第十一周作业

MT2012 竹鼠的白色季节

难度：黄金时间限制：1秒占用内存：250M

题目描述

小码哥的竹鼠养殖场中的竹鼠都在一条直线的隔间里，一共有 $n (1 \leq n \leq 100000)$ 只竹鼠，它们的坐标分别为 $p_1, p_2,p_3,…,p_n (0≤p_i≤10^8 )$ 。
又到了冬季，竹鼠们也要谈恋爱，因为竹鼠们都太胖了，它们的活动范围有限，这里统一规定它们的活动范围为 $d(0≤d≤10^4 )$ 。
由于竹鼠之间也需要双向奔赴，所以如果两只竹鼠之间的距离小于等于 $d$ ，则称它们是有缘的一对竹鼠，问小码哥的养殖场里一共有多少对有缘的竹鼠？
注：一只竹鼠可能存在于多个有缘的竹鼠对之中，多只竹鼠可能在同一个坐标上。

格式

输入格式：第一行为两个用空格隔开的数字 $n$ 和 $d$ ；；
第二行为 $n$ 个整数，表示 $n$ 只竹鼠在直线上的坐标。
输出格式：输出一个整数，表示有缘的竹鼠对。

样例 1

输入：5 3

1 2 4 8 9

输出：4

相关知识点： 枚举

题解

题目说了很多，但实际只需要知道一件事即可：“如果两只竹鼠之间的距离小于等于 $d$ ，则称它们是一对有缘的竹鼠，问小码哥的养殖场里一共有多少对有缘的竹鼠？”。所以，本题实际上就是让我们统计位置差距超过一定范围的数对。

具体的求解思路很简单，将所有竹鼠的位置进行排序，然后再扫描排序后的数组并统计满足要求的差距即可，但是有一点需要注意，在统计差距时为了避免重复（因为对于一对有缘的竹鼠而言，两个竹鼠各自在计算差距时都会将彼此纳入计算），我们只进行 “单向” 统计，具体实现如下（已 AC）：

/*
    MT2012 竹鼠的白色季节 
*/

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;

const int MAX = 100005;
int ary[MAX];

int getPredestined(int ary[], int n, int d)
{
    int predestined = 0;
    
    // 对竹鼠的位置数组进行排序
    sort(ary,ary+n);
    
    // 扫描全部竹鼠以寻找有缘鼠
    // 注：为避免重复统计，规定进行单向寻找（下面的代码执行后向配对）
    for(int i=0;i<n-1;i++) 
        for(int j=i+1;j<n;j++)
            if(ary[j]-ary[i] <= d) predestined++;
            else break;
    
    return predestined;
}

int main( )
{
    // 录入数据 
    int n, d; cin>>n>>d;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>ary[i];
    
    // 输出有缘的竹鼠对 
    cout<<getPredestined(ary, n, d)<<endl;
     
    return 0;
}

MT2013 照亮街道

难度：黄金时间限制：1秒占用内存：128M

题目描述

有一条可以视为线段的街道，长度为 $L$ ，其中有 $n$ 个路灯，每个路灯能照亮的半径都是相同的，求最小的照亮半径 $r$ 使得整条街道上的每一个点都能被照亮。

格式

输入格式：第一行两个正整数 $n ， L$ ；
第二行为 $n$ 个实数，表示 $n$ 个路灯的坐标，数据保证在 $0$ 到 $L$ 之间。
输出格式：输出一行一个实数表示答案，答案保留两位小数。

样例1

输入：7 15
15 5 3 7 9 14 0

输出：2.50

备注

其中： $n≤1000,L≤10^9$

相关知识点：枚举

题解

求解此题最简单的办法就是暴力枚举。由于题目让我们保留两个小数，因此求解步骤可以从 0.01 开始进行枚举，直到某个半径长度能够将整条街都照亮时，该半径即为所求。

但是从数学的角度出发，肯定有更好的算法。

对于这条路灯间距不一致的街而言，如果要让所有地方都充满光明，则路灯的照明半径肯定只取决于那段“路灯隔得最远的路段”。比如，在题目给出的数据中，从下图可以很明显地看出，其只取决于路灯 9 和 14 的距离。

在这里插入图片描述

因此，我们的求解目标就从“找最小半径”，转换为“找最远路灯”。最远路灯的求解就很简单了：对路灯的位置数组进行排序，然后遍历该数组求差分的最大值即可。但是！一定要注意两个端点位置（即绝对位置为 0 和 L 处）的与路灯的差距，这需要单独计算！并参与对最大值的比较。

下面给出基于以上思路写出的完整代码（已 AC）:

/*
    MT2013 照亮街道 
*/

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;

const int MAX = 1005;
// 注：用 float 只能通过一个例子，这里必须用 double 
double ary[MAX];

int main( )
{
    // 录入数据 
    int n, L; cin>>n>>L;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>ary[i];
    
    // 对路灯数组排序 
    sort(ary,ary+n);
    
    // 求差距最大的间隙
    double gap=0;
    for(int i=0;i<n-1;i++)
        gap = max(gap,ary[i+1]-ary[i]);
    
    // 与路段的首尾间隙进行比较
    gap = max(gap/2, max(ary[0],L-ary[n-1]));
    
    // 输出操作次数（注意格式控制） 
    printf("%.2f\n", gap);
     
    return 0;
}

MT2014 打靶

难度：黄金时间限制：3秒占用内存：128M

题目描述

小码哥在练习射箭，他要射穿 $n$ 个靶子，且每个靶子有高度 $h_i$ 。箭会因为受到靶子的摩擦力而下坠，当射穿一个靶子后箭的高度会下降 1。小码哥可以射任意高度的箭。
求出小码哥最少需射几箭。

格式

输入格式：第一行一个整数 $n$ ；
第二行 $n$ 个整数 $h_i$ 。
输出格式：输出一个整数，表示小码哥最少需要射几箭。

样例 1

输入：5
2 1 5 4 3
输出：2

备注

其中： $1≤n,h_i≤10^6$ 。
小码哥与靶子的占位如下（不会有两个相邻的靶子紧紧贴在一起）：
小码哥 ——> 靶子1，靶子2，靶子3，……，靶子n。

相关知识点：模拟、枚举

题解

题目的意思很简单：射出的箭具有无限射程，但是每当该箭射穿一个靶子时就会降低1个单位的高度。现在有一系列的靶，问最少要射几支箭才能把这些靶都击穿。

题目给出的测试数据如下：

在这里插入图片描述

显然，两支箭就能将所有靶全部击倒（顺序可任意）：
取第一支箭高度为2，它在射穿0号靶子后，会顺势射穿1号靶；
取第二支箭高度为5，它在射穿2号靶子后，会顺势射穿3、4号靶；
这样就能用最少的箭将全部靶子都射穿。

接下来我们来思考这里面的奥义。首先要知道一件事，箭的射程是无限的，对于射出的任意箭，它必定能将一系列高度为等差递减序列的靶子全部射穿。这实际上提示了我们，该题就是让我们其统计高度连续递减靶子的丛数。但要注意一件事，这个等差递减序列的先后关系必须和各靶子的相对位置对应。因此，我们在模拟这个射箭的过程时，要考虑到这一点。所以现在问题的关键就在于，如何去记录高度连续递减靶子的丛数？要知道，对于题目输入的靶子而言，那些高度连续递减靶子位置可能本身并不连续。

这里提供一种简单有效的办法：高度消融。具体做法是，对于输入的高度，我们每次都将当前高度进行下沉，这样最终就能把不同位置的具有连续递减性质的丛数给记录下来。例如，对于高度序列：{5,3,4,3,1}，系统第一次运行时，高度数组 height[ ]={0}为空：

输入高度 5，由于这之前并没有这个高度（即 height[5]==0），说明当前这个高度是第一个，因此需要记 cnt=1，然后将其下沉，即现在高度数组的内容为：height[5-1]=height[4]++，即 height={0,0,0,0,1,0}；
输入高度 3，由于这之前并没有这个高度（即 height[3]==0），说明当前这个高度是第一个，因此需要记 cnt=2，然后将其下沉，即现在高度数组的内容为：height[3-1]=height[2]++，即 height={0,0,1,0,1,0}；
输入高度 4，由于当前高度数组存在 height[4] 非0，说明当前高度存在着从上一次消融下来的数据，也就是说在这之前射出了一支高度为 4+1=5 的箭，那么当前位置将被射穿。因此，要将当前位置进行消融并下沉，于是置 height[4]–，height[4-1]=height[3]++，即 height={0,0,1,1,0,0}；
输入高度 3，由于当前高度数组存在 height[3] 非0，说明当前高度存在着从上一次消融下来的数据，也就是说在这之前射出了一支高度为 3+1=4 的箭，那么当前位置将被射穿。因此，要将当前位置进行消融并下沉，于是置 height[3]–，height[3-1]=height[2]++，即 height={0,0,2,0,0,0}；
输入高度 1，由于这之前并没有这个高度（即 height[1]==0），说明当前这个高度是第一个，因此需要记 cnt=3，然后将其下沉，即现在高度数组的内容为：height[1-1]=height[0]++，即 height={1,0,1,0,0,0}。

算法结束，输出计数cnt即得到了最终需要的最少的箭数。

根据这样的思路可写出求解本题的完整代码（已 AC）：

/*
    MT2014 打靶 
*/

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;

const int MAX = 1000005;
int ary[MAX];

int main( )
{
    int n, height, cnt=0; cin>>n;
    while(n--){
        // 获取当前靶子的高度 
        cin>>height;
        
        // 根据当前靶子高度是否存在决定是否消融和计数 
        ary[height]?ary[height]--:cnt++;
        
        // 执行下沉 
        ary[height-1]++;
    }
    cout<<cnt<<endl;     
    return 0;
}

MT2026 二维坐标点移动

难度：黄金时间限制：1秒占用内存：128M

题目描述

给定一个 $N * M$ 的二维坐标矩阵A，并且给定一个整数K，K表示移动步数，矩阵A中的所有点 $A [i] [j]$ 的移动操作如下：

$A [i] [j]$ 移动到 $A [i] [j + 1] （ j \leq M - 2 ）$ ；
$A [i] [M - 1]$ 移动到 $A [i + 1] [0] （ i \leq N - 2 ）$ ；
$A [N - 1] [M - 1]$ 移动到 $A [0] [0]$ 。

最后输出移动K次后新的二维坐标矩阵A。

格式

输入格式：第一行输入两个整数 N, M；
接下来 N 行，每行 M 个数，即 $A [i] [j] （ 0 \leq i \leq N, 0 \leq j \leq M ）$ ；
最后一行一个整数 K。
输出格式：N 行，每行 M 个数，即修改之后的 $A [i] [j]$ 。

样例 1

输入：3 3
1 2 3
30 40 50
10 20 30
2

输出：20 30 1
2 3 30
40 50 10

备注

其中： $1 \leq N, M \leq 50, - 1000 \leq A [i] [j] \leq 1000, 0 \leq K \leq 1000$ 。

相关知识点： 模拟

题解

实际上，这道题的要求是“将矩阵中的每个元素往后移动K个单位”。由于处理对象是一个矩阵，因此在将其中的元素向后移动时有3个情况（假设矩阵规格为 $N * M$ ，索引从0开始）：

待移动元素位于矩阵最右下角的位置（即 $A [N - 1] [M - 1]$ ），这种情况，其下一个位置为矩阵的最开始位置（即 $A [0] [0]$ ）；
待移动元素位于矩阵任意行（除最后一行）的末尾（即 $A [i] [M - 1]$ ），这种情况，其下一个位置为该元素所在下一行的最开始位置（即 $A [i + 1] [0]$ ）；
待移动元素位于除1和2以外的任意位置（设为 $A [i] [j]$ ），这种情况，其下一个位置为 $A [i] [j + 1]$ 。

在这里插入图片描述

从上面的分析不难看出，其变换规则还是很简单的。因此，最简单直接的办法就是设计一个规格和输入数据一致的二维数组，然后遍历原始数据，通过 switch 控制不同类型的数据进行位置变换并存储即可。这样的方式显然是可行的。

但仔细思考上面的三个情况，不难发现其本质都是在描述“将数据向后移动若干位”的含义。因此，为了简化上述复杂的分情况讨论环节，我们可以用一种更简单的方式进行：将原始数据存储至一维空间，执行“将数据向后移动若干位”后再按二维的方式进行输出。

根据这样的思路最终可得到以下代码（已 AC）：

/*
    MT2026 二维坐标点移动 
*/
 
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;

const int MAX = 2505;
int ary[MAX], offset[MAX]; 

int main() 
{ 
    // 录入数据 
    int n, m, k; cin>>n>>m;
    int LEN = n*m;
    for(int i=0;i<LEN;i++) cin>>ary[i];
    cin>>k;
    
    // 对数组进行移位处理 
    for(int i=0;i<LEN;i++) offset[(i+k)%LEN] = ary[i];
    
    // 输出数据
    k = 0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<m;j++)
            cout<<offset[k++]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    return 0; 
}

MT2027 一秒成零

难度：白银时间限制：1秒占用内存：128M

题目描述

给定一个正整数 n ，请写一个函数 Steps，将 n 通过以下操作变成0，并且返回操作次数。

n 为偶数，则 n=n/2；
n 为奇数，则 n=n-1。

格式

输入格式：第一行输入正整数 $n$ ；
输出格式：输出操作次数。

样例1

输入：14

输出：6

备注

其中： $1≤n≤10^7$ 。

相关知识点：模拟

题解

这是一道纯模拟题，照题目意思做就行。要么递推要么递推（取决于鉴于数据范围），下面给出求解的两个算法:

/*
   MT2027 一秒成零
     
*/

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;

// 递推实现（数的取值范围较大时宜用） 
int Steps(int n){
    int optCnt = 0;
    while(n){
        if(n&1) n--;
        else n/=2;
        optCnt++;
    }
    return optCnt;
} 

// 递归实现 
int Steps_(int n){
    if(n==0) return 0; 
    if(n&1) return Steps(n-1)+1;
    return Steps(n/2)+1; 
} 

int main( )
{
    // 获取输入 
    int n; cin>>n;
    
    // 输出操作次数
    cout<<Steps(n);
     
    return 0;
}