并行分布式计算 并行计算性能评测

基本性能指标

参数

• 工作负载 W：是指某个算法的计算量；
• 加速：就是加速比；
• 峰值速度：是速度的理论上限；

CPU 基本性能指标

① 工作负载：

• 执行时间：不仅包括 CPU 时间，还包括访问存储器、磁盘时间、 I/Ｏ 时间和 OS 开销等；执行时间是不稳定的，波动较大；
• 浮点运算数（Flops）：其他类型的运算可以通过经验折算成浮点运算速度；只能衡量计算任务，不能用于衡量数据传输、IO密集型的操作（虽然并行计算前期只是用于计算密集型的任务）
• 指令数目（MIPS）通常以 百万条/秒 作为单位（单条指令的执行时间差别很大）

② 无重叠的假定下并行执行时间 $T_n$ ：

• 计算时间 $T_{comput}$ ；并行开销时间 $T_{paro}$ ；相互通信时间 $T_{comm}$ ：

$$T_n=T_{comput}+T_{paro}+T_{comm}$$

• $T_{comput}$ ：与串行的时间是一致的（无重叠的假定）；
• $T_{paro}$ ：与进程管理、组操作、进程查询等相关；
• $T_{comm}$ ：同步（路障、锁、临界区、事件）、通信、聚合操作（规约、前缀运算），一般来说 $T_{comm}$ 比 $T_{paro}$ 要大得多；

存储器性能

估计存储器的带宽：例如 RISC 的加法可以在单拍内完成（取出两个数相加再送回寄存器）；假定字长为 8B，时钟频率 100MHZ，则带宽：
$$B=3\times 8\times 100\times 10^{6}B/s=2.4GB/s$$

并行与存储开销

并行和通信的开销相对于计算来说很大。

开销的测量：

• 乒乓方法（Ping-Pong Scheme）：节点 - 发送 m 个字节给节点 1，节点 1 收到以后立即将消息发回节点 0，总时间除以 2；
• 热土豆法（Hot-Potato）/救火队法（Fire-Brigade）：再乒乓方法的基础上，节点 1 收到以后立即发送给节点 2，直到发送给节点 n-1 后，最后发送回 0，总的时间除以 n；

点到点通信开销表达式：
$$t(m)=t_0+m/r_{\infty }$$

• $m$ ：消息长度（字节数）；

• $t_0$ ：通信启动时间；

• $r_{\infty }$ ：渐进带宽，传送无限长消息时的通信频率；查利芳等网络结构就是为了增大渐进带宽；

• 半峰值长度 $m_{\frac{1}{2}}$ ：达到一半渐进带宽所需要的消息长度；

• 特定性能 ${\pi }_0$ ：表示短消息带宽；

• $t_0=m_{\frac{1}{2}}/r_{\infty }=1/{\pi }_0$ ；$t_0$ 就好像是发送一个很小的包时所需要花费的时间；

典型整体通信：

• 广播（Broadcasting）：处理器 0 发送 m 个字节给所有的 n 个处理器；
• 收集（Gather）：处理器 0 接收所有 n 个处理器发送来的消息，最终接收 mn 个字节；尽量不要出现收集的情况，否则带宽会被 n 个处理器瓜分；
• 散射（Scatter）：处理器 0 发送了 m 个字节的不同消息给所有 n 个处理器；
• 全交换（Total Exchange）：每个处理器均彼此相互发送 m 个字节的不同消息给对方，总通信量为 $m{n}^2$ 个字节；很多算法需要全交换，所以通行效率或者带宽会随着处理器数量上升而快速下降；
• 循环位移（Circular-shift）：处理器 i 发送 m 个字节给处理器 (i + 1) % n，总通信量为 mn 个字节；

机器的成本与价格：

• 机器的性价比（Performance/Cost Ratio）：单位代价（通常为百万美元）所获取的性能（通常用 MIPS 或 MFLOPS 表示）
• 利用率：可达到的速度与峰值速度之比；

要想提高利用率，就要提高通讯量级；要想保持通讯硬件不变而提高通讯量级，就要优化算法。

加速比性能定律

Amdahl 定律

前提：

• 固定不变的计算机负载；
• 固定的计算负载分布在多个处理器上；
• 增加处理器加快执行速度，从而达到了加快处理速度的目的；

（总的计算量不变，并且被固定地、平均地分配给 p 个处理器）

参数：

• $P$：处理器数；

• $W$：问题规模（计算负载、问题的总计算量）
  $$W=W_s+W_p$$

  • $W_s$ ：应用程序中的串行分量，$f$ 是串行分量比例（$f=W_s/W$）；
  • $W_p$ ：应用程序中可并行化部分；

• $T_s=T_1$ ：串行执行时间；

• $T_p$ ：并行执行时间；

• $S$ ：加速比；

• $E$ ：效率；

$$S=\frac{W_s+W_p}{W_s+W_p/p}\stackrel{p\to \infty }{\to }\frac{1}{f}$$

特点：

• 适用于实时应用问题。当问题的计算负载或者规模固定时，必须通过增加处理器数目来降低计算时间；

• 加速比受到算法中串行工作量的限制；

• 扩展：若并行实现时还有额外开销，则：

$$S=\frac{W_s+W_p}{W_s+W_p/p+W_o}\stackrel{p\to \infty }{\to }\frac{1}{f+W_o/W}$$

Gustafson 定律

前提：对于很多大型计算，精度要求很高，而计算时间时固定不变的。此时为了提高精度，必须加大计算量，相应地必须增多处理器数才能维持时间不变。

（增大精度的同时 $W_s$ 几乎是不变的）
$$S^{\prime }=\frac{W_s+p{W}_p}{W_s+p{W}_p/p}=\frac{W_s+p{W}_p}{W_s+W_p}=f+p(1-f)$$
考虑并行开销 $W_o$ ：
$$S^{\prime }=\frac{W_s+p{W}_p}{W_s+p{W}_p/p+W_o}=\frac{f+p(1-f)}{1+W_o/W}$$
特点：随着处理器数目的增加，串行执行部分 $f$ 不再是并行算法的瓶颈。

Sun 和 Ni 定律

前提：充分利用存储空间等计算资源，尽量增大问题规模以产生更好/更精确的解，是 Amdahl 定律和 Gustafson 定律的推广。

推导：设单机存储容量为 $M$ ，其工作负载 $W=fW+(1-f)W$ ；

当并行系统有 $p$ 个节点时，存储容量变为 $pM$ ，用 $G(p)$ 表示系统的存储容量增大 $p$ 倍时工作负载的增加量，即存储容量扩大后的工作负载为 $W=fW+(1-f)G(p)W$ ，加速比为：
$$S^{\prime \prime }=\frac{fW+(1-f)G(p)W}{fW+(1-f)G(p)W/p}=\frac{f+(1-f)G(p)}{f+(1-f)G(p)/p}$$
考虑并行计算的开销 $W_o$ ：
$$S^{\prime \prime }=\frac{fW+(1-f)G(p)W}{fW+(1-f)G(p)W/p+W_o}=\frac{f+(1-f)G(p)}{f+(1-f)G(p)/p+W_o/W}$$

• 当 $G(p)=1$ 时，就是 Amdahl 定律，意味着节点的扩展不会带来额外开销；
• 当 $G(p)=p$ 时，就是 Gustafson 定律；
• 当 $G(p)>p$ 时，加速比比前面两个定律得到的加速比更大；

加速比讨论

加速比经验公式：
$$\frac{p}{\log p}\le S\le p$$

• 线性加速比：很少通信开销的矩阵相加、内积运算等；

• $p/\log p$ 的加速比：分治类的应用问题；

• 通信密集类的应用问题：$S=\frac{1}{C(p)}$ ，这里 $C(p)$ 时 $p$ 个处理器的某一通信函数；

超线性加速：特殊情况下出现，例如在不同分支上进行搜索，某个处理器搜索发现结果后结束整个任务；

绝对加速：最佳串行算法与并行算法所用时间之比；（有些算法是没法直接并行化的，因此绝对加速更合理）

相对加速：同一算法在单机和并行机的运行时间。

可括放性评测标准

可括放性（Scalability）：性能随处理器数的增加而按比例提高的能力。

• 影响因素：处理器数和问题规模；串行分量；并行处理的额外开销；处理器数是否超过了算法中的并发程度；
• 增加问题规模的好处：提供较高的并发机会；overhead 增加可能慢于有效计算的增加；串行分量比例随着问题规模增大而缩小；
• 增加处理器数量会增大 overhead 并降低处理器利用率，对于一个特定的并行系统（算法或程序），它们能否有效利用不断增加的处理器的能力应是受限的，而度量这种能力就是可括放性这一指标。

等效率度量标准

参数：令 $t_e^i$ 和 $t_o^i$ 分别是并行系统上第 $i$ 个处理器的有用计算时间和额外开销时间（包括通信、同步和空闲的等待时间等）
$$T_s=T_e=\sum _{i=0}^{p-1}{t}_e^i{T}_0=\sum _{i=0}^{p-1}{t}_o^i$$
$T_p$ 是 $p$ 个处理器系统上并行算法的运行时间，对于任意 $i$ 显然有：
$$T_p=t_e^i+t_o^{i}p{T}_p=T_e+T_o$$
问题的规模 $W$ 定义为最佳串行算法所完成的计算量，则 $W=T_e$ ，因此有：
$$S=\frac{T_e}{T_p}=\frac{T_e}{(T_e+T_o)/p}=\frac{p}{1+T_o/W}E=\frac{S}{p}=\frac{1}{1+T_o/W}$$
为了维持一定的效率，处理器数 $p$ 增大时，开销 $T_o$ 增大，问题规模 $W$ 也需要相应增大。由此定义函数 $fE(p)$ 为问题规模 $W$ 随处理器数 $p$ 变化的函数，为等效率函数。

优点：简单可定量计算的、少量参数计算等效率函数

缺点：如果 $T_o$ 无法计算出的话就不能用这个方法（比如在共享存储并行机中）

如图，3 到 1 可括放性越来越好，2 以上的表示不可扩放：

等速度度量标准

前提：在共享存储并行机中 $T_o$ 难以计算；换一种方法，如果速度能以处理器数的增加而线性增加，则说明系统具有很好的扩放性。

参数：$p$ 和 $W$ 前面一样，$T$ 为并行执行时间，并行计算的速度 $v=W/T$ ；

$p$ 个处理器的并行系统的平均速度定义为并行速度除以处理器个数：
$$\bar{v}=\frac{v}{p}=\frac{W}{pT}$$
令 $W^{\prime }$ 表示当处理器数从 $p$ 增大到 $p^{\prime }$ 时，为了保持整个系统的平均速度不变所需执行的工作量，则可得到处理器数从 $p$ 到 $p^{\prime }$ 时平均速度可扩放度量标准公式：
$$\Psi (p,p^{\prime })=\frac{p^{\prime }W}{p{W}^{\prime }}$$
$\Psi (p,p^{\prime })$ 介于 0 到 1 之间，越靠近 1 越好；

优点：直观使用易测量的机器性能速度指标来度量；

缺点：某些非浮点运算可能造成性能的变化没有考虑；

当 $p=1$ 时，有：
$$\Psi (p^{\prime })=\Psi (1,p^{\prime })=\frac{p^{\prime }W}{W^{\prime }}=\frac{T_1}{T_{p^{\prime }}}=\frac{\text{解决工作量为W的问题所需串行时间}}{\text{解决工作量为W′的问题所需并行时间}}$$
区别：

• 加速比的定义是保持问题规模不变，标志对于串行系统的性能增加；
• 扩放性定义时保持平均速度不变，标志对于小系统到大规模系统所引起的性能变化；

平均延迟度量标准

一个并行系统执行的时间图谱

• $T_{para}$ 是最大的，作为总的并行时间

基准评测程序（Benchmark）

不同程序会涉及到硬件、体系结构、编译优化、编程环境、测试条件、解题算法等众多因素；根据侧重点不同，分为：

综合型：Dhrystone、Whetstone

• 缺点：对编译器比较敏感

核心型：Livermore Fortran Kernels、NASA 之 NAS

数学型：Linpack、FFT

• 常见的线性代数运算

应用型：SPEC、Perfect、Splash

并行型：NAS 之 NPB、PARKBENCH