一、时间复杂度分析
1.什么是时间复杂度
时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。我们在软件开发中，时间复杂度就是用来方便开发者估算出程序运行的答题时间。
那么该如何估计程序运行时间呢，通常会估算算法的操作单元数量来代表程序消耗的时间，这里默认CPU的每个单元运行消耗的时间都是相同的。假设算法的问题规模为n，那么操作单元数量便用函数f(n)来表示，随着数据规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，这称作为算法的渐近时间复杂度，简称时间复杂度，记为 O(f(n))。
2.什么是大O
算法导论给出的解释：大O用来表示上界的，当用它作为算法的最坏情况运行时间的上界，就是对任意数据输入的运行时间的上界。
同样算法导论给出了例子：拿插入排序来说，插入排序的时间复杂度我们都说是O(n^2) 。输入数据的形式对程序运算时间是有很大影响的，在数据本来有序的情况下时间复杂度是O(n)，但如果数据是逆序的话，插入排序的时间复杂度就是O(n2)，也就对于所有输入情况来说，最坏是O(n2) 的时间复杂度，所以称插入排序的时间复杂度为O(n2)。同样的同理再看一下快速排序，都知道快速排序是O(nlogn)，但是当数据已经有序情况下，快速排序的时间复杂度是O(n2) 的，所以严格从大O的定义来讲，快速排序的时间复杂度应该是O(n^2)。
3.不同数据规模的差异
如下图中可以看出不同算法的时间复杂度在不同数据输入规模下的差异。
在决定使用哪些算法的时候，不是时间复杂越低的越好（因为简化后的时间复杂度忽略了常数项等等），要考虑数据规模，如果数据规模很小甚至可以用O(n^2)的算法比O(n)的更合适（在有常数项的时候）。
就像上图中 O(5n^2) 和 O(100n) 在n为20之前 很明显 O(5n^2)是更优的，所花费的时间也是最少的。那为什么在计算时间复杂度的时候要忽略常数项系数呢，也就说O(100n) 就是O(n)的时间复杂度，O(5n^2) 就是O(n^2)的时间复杂度，而且要默认O(n) 优于O(n^2) 呢 ？
这里就又涉及到大O的定义，因为大O就是数据量级突破一个点且数据量级非常大的情况下所表现出的时间复杂度，这个数据量也就是常数项系数已经不起决定性作用的数据量。例如上图中20就是那个点，n只要大于20 常数项系数已经不起决定性作用了。
所以我们说的时间复杂度都是省略常数项系数的，是因为一般情况下都是默认数据规模足够的大，基于这样的事实，给出的算法时间复杂的的一个排行如下所示：
4.复杂表达式的化简
有时候我们去计算时间复杂度的时候发现不是一个简单的O(n) 或者O(n^2)， 而是一个复杂的表达式，例如：
O(2*n^2 + 10*n + 1000)
去掉运行时间中的加法常数项 （因为常数项并不会因为n的增大而增加计算机的操作次数）。
O(2*n^2 + 10*n)
去掉常数系数
O(n^2 + n)
只保留保留最高项，去掉数量级小一级的n （因为n^2 的数据规模远大于n），最终简化为：
O(n^2)
所以最后我们说：这个算法的算法时间复杂度是O(n^2) 。
5.O(logn)中的log是以什么为底
平时说这个算法的时间复杂度是logn的，那么一定是log 以2为底n的对数么？其实不然，也可以是以10为底n的对数，也可以是以20为底n的对数，但我们统一说 logn，也就是忽略底数的描述。
