是一个函数&#xff0c;它定性描述该算法的运行时间。我们在软件开发中&#xff0c;时间复杂度就是用来方便开发者估算出程序运行的答题时间。 那么该如何估计程序运行时间呢&#xff0c;通常会估算算法的操作单元数量来代表…

10个顶级AI艺术生成器

人工智能 (AI) 不仅影响商业和医疗保健等行业。 通过开创人工智能生成艺术的新时代&#xff0c;它还在创意产业中发挥着越来越重要的作用。 人工智能技术和工具通常可供任何人广泛使用&#xff0c;这有助于创造全新一代的艺术家。 我们经常听说人工智能将自动化或接管所有人类…

Java中的正则表达式详解

文章和代码已经归档至【Github仓库&#xff1a;https://github.com/timerring/java-tutorial 】或者【AIShareLab】回复 java 也可获取。 文章目录 正则表达式为什么要学习正则表达式再提出几个问题解决之道-正则表达式正则表达式基本介绍介绍 正则表达式底层实现实例分析 正则…

Word控件Aspose.Words教程:设置图表数据标签的默认选项

Aspose.Words是一种高级Word文档处理API&#xff0c;用于执行各种文档管理和操作任务。API支持生成&#xff0c;修改&#xff0c;转换&#xff0c;呈现和打印文档&#xff0c;而无需在跨平台应用程序中直接使用Microsoft Word。 Aspose API支持流行文件格式处理&#xff0c;并…

新星计划2023【网络应用领域基础】————————Day4

常见的网络基础介绍 前言 我们学习了一些基础的网络协议&#xff0c;以及子网掩码和vlan&#xff0c;同时也做了个简单的单臂路由实验 这篇文章我将仔细的讲解单臂路由的应用和交换机二层接口类型&#xff0c;以及wireshark的教程。 一&#xff0c;交换机二层接口 交换机的二…

Everypixel: AI图片搜索引擎

【产品介绍】 Everypixel是一个基于人工智能的图片搜索引擎。可以搜索超过 50 个图片来源的优质的授权图库版权素材图片&#xff0c;还可以使用免费图案功能&#xff0c;找到适合自己需求的可定制无缝图案。 Everypixel利用深度学习和计算机视觉技术&#xff0c;为客户提供先进…

Taro小程序配置网络请求

目录 1. 创建目录结构2. 全局通用的config的变量配置3. 配置http网络请求4. 使用 1. 创建目录结构 在 src 目录下新建 service 目录&#xff0c;目录下创建 api 和 http 子目录在 src 目录下新建 config 配置文件 2. 全局通用的config的变量配置 在 config 文件中添加一下代…

日本进口Hioki IM3536 LCR测试仪

Hioki IM3536 LCR测试仪 测量频率DC&#xff0c;4Hz~8MHz 测量时间&#xff1a;最快1ms 基本精度&#xff1a;0.05% rdg 1mΩ以上的精度保证范围&#xff0c;也可安心进行低阻测量 可内部发生DC偏压测量 从研发到生产线活跃在各种领域中 测量频率4Hz~8MHz&#xff0c;精度…

【pyq文案】可可爱爱、脑回路清奇の朋友圈文案

1.人每一个身体器官都是无价之宝&#xff0c;全部加起来1个月3000 2.别人出门&#xff1a;辣妹风、复古风、学院风&#xff1b;我出门&#xff1a;打工的勤劳小蜜蜂 3.看见自己就烦&#xff0c;50出&#xff1b;和今天星期四没关系 4.上学时拿钱混日子&#xff0c;上班后拿日…

种子轮、天使轮等相关知识

我们可以通过查询企业的相关工具网站&#xff0c;查看企业是否上市、独角兽、瞪羚企业、上市企业等情况。 转载&#xff1a; https://zhuanlan.zhihu.com/p/565389690 科创板挂牌不属于上市&#xff0c;企业在挂牌之后要经过协会核准后可以进行股份登记挂牌&#xff0c;大概需要…

【Redis】Redis 命令之 Hash

文章目录 ⛄介绍⛄命令⛄RedisTemplate API⛄应用场景 ⛄介绍 Hash类型&#xff0c;也叫散列&#xff0c;其value是一个无序字典&#xff0c;类似于Java中的 HashMap 结构。 String结构是将对象序列化为JSON字符串后存储&#xff0c;当需要修改对象某个字段时很不方便&#xf…

java服务-常用技术-生僻函数、方法、技巧

一、字符串操作 1. 需要转义的字符 java字符串中需要转义的特殊字符1. \n 表示换行&#xff1b;2. \t 表示制表符&#xff0c;相当于Table键&#xff1b;3. \ 表示单引号&#xff1b;4. \" 表示双引号&#xff1b;5. \\ 表示一个斜杠“\”。 2. split第二个参数limit的用…

Dynamics 365 DevOps CI/CD之WebResource

对于D365自身的发布&#xff0c;简单点来说就是Solution的发布&#xff0c;复杂一些会涉及周边集成接口等一系列的发布。如果是单纯的Solution的发布的Azure DevOps商店里有很多工具&#xff0c;比如Power DevOps Tools&#xff0c;这个我之前也有博文转载过相关文章&#xff0…

史上最通俗易懂的EWMA(指数加权移动平均)的参数解释以及程序代码

文章目录 一、EWMA&#xff08;指数加权移动平均&#xff09;是什么&#xff1f;二、详细的参数解释3、使用Python pandas库中的ewm()函数实现指数加权移动平均&#xff08;EWMA&#xff09;的示例代码总结 一、EWMA&#xff08;指数加权移动平均&#xff09;是什么&#xff1f…